Diferencia entre revisiones de «Física/Física avanzada/Teoría cuántica de campos/Introducción»

Cada oscilador tiene sus propios '''operadores escalera''' u '''operadores de creación y destrucción''', ''a_i''''^† y ''a_i'''', con la definición y propiedades usuales:

los cuales permiten diagonalizar el hamiltoniano total a la forma mostrada. El espectro de energías de este sistema es sencillo. Existe un estado fundamental |0⟩, con energía ''E''₀ = Σ_''i'' ''ω_i''''/2, aniquilado por cada operador de destrucción, ''a_i'''' |0⟩ = 0. Cada operador de creación ''a_i''''^† produce un nuevo nivel con la energía aumentada en ''ω_i''. La notación de '''números de ocupación''' o de segunda cuantización permite entonces visualizar todo el espectro como:

donde los ''ν_i'''' son enteros no negativos, ''ν_i'''' = 0 ,1 , ... Llegado este punto, es evidente la analogía que existe entre este sistema, y otro dado por el siguiente hamiltoniano:

donde ''n_i'''' es un operador «número», actuando sobre una serie de estados |''ν''₁, ..., ''ν_N''''⟩ de la forma:

Este hamiltoniano describe un sistema con ''N'' niveles de energía fijos, con energías ''ω''₁, ..., ''ω_N'''', poblado por un número variable de partículas repartidas por estos. El estado fundamental |0⟩ ≡ |0, ..., 0⟩ es el '''vacío''', que no contiene partículas en ningún nivel. Estas son indistinguibles ya que los números de ocupación ''ν_i'''' no reflejan ninguna diferencia entre las que pueblan el nivel ''i''-ésimo. De hecho son bosones, dado que no hay ninguna restricción sobre el valor de dichos números (pueden ser mayores que 1). Excepto por la constante ''E''₀ el espectro de energías de ambos sistemas es idéntico.

donde cada ''χ_n'''' es el desplazamiento de la partícula ''n''-ésima respecto de su posición de equilibrio; ''m'' es la masa de estas y ''K'' la constante elástica que caracteriza su potencial elástico. Sus ecuaciones de movimiento son entonces:

Si se suponen condiciones de contorno periódicas para ''N'' de estos «átomos» —que simplifican el análisis y no afectan significativamente al contenido físico— entonces ''χ_n'''' = ''χ_{n'' + ''N''}'' y ''k'' sólo puede ser un múltiplo de 2''π''/''N·a''.

En el límite continuo de este sistema, se toma la distancia de equilibrio entre las partículas muy pequeña, ''a'' → 0. Las posiciones de referencia de las partículas, ''n a'', son cada vez más densas dentro de la varilla, y los desplazamientos de cada partícula, ''χ_n''''(''t''), se transforman en un campo continuo ''χ''(''x'', ''t''), definido en cada punto de la misma. La coordenada ''x'' no describe un grado de libertad, sino que es la versión continua del índice ''n''. Las derivada temporal d''χ_n''/d''t'' se corresponde ahora con la derivada parcial ∂_''t''''χ''(''x'', ''t''), y la diferencia ''χ_{n'' + 1}'' − ''χ_n'''', cuando ''a'' es muy pequeño, es proporcional a la derivada ∂_''x''''χ''(''x'', ''t''). En definitiva, al tomar detalladamente el límite en el lagrangiano:

donde ''c_s''''² = ''Y''/''μ'' es la velocidad del sonido. La expresión de estas ondas planas se obtiene en particular a partir de las vibraciones normales {{eqnref|2}} en el límite continuo, teniendo en cuenta que cuando ''k'' → 0, la frecuencia {{eqnref|3}} es proporcional a |''k''|. El número de ondas ''k'' solo puede ser un múltiplo de 2''π''/''l'', dado que el campo es periódico, ''χ''(''x'', ''t'') = ''χ''(''x'' + ''l'', ''t''). Realizando una transformada de Fourier puede expresarse el lagrangiano en términos de estas ondas planas:

donde ''π_n'''' es el momento de la partícula ''n''-ésima. El operador hamiltoniano puede diagonalizarse parcialmente utilizando las coordenadas normales {{eqnref|4}} (no se utilizan signos distintos para magnitudes clásicas y sus operadores cuánticos correspondientes):

donde ''ζ_k'''' es el momento conjugado de la coordenada normal ''η_k:

El espectro de la teoría es análogo al [[#modelo simplificado|modelo simplificado]] anterior, pues esta forma del hamiltoniano es idéntica a un conjunto de osciladores desacoplados, uno por cada modo normal. Suponiendo un estado fundamental |0⟩ que es aniquilado por cada ''a_k'''', ''a_k'''' |0⟩ = 0, el resto de niveles de energía se obtienen aplicando operadores de creación o subida ''a_k''''^† sobre este. La energía del estado (''a_k''₁''^†)^''ν''₁ (''a_k''₂''^†)^''ν''₂ ... |0⟩ es ''ω_k''₁'' ''ν''₁ + ''ω_k''₂'' ''ν''₂ + ... + ''E''₀, donde la constante ''E''₀ = Σ_''k'' ω_''k''/2 es la energía del nivel fundamental.

Desde la perspectiva de los números de ocupación, puede hablarse de estados ''poblados'' por un cierto número de cuantos elementales de la vibración, denominados habitualmente '''fonones'''. En el formalismo de segunda cuantización es corriente describir un sistema en términos de estas '''cuasiparticulas''' o excitaciones colectivas, que se comportan como partículas individuales. Por «partícula» se entiende «partícula cuańtica», es decir, deslocalizada. Los fonones no tienen una posición determinada, sino que se corresponden con un modo colectivo de vibración, parecido a un estado de momento definido para una partícula libre. Estos fonones tienen un comportamiento bosónico, al igual que en el modelo anterior, ya que puede haber un número arbitrario de ellos en cualquier nivel ''ω_k''''.

siempre que el momento conjugado ''continuo'' se defina mediante el límite ''π_n''''/''a'' → ''π''(''x'') cuando ''a'' → 0. Esto resulta en que las relaciones de conmutación canónicas en el continuo presentan deltas de Dirac:

El espectro de la teoría está formado por estados con un número arbitrario de fonones. La energía ''c_s'''' |''k''| de estos es arbitrariamente alta. Precisamente por esto la energía del nivel fundamental o vacío |0⟩ es formalmente infinita, aunque se considera habitualmente que esta constante no es observable y se ignora.