Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 108c»

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Geschichte der Mathematik (Teil 8)
 
 
 
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:'''Drittes Kapitel.'''
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:'''ARCHIMEDES'''
:Mathematik und Wirklichkeit
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:Eine neue werdende Weltmacht tritt auf den Plan, als das Hellenentum nach den Alexanderzügen eben den letzten großen Traum eines Weltimperialismus ausgeträumt hat. Im Jahre 216 sind bei Cannae 50.000 tapfere römische Legionare von Hannibal zusammengehauen worden. Es ist der Wendepunkt der römischen Geschichte, einer jener Wendepunkte, an denen über Sieg oder Untergang einer Nation nicht mehr ihre physische, sondern ausschließlich nur noch ihre moralische Möglichkeit entscheidet. Alles scheint für Rom verloren. Doch es rafft die letzten Waffenfahigen zusammen, bewaffnet sie mit alten Beutestücken aus den Tempeln, und schon zwei Jahre später steht der Consul M. Claudius Marcellus mit den Resten des bei Cannae fast gänzlich vernichteten Heeres vor Syrakus, um den Verbündeten Karthagos zu züchtigen. Doch die Römer sind vom Unglück verfolgt, auch hier ereignet sich ein negatives Wunder. Als Marcellus Syrakus von der Seeseite angreift, senken sich eiserne Hände und Schnäbel von den Mauern, krallen sich in die Schiffe und heben sie hoch, um sie wieder fallen zu lassen. Und auf die zerschmetterten Planken, an die sich Ertrinkende klammern, saust ein furchtbarer Hagel riesiger Steinblöcke, wie er von Menschenkraft noch niemals erregt wurde. Alteste Veteranen erblassen. Wo sich über den Mauern von Syrakus ein Tauende oder ein Stückchen Holz zeigt, dort fliehen die Legionäre in unhemmbarem Entsetzen. Denn sie Wollten gegen Menschen kämpfen, oder, Wenn es sein müßte, gegen die Kriegselefanten Hannibals, nicht mehr aber gegen feindlich gesinnte Götter und hundertarmige Riesen. Ihr Führer aber, der große Consul Marcellus, sorgt dafür, daß sie eine Erklärung des schrecklichen Wunders erhalten. Und da erfahren sie, daß ein einzelner gegen sie alle streitet, ein einsamer zweiundsiebzigjähriger Greis. Er heißt Archimedes und ist der größte aller hellenischen Mathematiker, einer jener skurrilen, Weltabgewandten Männer, deren Wesen der harte, Wirklichkeitsverwurzelte Römer noch Weniger versteht als seine ihm ebenfalls unklare Beschäftigung mit Linien und Buchstaben. Ist das Zauberei? Hat man über diese Tröpfe bisher fälschlich gespöttelt und gelacht? Jetzt, da es ernst geworden ist, hat man”s. Jetzt recken sich die eisernen Zauberkrallen über die Mauern und die Steine hageln, als ob Vesuv und Atna zugleich das Innere der Erde ausspieen.
:Und zu allem soll dieser Archimedes, gerade dieser Archimedes, der schnurrigste aller Geometer sein, den die Hellenen hervorbrachten. Man erfährt alles von gefangenen Syrakusanern, die sich durch Geschwätzigkeit Erleichterung ihres Gefangenenloses erkaufen Wollen. Archimedes sei mit dem Königshause verwandt, seine Familie sei reich gewesen. Er aber habe durch Verträumtheit alles vor die Hunde gebracht. Sei es ein Wunder, daß ein Mann abwirtschaften müsse, den die Verwandten mit sanfter Gewalt zum Bad schleppten, weil er es ebenso vergaß wie die Mahlzeiten? Und wenn er endlich badete, dann zeichne er während der Salbung ununterbrochen Linien in den Sand und murmle unverständliche Worte. Ja, einmal sei er sogar splitternackt durch die Straßen von Syrakus gelaufen und habe in einem fort „Heureka, heureka!“ geschrien. Was habe er da „gefullden“? Daß der Goldschmied den König betrogen und den Goldkranz nicht aus reinem Gold angefertigt habe? Angeblich sei Archimedes dies dadurch zum Bewußtsein gekommen, daß das Bad überlief, als er sich hineinsetzte. Das sei doch, bei den Göttern, keine große Entdeckung. Auf jeden Fall sei dieser Archimedes ein Narr oder ein Dämon oder beides.
:Die römischen Bauern, aus denen sich ja die Legionen zusammensetzen, sind durch diese Erzählungen aufgeregter Syrakusaner nicht getröstet. Im Gegenteil. Jetzt glauben sie erst recht an Zauber und schwärzesten Spuk. Und als endlich nach zwei grauenvollen Jahren Syrakus ihnen durch List und Überrumplung in die Hände fällt, da stürmen sie mordend und plündernd durch die Gassen der eroberten Stadt und sind noch wilder als sonst, da sie an jeder Straßenbiegung das Auftauchen neuer archimedischer Gespenster befürchten.
:Dabei betritt ein Legionär ein anscheinend unbewohntes Haus. Im Garten sitzt ein Greis und zeichnet Figuren in den Sand. Warum soll er sie nicht zeichnen? Gewiß, heute ist viel Lärm in der Stadt. Aber solchen Lärm gab es oft in den vergangenen zwei Jahren. Und das Problem leidet keinen Aufschub. Archimedes blickt kaum auf. Er merkt nur, daß ein Fuß in seine Linien tritt. „Störe mir meine Kreise nicht! “ sagt er sanft. Doch fast im gleichen Augenblick macht das Schwert des Legionärs seinem Leben ein Ende.
:Hat der Soldat gewußt, daß er Archimedes tötete? Wollte er den „Zauberer“ beseitigen, um die Legionen und Rom zu retten? Trotz des strengen Befehls des Consuls Marcellus, Archimedes zu schonen?
:Marcellus war erbittert, als er von der Tat hörte. Er ließ Archimedes mit allen Ehren bestatten und setzte ihm ein Grabmal, das allerdings durch Jahrhunderte vergessen war und von Hecken und Dornen überwuchert wurde. Erst Cicero hat es wieder aufgespürt, fand darauf die in den Zylinder einbeschriebene Kugel und bewies der Welt damit, daß Archimedes nicht nur eine Sage, sondern ein lebendiger Mensch gewesen war. Ein Mensch - fügen wir hinzu -, dessen innere Damonie kaum je in der Geschichte des Geistes übertroffen wurde. So umwalzend, so neu, so zukunftsschwanger war alles, was er unternahm und schuf.
:Wir aber müssen nun mit unserem Zauberteppich in die Zeit zurückfliegen, in der wir schon einmal Weilten, müssen die geistigen Ahnen dieses unheimlichen Gestalters feststellen, da er für uns sonst noch viel mehr in die Zonen des nicht mehr zu Verstehenden gerückt würde.
:Von den Eleaten, der Philosophenschule, die der Riesengeist Parmenides gegründet hatte, haben wir schon gehört. Es war jene Schule, die das ewige Sein, das Ruhende, als oberstes Weltprinzip erklärte und alles Werden zu bloßem Schein degradierte. Es war jene Schule, deren, fast möchte man sagen, karikaturistischen Ausklang der Eleate Zenon mit seinen sophistischen Paradoxien bildete. Wenn nun auch das Mißverständnis, das in diesen geistigen Luftsprüngen lag, von gründlicheren Geistern bald aufgeklärt und auf sein richtiges Maß zurückgeführt wurde, so blieb der echte Kern eleatischer Weisheit doch tief in der hellenischen Philosophie verwurzelt, da er dem Grundcharakter des zeitlosen Volkes der Harmonie sehr angemessen war. Und die echte eleatische Auffassung setzt sich fort in der platonischen Lehre von den ewig seienden Ideen, von den Urbildern alles Daseins, aller schattenhaften, verunreinigten Wirklichkeit. Von dort pflanzt sich diese Grundstimmung der in sich ruhenden Ewigkeit weiter über Aristoteles fort, bis sie in der rein statischen, klaren und bewegungslosen Mathematik Euklids ihren vollendeten Ausdruck auf geometrischem Gebiet findet. Für Euklid etwa ist ein Kreis durchaus nicht das Ergebnis eines Zirkelumschwunges, auch nicht das schon abstraktere Resultat der Bewegung eines Halbmessers, einer um einen der Endpunkte wieder in sich selbst zurückgedrehten Strecke, sondern die Gesamtheit oder der Inbegriff aller Punkte, für die der Abstand von einem bevorzugten Punkt (dem sogenannten Mittelpunkt) gleich ist. Es wird also, rein eleatisch, nicht das Werden des Kreises, sondern das Sein des Kreises ausgedrückt. Noch augenfälliger wird dieser Wesensunterschied bei verwickelteren Kurven. So bemerkt der Archimedesforscher A. Czwalina treffend, daß Archimedes die von ihm entdeckte und nach ihm benannte Spirale folgendermaßen beschreibt: „Wenn sich ein Halbstrahl um seinen Anfangspunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit dreht, nach einer beliebigen Anzahl von Drehungen wieder in seine Anfangslage zurückkehrt, und sich auf dem Halbstrahl ein Punkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit, im Anfangspunkt des Halbstrahls beginnend, bewegt, so beschreibt dieser Punkt eine Spirale.“ Dagegen, so sagt Czwalina, hätte Euklid, ohne sich selbst untreu zu werden, dieselbe Kurve in seiner statischen Art so beschreiben müssen: „Es ist gegeben ein Halbstrahl und außerhalb desselben ein Punkt. Es sei die Gesamtheit aller der Punkte betrachtet, für die sich der Abstand des gegebenen Punktes zum Anfangspunkt des Halbstrahls verhält wie der Winkel, den jener Halbstrahl bildet, zu dem Winkel, den dieser Abstand bildet.“
:An diesem Beispiel ist die Grenze der euklidischen Darstellungsart klar ersichtlich. Die logisch und Weltanschaulich begründete Ausschließung alles Werdenden, aller Bewegung, erzeugt zunehmend eine Starrheit und Undurchsichtigkeit der Darstellung, Wenn es sich um verwickeltere Probleme oder Definitionen handelt. Doch darin lag der Unterschied durchaus nicht allein. Wir müssen ihn also tiefer und verhüllter suchen. Zu diesem Zweck muß uns aber der Zauberteppich neuerdings bis zu Parmenides zurücktragen.
:Wir sagten schon, daß die Philosophie des Seins dem der Harmonie zugewandten Geist der Hellenen durchaus gemäß War. Die Griechen haßten das Uferlose, Unbegrenzte, Formlose. Und sie wollten nicht an Dinge rühren, die, über das Menschenmaß hinausreichend, eigentlich den Göttern gehörten. So wurde auch Prometheus, der Übermenschliches erstrebt hatte, mit Ketten an den Kaukasus geschmiedet und die Adler des Zeus fraßen an der Leber des hilflos gemachten Titanen.
:War es sinnbildhaft, daß, fast zu gleicher Zeit mit dem Ruhespender Parmenides, am entgegengesetzten Ende hellenischen Gebietes, in Ephesos, ein Mann zu lehren begann, der nicht bloß äußerlich dem Kaukasus näher war? Der all das prometheische Feuer in Hellas entfesselte oder zumindest solcher Entfesselung die geistige Unterlage lieh? Er hieß Heraklit und wurde schon im Altertum der „dunkle Heraklit“ genannt, was wohl nicht bloß allein wegen der epigrammatischen Kürze seiner Weisheiten, sondern mindestens ebenso wegen des Inhalts seiner Lehren geschah, die jenes zweite Wesen des Griechengeistes spiegelte, der sich manchmal eruptiv Luft machte und den mühsam errungenen Kosmos, die schwer erkämpfte Harmonie wieder ins Wanken brachte. Heraklit stellte dem Sein der Eleaten das ewige Werden entgegen. „Alles fließt“ und „Der Widerstreit ist Vater des Allgeschehens“ sind seine obersten Grundsätze, die sofort aus dem ewig Ruhenden das unterbrechungslos Veränderliche machen und das Sein zu einem ungreifbaren schattenhaften Übergangspunkt zwischen Vergangenheit und Zukunft degradieren. Diese Lehre wirkt aber, ebenso wie die eleatische, bestimmend auf das Reich der Mathematik ein. Denn schon die Linie ist, heraklitisch gesehen, nicht mehr eine Perlenschnur von einander benachbarten, gleichwohl aber getrennten Punkten, sondern sie wird zur Bewegungsspur eines fortschreitenden Punktes und wird damit stetig oder kontinuierlich. Damit aber ist in irgendeiner Form auch das streng verpönte, nur den Göttern erfaßbare Unendliche in die Geometrie gebracht, da ein Kontinuum, um wirklich stetig zu sein, aus unzähligen Punkten bestehen muß.
::[<small>Von den verschiedenen „Mächtigkeiten“ der unendlichen Mengen im Sinne der Mengentheorie sprechen wir auf dieser Stufe noch nicht.</small>]
:Aber nicht die Lehre des Heraklit allein begleitete jene Zeit, deren Vorwärtssturm zu euklidischer Formvollendung wir bereits geschildert haben. Außer der dunklen Mahnung des Irrationalen wurden in diesen Jahrhunderten, insbesondere im fünften vorchristlichen Jahrhundert, die drei sogenannten klassischen Probleme aufgestellt, die durch ihre Lösungsschwierigkeit das Geheimnis aller mathematischen Bemühung so recht offenbarten; und die an der Möglichkeit voller und endgültiger Harmonie zweifeln und verzweifeln ließen. Zuerst das Problem der Winkeldreiteilung und das delische Problem oder die Würfelverdoppelung, das zudem noch sakrale, mystische Schauer auslöste. In ihrer, Not, bedrängt von Ungemach und Seuchen, hatten sich die Delier an das Orakel zu Delphi um Hilfe gewandt und dort die Auskunft erhalten, der Zorn des Gottes könne nur dadurch versöhnt werden, daß sein Altar in Delos verdoppelt würde. Nun hatte aber dieser Altar die Gestalt eines Würfels, und man mußte nach mancher Bemühung erkennen, daß die Problemlösung mit den konstruktiven Mitteln von Zirkel und Lineal nicht gelang, was uns Heutigen sofort erklärlich ist, weil es sich bei der Würfelverdoppelung um Auflösung der drittgradigen (kubischen) Gleichung :v3 = 2a3 handelt und mit Zirkel und Lineal höchstens quadratische Gleichungen behandelt werden können. Das dritte der Probleme aber war die Quadratur des Kreises, mit der sich, wie schon erwähnt, bereits Anaxagoras beschäftigt haben soll.
:Wir sind außerstande, all die mannigfaltigen und genialen Versuche zur Lösung dieser drei Probleme auszuführen, die, wie festgestellt werden soll, wirkliche und ernst zu nehmende Lösungen ergaben. Wir wollen nur erwähnen, daß sich gelegentlich dieser Problemlösungen eine „Bewegungsgeometrie“ entwickelte, die stets neue und stets kompliziertere Kurven entdeckte. Die sogenannte „Einschiebung“ war auch nichts anderes als die Hinzufügung einer Bewegungskonstruktion zu den bisherigen Hilfsmitteln von Zirkel und Lineal.
:Nun trat aber ein neues Geheimnis hinzu, das bei der versuchten Quadratur des Kreises offenbar wurde. Während nämlich ein Teil der Mathematiker fest davon überzeugt war, die Flächen- oder Raumausmessung krummlinig begrenzter Gebilde müsse naturnotwendig zu irrationalen, also stets nur zu angenähert richtigen Ergebnissen führen, glaubte der andere Teil der Geometer bloß an die Unvollkommenheit der bisherigen Methoden. Eine tiefere Erkenntnis müßte rationale Ergebnisse ermöglichen. Der Zufall wollte es, daß die zweite Ansicht in augenfälliger Weise durch die Mönd chenkonstruktionen des Hippokrates von Chios Stütze und Bestätigung erhielt. Dem Hippokrates war es nämlich unwiderleglich gelungen, seine Möndchen, also allseitig krummlinig begrenzte Figuren, mit einem rechtwinkligen Dreieck in ein streng rationales Verhältnis zu setzen. Der damaligen Geometrie war es bereits ein Leichtes, dieses Dreieck in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln, wodurch die erste glatte Quadratur einer krummlinig begrenzten Figur geleistet war. Es konnte also niemand mehr behaupten, der Flächeninhalt derartiger Gebilde sei seinem Wesen nach nur durch irrationale Inhaltszahlen ausdrückbar.
:Die große Hoffnung, die Hippokrates bei allen, die sich um die Quadratur bemühten, erweckt hatte, wollte sich aber durchaus nicht erfüllen, und so mußte man wieder zu einer Methode seine Zuflucht nehmen, der allerdings der Makel des verpönten „Unendlichen“ untilgbar anhaftete. Wir erwähnten schon, daß der Atomistiker Demokrit als erster den Inhalt der Pyramide und des Kegels als ein Dritteil des gleich hohen Prismas bzw. Zylinders gleicher Grundfläche festgestellt hatte, indem er die Gebilde in dünne Scheiben zerschnitt. Das war, sollte sie taugen, unleugbar eine Operation mit unendlich kleinen Größen. Man hatte aber für die Quadratur und Kubatur noch eine zweite Methode, die darin bestand, daß man die krummlinige Figur durch geradlinig begrenzte Figuren stets mehr und mehr ausfüllte und schließlich sämtliche geradlinig begrenzten Figuren aufzusummieren trachtete. Sollte diese Methode nicht ein bloßer N äherungsprozeß sein, dann mußte man wohl oder übel eine Summe unendlich vieler Summanden bilden. Wie machte man aber das? Vor allem: würde eine derartige Summe nicht notwendigerweise als Ergebnis eine unendliche Größe liefern müssen, selbst wenn die Summanden noch so klein waren? Also Problem über Problem und Widerspruch über Widerspruch. Aber zeigte nicht wieder das Ergebnis des Hippokrates bei seinen „Möndchen“, daß derartiges möglich sein mußte? Ein rationales Quadraturergebnis war ohne solche Möglichkeiten undenkbar.
:In diesem Schwanken der Begriffe stand nun wieder ein Riesengeist auf, dessen Tat nicht hoch genug angeschlagen werden kann, da sie bis auf den heutigen Tag zureichend und gültig geblieben ist. Eudoxos, ein Zeitgenosse des Platon, beseitigte nämlich das Dilemma zwischen „unendlich“ und „endlich“ mit einem Schlage dadurch, daß er den Begriff des „beliebig Kleinen“ einführte und den sogenannten Grenzübergang logisch sicherstellte. Er erklärte nämlich: „Wenn man von einer Größe die Hälfte oder mehr als die Hälfte wegnimmt und diesen Vorgang hinreichend oft wiederholt, dann kann man stets zu einer Größe gelangen, die kleiner ist als irgendeine gegebene Größe derselben Art“. Wir können also nach Eudoxos ins beliebig Kleine so weit vorstoßen, als wir wollen. Die Folge der Größen strebt unter der angegebenen Bedingung, die wir heute eine Konvergenzbedingung nennen, stets weiter und weiter gegen Null. Wir schreiben für den Satz des Eudoxos heute
:lim α · β · γ ... = 0 für α, β, γ ≤ <math> \textstyle \frac{1}{2} </math>
:und wissen, daß diese Folge tatsächlich konvergent ist. Ihre vollstandige Aufsummierung muß also ein endliches Resultat liefern, weil die zunehmende Anzahl der Summanden durch ihre zunehmende Kleinheit entsprechend aufgewogen wird. Die Folge und die aus der Folge gebildete Reihe hat einen angebbaren Grenzwert, der bei der Folge 0 und bei der Reihe eine endliche Zahl ist. Nun war die Forderung des Eudoxos alles eher denn graue Theorie. Wir sehen aus den Elementen des Euklid an mehreren Stellen, wie die Methode des Eudoxos gehandhabt wurde. Euklid beweist nämlich den Satz, daß sich zwei Kreise zueinander wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten, dadurch, daß er die Kreise als Polygone beliebig großer Seitenanzahl ansieht. Denn er hat eben bewiesen, daß sich einbeschriebene ähnliche Polygone verhalten wie die Quadrate der Durchmesser des Kreises, in den sie einbeschrieben sind. Um nun zu zeigen, daß der Kreis wirklich als Polygon mit beliebig großer Seitenanzahl betrachtet werden kann, werden die Segmente, die zwischen Polygon und Kreis bleiben, durch Dreiecke gefüllt, die fortschreitend der Forderung des Eudoxos entsprechen, deren Größe also unter jedes beliebige Maß gebracht werden kann. Dadurch ist der Kreis „ausgeschöpft“. Und da ausschöpfen auf lateinisch exhaurire heißt, nannte man diesen Beweis im siebzehnten Jahrhundert den „EXhaustionsbeweis“. An einer zweiten Stelle führt Euklid den Exhaustionsbeweis, um zu zeigen, daß zwei dreiseitige Pyramiden gleicher Höhe sich im Volumen zueinander verhielten Wie die Flächeninhalte ihrer Grundflächen. Es wird außerdem über Eudoxos berichtet, daß er die Entdeckung Demokrits betreffend das Volumen von Pyramide und Kegel durch den „Exhaustionsbeweis“ sichergestellt habe.