Diferencia entre revisiones de «Precálculo/Introducción»

'''Definición 2.3. Especificación por extensión o enumeración.''' Cuando un conjunto es finito y consta de los <math>n</math> elementos <math>a_1 , a_2 , \ldots a_n</math>, entonces se puede expresar por la enumeración de todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves: <math>A = \{ a_1 , a_2 , \ldots , a_n \}</math>.

 

 

'''Ejemplo 2.1.'''

# El conjunto de todos los números naturales se puede representar por descripción como: <math>\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}</math>, donde el símbolo <math>\mathbb{N}</math> se utiliza exclusivamente para denotar dicho conjunto.

# <math>\mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}</math>

# El conjunto de todos los números pares se puede expresar por descripción como: <math>P = \{ n \ | </math> n es múltiplo de 2 <math>\}</math>.

'''Definición 2.5.''' '''Igualdad de conjuntos.''' Dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son iguales solo si poseen exactamente los mismos elementos, i.e. son el mismo conjunto, lo que implica que <math>\forall x \in A \rightarrow x \in B</math> y que <math>\forall x \in B \rightarrow x \in A</math>. Lo anterior se representa como <math>A = B</math>, y se leé: "A es igual a B". En caso contrario se dice que los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son distintos, lo que se simboliza como <math>A \neq B</math>, y se leé: A es distinto de B"; y significa que "<math>\exists x \in A : x \not\in B</math> ó <math>\exist x \in B : x \not \in A</math>

 

Artículo principal: [[Álgebra Abstracta/Estructuras Algebraicas]]

 

 

'''Definición 3.2. Cerradura.''' Una operación binaria es cerrada, lo cual significa que <math>\forall a, b \in A \rightarrow a*b = c \in A, </math> es decir, que la aplicación de la operación sobre dos elementos cualesquiera de <math>A</math> siempre nos dará otro elemento de <math>A,</math> i.e. la operación siempre está definida en <math>A</math> para cualesquiera dos elementos dados en <math>A</math>.

'''Definición 3.3. Estructura algebraica.''' Una estructura algebraica es un par ordenado <math>(A, *,\circ,\star,\ldots),</math> siendo <math>A</math> un conjunto y <math>(*,\circ,\star)</math> un conjunto ordenado de operaciones binarias definidas sobre <math>A</math> que cumplen con una lista de propiedades. La cantidad de operaciones binarias así como las propiedades particulares que se cumplan determinará el tipo de estructura algebraica.

 

# Asociatividad: <math>\forall a,b,c \in G, (a*b)*c = a*(b*c)</math>i.e. podemos escribir simplemente <math>a*b*c</math>, omitiendo el uso de paréntesis innecesarios.

# Existencia del elemento neutro: <math>\exist e \in G \ t.q. \forall a \in G, \ a+e = e+a = a.</math> Al elemento <math>e</math> se le llama elemento neutro o elemento identidad.

# Existencia del elemento inverso: <math>\forall a \in G \ \exist b \in G, t.q. a*b = b*a = e.</math> El elemento inverso se suele representar como <math>a^{-1}.</math>

* Conmutatividad: <math>\forall a, b \in G, a*b = b*a.</math>

'''Ejemplo 3.3.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{N}, +)</math> no es un grupo, pues aunque en <math>\mathbb{N}</math> sí se cumple la propiedad 1. de los grupos así como la conmutatividad, ahí no existen ni el elemento identidad ni el elemento inverso de ningún número natural.

Por lo tanto, al ser "<math>*</math>" cerrada y cumplirse las cuatro propiedades anteriores, vemos que la estructura <math>(\mathbb{Z},*)</math> de hecho es un grupo abeliano.

 

* Para la adición: <math>(F,+)</math> es un grupo abeliano, es decir, se cumplen las propiedades siguientes:

# Asociatividad.

'''Definición 3.2. Construcción de los números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente consigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la misma forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, simbolizado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".

 

# '''Asociatividad:''' <math>\forall m,n,p \in \mathbb{N}_0</math> se tiene que <math>(m+n)+p = m+(n+p)</math>.

# '''Conmutatividad:''' <math>\forall m,n \in \mathbb{N}_0</math> resulta que <math>m+n=n+m</math> (el orden de los sumandos no altera la suma).

# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} := \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>.

# La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #<math>\mathbb{N} </math> es infinita.

 

== Referencias Bibliográficas. ==