Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 082c»

:Beweise für den Lehrsatz gibt es sehr viele. Wir wollen einen nicht sehr strengen, doch höchst sinnfälligen zeigen:

 

 

:Dem ersten großen Quadrat ist das Quadrat über der Hypotenuse, also <math> c^2 </math> eingeschrieben. Und man kann sagen: <math> c^2 = </math> Großes Quadrat minus vier Dreiecke (abc). Im zweiten Fall habe ich in dasselbe große Quadrat die beiden Quadrate über den Katheten, also <math> a^2 </math> und <math> b^2 </math> eingeschrieben. Und es ergibt sich:

:Wurzel aus 2 ist aber, weil 2 kein Quadrat einer ganzen Zahl ist, unbedingt irrational. Also auch <math> a \sqrt2 </math>.

 

 

:Nebenbei bemerkt, kann man zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke zu einem Quadrat aneinanderfügen und ''c'' ist dann die sogenannte Diagonale des Quadrates. Daraus ergibt sich, daß die Diagonale des Quadrates zur Seite des Quadrates stets in einem nicht vollständig ausdrückbaren, irrationalen oder incommensurablen Verhältnis steht. Natürlich auch umgekehrt. Denn wähle ich für ''c'' eine ganze Zahl und will daraus ''a'' berechnen, so erhalte ich, da <math> 2a^2 = c^2 </math>, für <math> a^2 </math> den Wert <math> \textstyle \frac{c^2}{2} </math> oder für ''a'' den Wert <math> \textstyle \frac{c}{\sqrt2} </math>, was wir auch aus unserer ersten Lösung <math> c = a \sqrt2 </math> hätten entnehmen können.

:Irrationalität im geometrischen Sinn ist also nicht die Eigenschaft einer Größe, sondern ihr Verhältnis zu einer anderen, wenn es sich nur in Irrationalzahlen ausdrücken läßt. Und das eben heißt „Incommensurabilität“. Denn es steht mir ja frei, jede beliebige Größe, die ich mit einer anderen vergleichen will, als ganze Einheit oder als ganzes Vielfaches von Einheiten anzunehmen. Zum Überfluß: Wähle ich in unserem Quadrat a als Einheit, dann ist c irrational. Wähle ich dagegen c als Einheit, dann ist a irrational. Daher ist es auch grundfalsch zu sagen, der Kreisumfang sei irrational, da man nach der bekannten Formel <math> 2\pi r = </math> Umfang, wobei ''r'' der Radius (Halbmesser) des Kreises ist, eben den rationalen Halbmesser mit <math> 2\pi </math>, also einer Irrationalzahl multiplizieren muß. Wir sind es eben nur gewohnt, daß der Halbmesser gegeben ist. Würde ich aber umgekehrt etwa einen Stahlzylinder solange abdrehen, bis das feinste Präzisionsmeßband mir den Umfang 1&nbsp;m anzeigte, dann erhielte ich als Radius (Halbmesser) aus der Gleichung: Umfang <math> = 2r \pi </math> für ''r'' den Wert <math> \textstyle \frac{\text{Umfang}}{2\pi} </math>, was bestimmt eine Irrationalzahl liefert. Einmal ist also der Umfang, das andcremal der Radius irrational, je nachdem, welche von beiden Größen in rationalen Zahlen '''gegeben''' ist.