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:Mathematik von A bis Z (Teil 33)
== 33 ==
:'''Dreiunddreißigstes Kapitel'''
:---
:'''Technik der Integralrechnung'''
:---
:Wir müssen nun wieder dort anknüpfen, wo wir die Erörterung über die Möglichkeit des Integrierens unterbrochen haben. Wir stellten dort fest, daß die Funktion unter dem Integral zum Wert des berechneten Integrals sich genau so verhalte, wie ein Differentialquotient zur Funktion, aus der er berechnet wurde.
:Also <math> F(x) = \textstyle \int y'dx </math> oder <math> \textstyle \int f'(x)dx </math>, da ja <math> dy=f'(x)dx </math> und die Integration beider Seiten dieser letzten Gleichung <math> \textstyle \int dy = \int f'(x)dx </math> ergibt. Das <math> \textstyle \int dy </math> ist aber <math> F(x) </math>, die sogenannte Stammfunktion, oder einfach ''y''.
:Da wir inzwischen die grundlegenden Rechenregeln der Differentialrechnung kennengelernt haben, werden wir zur Gewinnung gewisser Rechenregeln für die Integration vom Bekannten zum Unbekannten fortschreiten. Wir werden einfach eine Funktion differentiieren und dann versuchen, den Differentialquotienten im Wege der Integration wieder in die Stammfunktion zurückzuverwandeln. Bei diesem Versuch werden wir, so hoffen wir wenigstens, das Wesen des Integrationsvorganges, rein rechentechnisch und arithmetisch, durchleuchten können. Besitzen wir aber einmal den Algorithmus der Integration, dann haben wir eigentlich das letzte Ziel unseres Buches erreicht.
:Wir wählen also als „Stammfunktion“ die Funktion
:<math> F(x) = y = 2x^3 - 7x^2 + x + 89 </math>
:und bilden ihren Differentialquotienten. Dieser lautet:
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} =</math><math> \textstyle f'(x) =</math><math> \textstyle y' =</math><math> \textstyle 2 \cdot 3x^2 - 7 \cdot 2x + 1 \cdot x^0 =</math><math> \textstyle 6x^2 - 14x + 1 </math>.
:Schon hier bemerken wir eine fatale Vieldeutigkeit der Integration. Kein Mensch in aller Welt wird nämlich bei einer abfälligen Bückverwandlung des Diffcrcntialquotienten in die Stammfunktion (und das ist ja die Integration) imstande sein, anzugeben, wie groß die Konstante war. Man weiß nicht einmal, ob es eine Konstante gegeben hat. Vielleicht waren es sogar mehrere Konstanten oder ein Produkt oder ein Quotient von Konstanten, die beim Differentiieren auf Nimmerwiedersehen verschwunden sind. Wenn man also die Funktion unter dem Integral wirklich als den Differentialquotienten einer uns noch unbekannten Stammfunktion betrachtet, dann kann man logischer Weise nicht von einer Stammfunktion sprechen. Jedem Differentialquotienten entsprechen unendlich viele Stammfunktionen, aus denen er entstanden sein kann. Und diese Stammfunktionen unterscheiden sich eben durch eine additive oder subtraktive Konstante ''C''. Streng richtig muß ich also schreiben:
:<math> \textstyle F(x)=y= \int f'(x) \pm C </math> oder <math> \textstyle \int f'(x) + C </math>, wenn ich es freistelle, dem ''C'' auch negative Werte zu erteilen. In dieser Form wird das allgemeine oder unbestimmte Integral auch stets geschrieben und wenn es nicht so geschrieben wird, ist eben die ganz willkürliche additive Konstante ''C'' hinzuzudenken. Wieso diese Konstante beim bestimmten Integral, das wir ja zur wirklichen Ausrechnung benützen, unschädlich wird, und was diese Konstante physisch und geometrisch bedeutet, werden wir später zeigen. Vorläufig lassen wir uns durch diese Konstante nicht stören.
:Wir haben also behauptet, die Stammfunktion <math> F(x) </math> oder ''y'' müsse gleich sein dem Integral <math> \textstyle \int f'(x) dx</math> oder in unserem konkreten Fall:
:<math> \textstyle F(x)=y= \int (6x^2 - 14x + 1)dx+C</math>.
:Praktisch sei bemerkt, daß das <math> dx </math> den „Inhalt“ des Integrals stets nach rechts abschließt, so daß niemand im Zweifel sein kann, daß das <math> +C </math> außerhalb des Integrals steht. Wir ignorieren jetzt dieses ''C'' überhaupt. Und vergleichen die x-Glieder der ursprünglichen Stammfunktion mit den entsprechenden Gliedern unter dem Integral. Zu diesem Zweck schreiben wir sie zuerst untereinander:
:x-Potenzen der Stammfunktion: <math> 2x^3 - 7x^2 + x </math>
:x-Potenzen unter dem Integral: <math> 6x^2 - 14x + 1 </math>.
:Zuerst merken wir, daß wir, wie beim Differcntiieren, auch „gliedweise“ integrieren können, soweit es sich um additiv oder subtraktiv verbundene x-Potenzen handelt. Wir stellen das gleich als Regel fest und schreiben
:<math> \textstyle \int (6x^2 - 14x + 1)dx =</math><math> \textstyle \int 6x^2dx - \int 14xdx + \int 1 dx</math>.
:Das Integral einer Summe ist also gleich der Summe der Integrale der Summanden. Zweitens erinnern wir uns, daß das Integral eine Art von Summe infinitesimaler Teile ist. Für eine solche Summe gilt bezüglich der unveränderlichen, also konstanten Faktoren (der Koeffizienten) das distributive Gesetz (Gesetz der bezüglichen Zuteilung). Denn bei jeder Summe
:<math> 3a +3(a+h) +3(a+2h) +3(a+3h)+ \dots </math>
:kann ich schreiben
:<math> 3[a+(a+h)+(a+2h)+(a+3h)+ \dots] </math>
:oder gleich
:<math> 3 \sum_{i=1}^n (a+ih) </math>.
:Daher dürfen alle multiplikativen Konstanten vor das Integral gesetzt werden, so daß wir auch schreiben könnten:
:<math> \textstyle \int (6x^2 - 14x + 1)dx = 6 \int x^2dx - 14\int xdx + 1 \int dx</math>.
:Nun wollen wir aber wieder zur Frage zurückkehren, wie aus der bezüglichen x-Potenz unter dem Integral die entsprechende x-Potenz der Stammfunktion entsteht. Wie also mache ich aus <math> 6x^2 </math> wieder <math> 2x^3 </math>, aus <math> 14x </math> wieder <math> 7x^2 </math> und aus 1 das ''x''. Das erste, was mir auffällt, ist, daß das Integrieren die Potenz des ''x'' um 1 erhöht, was sehr selbstverständlich ist, wenn man bedenkt, daß die x-Potenz durch das Differentiieren um 1 erniedrigt wurde. Also algemein <math> \textstyle \int x^m dx = </math> Irgendetwas, irgendein Koeffizient mal <math> x^{m+1} </math>. Wie groß ist nun dieser Koeffizient?
:Aus <math> 2x^3 </math> wurde <math> 6x^2 </math>. Aus <math> 6x^2 </math> soll wieder <math> 2x^3 </math> werden. Da wir den Vorgang beim ''x'' schon kennen, fragen wir nur noch, wie man aus 6 wieder 2 macht. Nun, sehr einfach. Nämlich im Wege einer Division durch 3. Ich habe aber die Stammfunktion nicht vor mir. Sondern nur den Differentialquotienten. Da ich weiter vermute, daß auch die Änderung des Koeffizienten mit der Potenz des x zusammenhängt, da ja auch beim Differentiieren der Koeffizient (sofern er nicht schon vorhanden war) durch die Potenz des ''x'' entstand (oder zum Teil entstand), muß ich versuchen, wie ich aus der Potenz des ''x'' unter dem Integral den Koeffizienten gewinne. Also aus <math> 6x^2 </math> soll <math> 2x^3 </math> werden. Da ich den Potenzanzeiger 2 oben allgemein m nannte, muß ich die 6 durch <math> (m+1) </math>, also 3 dividieren, um den Koeffizienten 2 des <math> 2x^2 </math> zu erhalten. Wir behaupten somit zusammenfassend, daß <math> \textstyle \int x^m</math> gleich sei <math> \textstyle \frac{1}{m+1} x{m+1}</math>. Machen wir gleich die Probe für unsere anderen Potenzen. Welchen Wert hat <math> \textstyle \int 14x dx </math>?
:Hier ist <math> m=1 </math>. Also ist der Wert <math> \textstyle \frac{14}{1+1} x^{1+1} = \frac{14}{2} x^2 = 7x^2 </math>, also genau das, was wir erwarteten. Wenn wir uns schließlich für <math> \textstyle \int 1 dx </math> interessieren, dann erhalten wir, da
:<math> \textstyle \int 1 \cdot dx = \int x^0 dx </math>,
:wohl
:<math> \textstyle \frac{1}{0+1}x^{0+1} = \frac{1}{1}x^1 = x </math>
:was offensichtlich stimmt. Wir sind also förmlich im Fluge in den Besitz des Algorithmus der gefürchteten Integralrechnung gelangt. Und wir haben damit das Versprechen eingelöst, daß uns der Intcgralbefchl durchaus nicht schwerer zu befolgen erscheint, als irgendein anderer mathematischer Befehl. Dies gilt allerdings nur für ganze rationale algebraische Funktionen. Wir verhehlen darum auch nicht, daß die Integralrechnung verwickcltcrer Funktionen kein Handwerk mehr ist, sondern eine Kunst. Daß etwa
:<math> \int\limits_{0}^x \sqrt { 1 + \frac{x^2}{k^2} } \; dx</math>
:gleich ist
:<math> \frac{x}{2} \sqrt { 1 + \frac{x^2}{k^2} } + \frac{k}{2} \log \left( { \frac{x}{k} + \sqrt { 1 + \frac{x^2}{k^2} } } \right)</math>
::(<small>Rektifikation der Parabel <math> \textstyle y = \frac{x^2}{2k} </math>.</small>)
:können wir durch unsere einfachen Hegeln niemals eruieren. Dazu sind allerlei Kunstgriffe notwendig. Für die Praxis des Rechnens mit Integralen gibt es deshalb eigene Tafelwerke, in denen die Auflösung verschiedenster Formen von Integralen, nach gewissen Gesichtspunkten geordnet, gegeben ist.
:Es soll auch weiter nicht verschwiegen werden, daß es Integrale gibt, die überhaupt nicht gelöst werden können. Denn wir können Ausdrücke bilden, die als Differentialquotient einer Stammfunktion nicht existieren. Es ist eben keine Stammfunktion denkbar, die gerade diesen Differentialquotienten hat. Wenn es aber keine Stammfunktion gibt, gibt es auch kein genaues Resultat der Auswertung des Integrals. Höchstens ein angenähertes. Und es sei abschließend bemerkt, daß für die Praxis eine näherungsweise Lösung jedes Integrals mit beliebiger Genauigkeit möglich ist.
:Obwohl wir nun eben die bescheidenen Grenzen, in denen sich unsere Kenntnisse bewegen, angedeutet haben, wollen wir gleichwohl nicht die Flinte ins Korn werfen. Wir können nämlich trotz unserer geringen Ausbildung in der Integralrechnung zahllose Aufgaben lösen. Und vor allem beherrschen wir das Prinzip und werden dadurch vieles verstehen, was sonst dem Laien ein unlösbares Rätsel bleibt.
:Wir wenden uns also wieder dem Problem der Quadratur zu. Es beliebt uns, die Kurve <math> y=x-x^2 </math> aufzuzeichnen und die Forderung der Quadratur innerhalb eines gewissen Bereiches zu stellen. Da diese Kurve bei <math> x=0 </math> durch den Koordinatenursprungspunkt geht und bei <math> x=l </math> schon wieder bezüglich der Ordinate ins Negative übergeht und auch weiter bei wachsendem ''x'' im 4. Quadranten bleibt, quadrieren wir bloß das Stück zwischen <math> x=0 </math> und <math> x=l </math>.
??
Fig. 61
:Wir kombinieren unsere Künste und stellen vorweg durch eine Maximumaufgabc fest, wie groß die höchste Ordinate dieses Kurvenstückes ist. Also für den Bereich <math> x=0 </math> bis <math> x=l </math> ergibt die Funktion <math> y=x-x^2 </math> den Differentialquotienten <math> \textstyle y'=f'(x)= \frac{dy}{dx} = l-2x </math>. Nullsetzung des Differentialquotienten liefert: <math> 1-2x=0 </math>. Auflösung dieser Gleichung: <math> </math>2x=l oder <math> \textstyle x = \frac{1}{2} </math>. Dieses ''x'' liegt sichtlich im geforderten Bereich, da es genau in der Mitte zwischen 0 und 1 anzutreffen ist. Nun kehre ich zur Funktion der Kurve zurück und setze für <math> \textstyle x = \frac{1}{2} </math> ein.
:Folglich ist
:<math> \textstyle y = x-x^2 = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} </math>
:Die höchste Erhebung unseres Kurvenstückcs über die x-Achse ist also <math> \textstyle \frac{1}{4} </math>, was aus der Zeichnung ohne weiteres zu ersehen ist. Ebenso ersieht man, daß dieses „Maximum“ bei <math> \textstyle x = \frac{1}{2} </math> stattfindet.
:Nun zur Quadratur. Wir wissen bereits, daß die Quadratur durch ein „bestimmtes“, das heißt ein mit Ober- und Untergrenze versehenes Integral geleistet wird. Also in unserem Falle
:<math> \textstyle \int\limits_0^1 (x-x^2) \; dx = ? </math>
:Wie behandeln wir nun das „bestimmte“ Integral? Die Anleitung ist sehr einfach. Wir haben zuerst gleichsam eine allgemeine Formel, nämlich das unbestimmte Integral zu berechnen, das uns angibt, nach welchem Gesetz die gegebene Kurve zu quadrieren ist. Also:
:<math> F(x) = y =</math><math> \textstyle \int (x-x^2) \; dx =</math><math> \textstyle \int x \; dx - = \int x^2 \; dx =</math><math> \textstyle \frac{1}{1+1} x^{1+1} - \frac{1}{2+1} x^{2+1} =</math><math> \textstyle \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 </math>
:(dazu überall noch die Konstante G).
:Jetzt ist unsere weitere Aufgabe, die „Grenzen“ zu berücksichtigen. Dafür gibt es, etwas oberflächlich gesprochen, eine sehr einfache Regel. Nämlich die Subtraktion des Integrals der unteren Grenze vom Integral der oberen Grenze. Wenn wir allgemein die untere Grenze mit ''a'', die obere mit ''b'' bezeichnen, also ein Integral <math> \textstyle \int\limits_a^b f'(x) \; dx = ? </math> vor uns haben, dann wäre die Lösung a des unbestimmten Integrals <math> f(x)+C </math>. Nun haben wir <math> x=a </math> und <math> x=b </math> zu setzen und erhalten <math> \textstyle \int\limits_a^b f'(x)dx = [f(b)+C]-[f(a)+C] </math> oder nach Lösung der Klammern <math> f(b)+C -f(a)-C=f(b)-f(a) </math>. Wir sehen, daß bei Ausrechnung des bestimmten Integrals auf jeden Fall die Konstante fortfällt, so daß wir einen eindeutigen Wert erhalten. In unserem Beispiel ist die obere Grenze 1, die untere 0. Da das unbestimmte Integral den Wert <math> \textstyle \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C </math> hatte, haben wir einzusetzen:
:<math> \textstyle [\frac{1}{2} (1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3 + C] - [\frac{1}{2} (0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3 + C] = </math>
:<math> \textstyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + C - C = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = </math>
:<math> \textstyle \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} </math>
:Unsere erste Quadratur ist gelungen. Die krummlinig begrenzte schrafficrLe Fläche hat den Flächeninhalt <math> \textstyle \frac{1}{6} </math> in der Einheit, die wir für das ''x'' auf der Abszisse wählten und die auch Einheit der Ordinate ist. Also, wie man sagt, <math> \textstyle \frac{1}{6} </math> Quadrateinheiten.
::(<small>Wäre die Ordinale und die Abszisse nicht im gleichen Maßstab dargestellt, dann bedeutete das Integral die Anzahl der „Einheits-Rechlecke“, deren Seiten jeweils die Einheiten der Abszisse und der Ordinate sind. Unsere „Quadrateinheit“ ist somit ein Sonderfall einer allgemeineren Möglichkeit. Doch beschränken wir uns in diesem Buch auf „Quadrat-Einheiten“.</small>)
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