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Línea 6:
:Mathematik von A bis Z (Teil 18)
== 18 ==
:'''Achtzehntes Kapitel'''
:---
:'''Funktionen (Algebraische Ableitung)'''
:---
:Wir hätten eine diophantische Gleichung einfacher Art, etwa
:<math> 3x-y=(-5) </math>.
:Lösen wir diese Gleichung zur Erzielung ganzzaliliger Werte nach der Eulerschen Methode, dann erhalten wir
:<math> \textstyle x = \frac{y-5}{3} </math> und <math> \textstyle \frac{y-5}{3} = n </math>, also <math> x=n</math>.
:Und weiters für ''y'' die Lösung <math> 3n+5 </math>. Nun setzen wir in das ''n'' die Zahlen von 1 bis zu einer beliebigen Größe ein:
<pre>
n= 1, x= 1, y= 8; Probe: 3 - 8 = - 5
n= 2, x= 2, y= 11; Probe: 6 - 11 = - 5
n= 3, x= 3, y= 14; Probe: 9 - 14 = - 5
n= 4, x= 4, y= 17; Probe: 12 - 17 = - 5
n= 5, x= 5, y= 20; Probe: 15 - 20 = - 5
</pre>
:usw. ins Unbegrenzte.
:Wir haben also durch die Eulersche Methode eine unendliche Zahl ganzzahliger positiver Lösungen gefunden. Wir könnten ebensogut eine unendliche Zahl negativer ganzzahliger Lösungen erzielen. Denn:
<pre>
n= -1, x= -1, y= 2; Probe: -3-(+2) = -5
n= -2, x= -2, y= -1; Probe: -6-(-1) = -5
n= -3, x= -3, y= -4; Probe: -9-(-4) = -5
</pre>
:usw.
:Wie man sieht, sind von n=(—2) alle Wertepaare für beide Unbekannten negativ, da ja das x=n und daher das ''x'' negativ sein muß, wenn ''n'' negativ angenommen wird. Aber auch ''y'' muß stets negativ bleiben, wenn ''n'' ganzzahlig kleiner wird als (-1). Denn die entgegenwirkende Pluskonstante in y=3n+5 ist 5 und wird bereits von 3•(-2) nach der negativen Seite in y=(-6)+5 hinübergeschoben. Um so mehr natürlich bei n=(-3), also y=(-9)+5 usf.
:Wir haben also bereits eine doppelte Unendlichkeit von möglichen Lösungen, nämlich eine Unendlichkeit von ganzzahligen positiven und von ganzzaldigen negativen Wertepaaren. Zu dieser doppelten Unendlichkeit kommt als Spezialfall, als Kuriosum das Wertepaar für <math> n=-1 </math>, bei dem <math> x=-1 </math> und <math> y=+2 </math>, außerdem das Paar für <math> n=0 </math>, bei dem <math> </math>x=0 und <math> </math>y=5 wird. Es gibt also <math> (2 \times \infty) + 2 </math> ganzzahlige Lösungen.
:Nun wollen wir unsere diophantische Gleichung ein wenig umformen, ohne sie weiter zu verändern. Wir schreiben nämlich statt <math> 3x-y=-5 </math> die Form
:<math> y=3x+5 </math>
:an, was wir ja ohne weiteres Bedenken tun dürfen. Und jetzt setzen wir fest, daß uns nicht nur ganzzahlige, sondern auch Werte in gebrochenen Zahlen interessieren. Weiters bestimmen wir, daß wir stets zuerst in das ''x'' einsetzen und dann das zugehörige ''y'' suchen wollen. Es ist — ohne daß wir es noch aus prinzipiellen Gründen so machen — in unserem Falle einfacher, weil ''y'' den Koeffizienten 1 hat und weil wir so alle Divisionen vermeiden können. Suchen wir also einige Wertepaare in Bruchform:
:<math> \textstyle x = \frac{1}{2} </math>, <math> \textstyle y = 3 \cdot \frac{1}{2}+5 =</math><math> \textstyle \frac{3+10}{2} =</math><math> \textstyle \frac{13}{2} </math>
:<math> \textstyle x = \frac{1}{3} </math>, <math> \textstyle y = 3 \cdot \frac{1}{3}+5 =</math><math> \textstyle \frac{3+15}{3} =</math><math> \textstyle \frac{18}{3} =</math><math> 6</math>
:<math> \textstyle x = \frac{2}{7} </math>, <math> \textstyle y = 3 \cdot \frac{2}{7}+5 =</math><math> \textstyle \frac{6+35}{7} =</math><math> \textstyle \frac{41}{7} </math>
:Natürlich können sich, wie bei <math> \textstyle x = \frac{1}{3} </math>, für ''y'' auch ganzzahlige Werte ergeben. Jedenfalls werden aber die Fälle weitaus überwiegen, in denen bei ''x'' als Bruch auch ''y'' ein Bruch wird. Für unsere nicht mehr diopliantische (das heißt nicht mehr für ''x'' und ''y'' ganzzahlig gelöste) unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten haben wir jetzt wieder unendlich viele Lösungen in Form von Brüchen. Wie „mächtig“ aber diese neue Unendlichkeit ist, geht daraus hervor, daß man schon zwischen 0 und 1 dem ''x'' unendlich viele Werte erteilen kann. Ebenso zwischen 1 und 2, zwischen 2 und 3, usw. Dazu kommen außerdem noch alle Möglichkeiten, in denen wir das ''x'' als negativen Bruch fordern, etwa <math> \textstyle x = - \frac{10}{3} </math> usw. Hier stehen wir, wenn wir genau zusehen, vor folgenden unendlichen Mengen von Lösungen: Alle positiven Brüche für ''y'' ergeben vorwiegend Brüche, und zwar positive für ''y''. Setzt man <math> x=0 </math>, das ich als den Bruch „Null durch irgendeine Zahl“ betrachten könnte, dann wird <math> y=5 </math>. Setze ich negative Brüche für ''x'', dann ergeben alle, ebenfalls unendlich vielen Brüche von <math> \textstyle - \frac{1}{\infty} </math> bis zum Wert <math> \textstyle x = - \frac{5}{3} </math> für ''y'' noch positive Werte. Bei <math> \textstyle x = - \frac{5}{3} </math> wird <math> y=0 </math>. Bei allen Brüchen, die kleiner (das heißt weiter nach links auf der negativen Zahlenlinie!) sind als <math> \textstyle - \frac{5}{3} </math>, also etwa <math> \textstyle - \frac{6}{3} </math>, wird auch das ''y'' negativ.
:Auf jeden Fall haben wir für unsere unbestimmte Gleichung schon eine doppelte Unendlichkeit von ganzzahligen und eine vielfache Unendlichkeit von gebrochenen Lösungen. Dazu noch den Spezialfall <math> \textstyle x = - \frac{5}{3} </math>
:Nun könnten wir aber auf Grund unseres erweiterten Zahlbegriffs noch auf den Gedanken verfallen, zwischen je zwei Brüchen für das ''x'' eine oder alle der unendlich vielen Irrationalzahlen einzusetzen. Etwa eine <math> \sqrt[4]{25} </math> o. dgl. Daß dadurch auch das ''y'' zur Irrationalzahl1) wird, ist einleuchtend.
::(<small>Mathematisch korrekt heißt eine Zahl, die aus rationalen und irrationalen Teilen besteht, wie etwa in unserem Fall <math> y = 3 \cdot \sqrt[4]{25} + 5 </math>, eine „surdische Zahl“. </small>)
:Hätten wir nämlich die Irrationalzahl ''x'' durch einen unendlichen Dezimalbruch dargestellt und addieren dazu die Konstante, dann besteht eben das ''y'' aus einer Summe von einem unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch und einer Konstanten. Aus dieser Summierung aber resultiert wieder eine Irrationalzahl.
:Wir stehen also jetzt vor der unheimlichsten Menge von unendlich vielen Lösungspaaren, einer Menge, die offensichtlich gleichsam eine potenzierte Unendlichkeit ist. Und wir sehen mit einem beinahe mystischen Schauer, daß unsere harmlose Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:eine unendliche Vielzahl von unendlich vielen Lösungen sowohl auf der positiven wie auf der negativen Seite in sich trägt. Dazwischen gibt es einige merkwürdige Spezialfälle und außerdem eine potenzierte Unendlichkeit von Wertepaaren, bei denen das ''x'' und das ''y'' ungleiche Vorzeichen erhalten werden. Noch einmal wiederholt: Wir können dem ''x'' mit positivem oder negativem Vorzeichen jeden beliebigen Wert einer ganzen, einer gebrochenen oder einer irrationalen Zahl erteilen und erhalten dadurch ein „zugehöriges“ ''y''. Beide zueinander gehörigen Werte nennen wir aber ein „Wertepaar“.
:Um diesen merkwürdigen Algorithmus, dessen unheimliche Vielfältigkeit wir vorläufig nur ahnen, noch nicht aber in seinen Folgen begreifen, plastisch vor uns zu sehen, wollen wir uns eine einfache Maschine konstruieren, die wir in Gedanken „funktionieren“ lassen. Das Instrument sähe folgendermaßen aus (s. unten: Fig. 13). Eine Art von Waagebalken hat auf der einen Seite einen Zeiger, der entlang einer halbkreisförmigen, mit Ziffern versehenen Skala spielt. Der Balken besteht aus Schienen, die ebenfalls mit Ziffern in gewissen Abständen versehen sind. Auf jeder dieser Schienen ist ein „Laufgewicht“ verschiebbar. Und dieses Laufgewicht ist zudem noch auswechselbar. Nach primitiven
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Fig. 13
:Gesetzen der Mechanik hängt die Wirkung eines Gewichtes in diesem Falle nicht nur davon ab, wie schwer es an sich ist, sondern auch davon, an welcher Stelle des „Hebelarmes“ es sich befindet. Ein Kilogramm in der Entfernung 5 wird fünfmal so schwer wirken wie ein Kilogramm in der Entfernung 1. Bekanntlich beruht auf diesem Prinzip die Dezimalwaage. Nun hätten wir weiters folgende Festsetzungen getroffen: Der Zeiger gibt uns jeweils auf der Skala gleichsam den Belastungszustand unserer „variablen“ Waage an. Befindet sie sich im Gleichgewicht, dann steht der Zeiger auf Null. Der Zeiger ist aber noch durch Spiralfedern nach oben und unten festgehalten, die so konstruiert sind, daß sie zwar auf Zug sehr stark reagieren, auf Zusammendrückung jedoch keinen nennenswerten (theoretische Forderung: überhaupt keinen) Widerstand leisten. Schließlich dient die untere Schiene zur Einstellung der „Konstanten“, die obere zur Einstellung des „x“. Einheit ist in allen Fällen das Kilogramm.
:Nun können wir unsere Maschine für unsere Zwecke bereits in Gebrauch nehmen. Und zwar wollen wir uns die Angelegenheit in der Art einer Bedienungsanweisung verdeutlichen: Setzen wir voraus, daß wir einen Kasten mit verschiedensten Laufgewichten besitzen, dann entnehmen wir ihm zuerst für unsere Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:ein schönes Kilogrammgewicht und schieben es auf die untere, mit der Bezeichnung „Konstante“ versehene Schiene so weit, daß die Mittelpunktsmarkc des Laufgewichtes mit der Ziffer fünf auf der Schiene übereinstimmt. Das Laufgewicht hat zu diesem Zweck ein „Fenster“. Man kann solche Gewichte an jeder Apotheker-Dezimalwaage sehen. Da es sich um eine Konstante, um eine unveränderliche Größe handelt, klemme ich das Laufgewicht für alle folgenden Fälle fest. Natürlich nur für solange, als ich die Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:betrachte, in der die Konstante eben 5 ist. Im Gesamtsystem unserer Maschine muß jetzt unser Kilogramm einen Zug nach unten ausüben, der fünfmal größer ist, als wenn ich das Laufgewicht bei der Marke 1 geklemmt hätte. Und wenn ich nichts anderes einstellen würde, müßte jetzt der Zeiger steigen und auf die Marke 5 auf dem Kreisbogen zeigen. Denn wir setzen voraus, daß die Spiralfedern in dieser Art berechnet sind. Nun soll ich das „x“ einstellen. Da es nicht als ''x'' schlechtweg, sondern als ''x'' mit dem Koeffizienten 3 auftritt, wähle ich ein Laufgewicht von 3 Kilogramm, da uns ein Kilogramm die konkrete Zahl 1 versinnbildlicht. Wo aber soll ich das Laufgewicht hinschieben? Ich bin in Verlegenheit und muß eine mathematische Uberlegung anstellen. Und diese Überlegung sagt mir sofort, daß ich ja in das ''x'' einsetzen, also das ''x'' erst wählen soll. Daher nehme ich mir vor, das ''x'' zuerst so zu wählen, daß sich die „Waage“ im Gleichgewichtszustand befindet, daß also, was man ohne weiteres sieht, der Zeiger auf Null für ''y'' zeigt. Wenn ich nun, ohne zu rechnen, bloß probiere, werde ich bemerken, daß ich dieses gewünschte Ergebnis erziele, wenn das 3-kg-Laufgewicht genau bei der Marke <math> \textstyle - \frac{5}{3} </math> oder <math> -1 \textstyle \frac{2}{3} </math> der oberen Laufschiene angelangt ist. Dort ergibt sich nämlich die Gewichtsbelastung des linken Waagearmes (den wir den negativen nennen wollen) mit 3 kg in der Entfernung <math> \textstyle (- \frac{5}{3}) </math> und die des rechten (positiven) mit 1 kg in der Entfernung (+5). Da sich aber weiters nach den Gesetzen der Mechanik die jeweilige Belastung als Produkt des Gewichtes mit der Entfernung vom Drehpunkt des Waagebalkens darstellt, so ist in einem Falle die Belastung <math> \textstyle 3 \cdot (- \frac{5}{3} ) = - 5 </math> und im zweiten Falle <math> 1 \cdot 5 = 5 </math>, also dem absoluten Wert nach gleich. Da sich aber auf einer in unserer Weise positiv und negativ bezifferten Waage ein Gleichgewicht nur ergeben kann, wenn derselbe absolute Wert sowohl negativ als positiv auftritt, bedeutet unser Ergebnis die gleichsam optische Bestätigung der Tatsache, daß ich in der Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>
:das ''x'' als <math> \textstyle (- \frac {5}{3}) </math> wählen muß, um für das ''y'' die Null zu erhalten. Daß die Konstante nicht weiter berührt werden darf, haben wir schon gefordert. Wir könnten sie aber trotzdem auf unserer Maschine auch in anderer, und zwar noch eleganterer Art einstellen. Wenn wir uns nämlich überlegen, daß man die Gleichung <math> y=3x+5 </math> auch in der Form
:<math> y = 3x^1 + 5x^0 </math>
:schreiben dürfte, da bekanntlich jede Nullpotenz 1 liefert und dadurch an der Gleichung nichts ändert, könnten wir die obere Schiene mit <math> x^1 </math> und die untere mit <math> x^0 </math> bezeichnen und die 5 als Koeffizienten von <math> x^0 </math> betrachten. Dann aber dürften wir ein 5-kg-Gewicht wählen und es bei der Marke 1 der unteren Laufschiene festklemmen, wo es stehen bleiben kann, da <math> x^0 </math> für jeden Wert von ''x'' eins geben muß, <math> 5x^0 </math> also in jeder möglichen Form der Gleichung 5 kg mal Entfernung 1, also 5 liefert. Dies jedoch vorläufig nur nebenbei. Wir werden noch einmal darauf zurückkommen.
:Wir begnügen uns mit der ersten Version, daß wir unsere „Konstante“ als 1-kg-Laufgewicht bei der Marke 5 der unteren Laufschiene festgeklemmt haben. Und fügen bei, daß wir uns um diese „Konstante“ nicht weiter kümmern werden, da sie für unsere spezielle Gleichung gleichsam zum fixen, stehenden, konstanten Bestandteil der Maschine geworden ist und selbsttätig ihren Einfluß geltend machen wird.
:Dagegen reizt es uns, mit dem zweiten Laufgewicht zu experimentieren. Da ja, wie wir gesehen haben, die Marke auf der Schiene direkt die Größe des jeweiligen ''x'' bedeutet, steht es uns frei, das Laufgewicht innerhalb des „Bereiches“ von -5 bis +5 an irgendeine beliebige, „willkürliche“ Stelle zu rücken, seinen Ort zu „verändern“. Ortsveränderung bedeutet aber nach dem Gesetz des Hebelarmes Belastungsverändcrung, und Belastungsveränderung ist eine Größenveränderung. Machen wir ein Experiment. Rücken wir etwa das 3-kg-Laufgewicht auf die Marke
:<math> \textstyle x = 1 \frac{2}{5} = \frac{7}{5} </math>.
:Sofort beginnt der rechte Waagebalken zu sinken und der y-Zeiger auf der Skala zu spielen. Nach einigem Schwanken stellt er sich auf <math> \textstyle 9 \frac{1}{5} </math> ein. Nun ist aber für <math> \textstyle x = \frac{7}{5} </math> nach der Gleichung tatsächlich <math> \textstyle y = 9 \frac{1}{5} </math>, da
:<math> \textstyle 3 \cdot \frac{7}{5} + 5 = \frac{21+25}{5} = \frac{46}{5} = 9 \frac{1}{5} </math>.
:Wenn wir also ''x'' „willkürlich veränderten“, hat sich an unserer Maschine das ''y'' „zwangsläufig verändert“. Nun sind wir soweit, nach richtigem „Funktionieren“ unserer Maschine das Wesen der „Funktion“ zu durchschauen.
::(<small>Diese Wortableitung des Begriffs „Funktion“ gilt natürlich nur als Gedächtnishilfe für unsere Maschine.</small>)
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Fig. 14
:Und wir stellen, vorläufig noch sehr ungenau, fest, daß eine Funktion dann vorliegt, wenn sich durch „willkürliche“ Veränderung einer Unbekannten eine zweite Unbekannte „zwangsläufig“ verändert. Wenn wir weiter statt veränderliche Unbekannte einfach das Wort „die Veränderliche“ gebrauchen, dann können wir sagen, daß bei einer Funktion jede an der „willkürlichen Veränderlichen x“ vorgenommene Größenbestimmung die „zwangsläufige Veränderliche y“ in gewisser Art in Mitleidenschaft zieht. Das Gesetz dieses Zusammenhanges heißt Funktion. Unsere Maschine hat uns bisher das Ergebnis automatisch geliefert. Und zwar deshalb, weil wir dieses „Gesetz“ auf der Maschine einstellten. Das „Gesetz“ war aber nichts anderes als unsere Gleichung
:<math> y=3x+5 </math>.
:Und eben diese „Gleichung“ heißt in dieser Beleuchtungsweise eine Funktion. Ihr allgemeinstes Gestaltbild wird seit Leibniz: <math> y=f(x) </math> geschrieben. Und wird gesprochen: ''y ist eine Funktion von x''. Was nichts anderes heißt, als daß ''y'' von irgendeiner mit ''x'' verbundenen Größe systematisch abhängt.
:An dieser Stelle muß ich eine ketzerische und revolutionäre Tat setzen, deren Legitimation ich aus meiner Dichtereigenschaft herleite. Ich behaupte nämlich, daß der allgemeine wissenschaftliche Sprachgebrauch, der die willkürlich gewählte Veränderliche als die „unabhängige“ und die zwangsläufig bestimmle Veränderliche als die „abhängige“ bezeichnet, insofern sprachlich, psychologisch und pädagogisch mangelhaft ist, als der Gegensatz zwischen einer Position und der durch die Vorsilbe „un“ erzeugten Negation eindrucksmäßig immer blasser wirkt als der Gebrauch selbständiger positiver und negativer Ausdrücke. Zudem ist das „un“ als Vorsilbe in der deutschen Sprache nicht einmal stets eine klare Verneinung, sondern manchmal nur eine versteckte Steigerung ins Positive. Man denke an Bildungen wie Untier und Unsumme, wobei es schon aller Rabulistik bedarf, dieses „Übertier“ und diese „Übersumme“ als Verneinungen zu behaupten. Aber selbst wenn wir von einer solchen Ausnahme absehen, ist es sicherlich gegensätzlicher und plastischer, Lust und Schmerz als Lust und Unlust einander entgegenzustellen. Und diese antithetische Blässe steigert sich bei partizipialen als Hauptwörter gebrauchten Eigenschaftswörtern wie abhängige Veränderliche und unabhängige Veränderliche ins Maßlose. Was noch dadurch verschärft wird, daß jemand assoziativ darauf verfallen könnte, zu denken, die Wahl des Wertes für die Unbekannte sei in einem Falle nur von meinem Willen abhängig, im anderen dagegen von mir unabhängig. Diese Auslegung wäre aber genau das Gegenteil von dem, was mit den üblichen Bezeichnungen gesagt werden soll. Wir wollen jedoch nicht Verwirrung stiften, sondern nur rechtfertigen, warum wir aus rein pädagogischen und psychologischen Gründen in diesem Einführungsbuch vom allgemeinen Sprachgebrauch der Wissenschaft abgehen und von der „willkürlichen“ (unabhängigen) und der „zwangsläufigen“ (abhängigen) Veränderlichen sprechen werden. Noch einmal zusammengestellt: In der „Funktion“
:<math> y=3x+5 </math>, allgemein <math> y=f(x) </math>
:ist das ''x'' die „willkürliche“, „unabhängige“ Veränderliche, das ''y'' die „zwangsläufige“, „abhängige“ Veränderliche. ''x'' und ''y'' aber heißen „die Veränderlichen“. Nachdem wir nun einige Kenntnisse über den Sprachgebrauch der Funktionenlehre gewonnen haben, wollen wir uns wieder unser Instrument, unsere Funktionsberechnungsmaschine hernehmen und ein weiteres Experiment machen. Wir rücken das 3-kg-Laufgewicht vorsichtig ein Stück auf der x-Laufschiene und beobachten dabei, was der Zeiger auf der y-Skala dabei treibt: Wir sehen, daß er sich auch ununterbrochen bewegt hat. Schließlich ist er zwischen zwei Teilstrichen der Skala stehen geblieben. Aber auch unser Laufgewicht steht irgendwo an einer nicht genau auf der Laufschiene bezeichneten Stelle.
:Nun wollen wir, an Hand unserer Maschine, ein neues Kunststück vollführen. Wir behaupten nämlich, daß die Laufschiene nichts anderes sei als die Zahlenlinie. Da nun aber weiter, wie wir schon genau wissen, die Zahlenlinie sich kontinuierlich (stetig) aus allen ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen zusammensetzt, bedeutet jedes stetige Verschieben des Laufgewichtes nichts anderes, als daß unser ''x'' während dieses „Verschiebens“ alle Werte annimmt, die innerhalb der „Verschiebungsgrenzen“ liegen. Also die Werte aller ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen, die sich zwischen diesen Grenzen befinden.
:Dieser Begriff der „Stetigkeit“ spielt in der Lehre von den Funktionen, insbesondere seit den Entdeckungen des großen Mathematikers Weierstraß, eine ungeheure Rolle. Wir begnügen uns aber vorläufig, eine erste Andeutung dieses Begriffs gegeben zu haben; um so mehr, als wir ihn in anderer, nämlich geometrischer Art viel deutlicher erörtern können und erörtern werden.
:Wir wollen uns dagegen mit dem, was wir bisher über Funktionen wissen, an eine bestimmte Aufgabe heranwagen, deren Sinn und Zweck uns aufs erste noch verborgen bleibt. Da es sich jedoch um eine höchst einfache algebraische Aufgabe handelt, sehen wir keinen Grund, an ihr achtlos vorbeizugehen.
:Wir fragen also, was mit dem y-Zeiger geschieht, wenn wir unser ''x'' an irgendeiner Stelle um einen bestimmten Betrag wachsen lassen. Wahrscheinlich wird sich da der Zeiger auch um einen gewissen Betrag bewegen. Da wir aber schon einmal in euklidischer Art behauptet haben, das Verhältnis sei unabhängig von den ins Verhältnis gesetzten Größen, könnten wir als sichtbares Maß der Veränderung etwa das Verhältnis benützen, das zwischen dem Zuwachs des ''x'' und dem daraus zwangsläufig folgenden Zuwachs des ''y'' bestellt. Wenn wir weiter unseren Zuwachs zu ''x'' in eine ganz allgemeine. Form kleiden, also den Zuwachs an irgendeiner Stelle eintreten lassen, ist es klar, daß ich dadurch auch den damit verbundenen Zeigerausschlag für ''y'' gleichsam an „irgendeiner Stelle“ erhalte. Ich könnte mir ja die Skalen auf der Laufschiene und am Halbkreis ganz einfach verdeckt oder unleserlich vorstellen.
:Also „irgendein x“ oder „das x“, was dasselbe ist, da ich ja ''x'' unbestimmt lasse, wächst um den endlichen Betrag von <math> \Delta x </math>. Das Dreieck (<math> \Delta </math>) ist das große griechische D (Delta). Und ist jedem Kind als Symbol der dreieckigen „Delta“mündung des Nil bekannt. Das ''x'' schreibe ich neben unser Delta, um anzuzeigen, daß es sich um einen Zuwachs von ''x'' handelt. Nun resultiert daraus der zwangsläufig nach dem „Gesetz“ der Funktion erfolgende Zeigerausschlag auf der y-Skala. Diesen nenne ich natürlich Ay. Weiters ist als selbstverständlich vorausgesetzt, daß unsere Funktion auf der Maschine „eingestellt“ ist, wozu aber bloß nötig ist, daß sich das 1-kg-Gewicht auf der Marke 5 der unteren Schiene und das 3-kg-Gewicht irgendwo auf der oberen Schiene befindet.
:Rein algebraisch gesprochen lautet jetzt die Frage: Wie verhält sich unter der Bedingung der „eingestellten“ Funktion unser <math> \Delta y </math> zum <math> \Delta x </math>. Oder was für ein <math> \Delta y </math> folgt zwangsläufig aus der Veränderung der Einstellung um <math> \Delta a </math>?
:Wir wollen, ohne weiter zu grübeln, rein rechnerisch der Angelegenheit an den Leib rücken. Wenn wir die „Zuwächse“ in unsere Gleichung (Funktion) einbauen wollen, müssen wir wohl ansetzen:
:<math> (y + \Delta y) = 3(x+\Delta x)+5 </math>.
:Denn aus ''x'' ist nach dem erfolgten Zuwachs, nach der Verschiebung des Laufgewichtes, <math> (x+ \Delta x) </math> geworden, worauf das ''y'' zwangsläufig zu <math> (y + \Delta y) </math> werden muß.
:Noch einmal zum Überdruß: Wir wissen gar nicht, wie groß das ''x'' ist. Wir wissen auch nicht, wie groß das <math> \Delta x </math> ist. Wir fordern nur, daß es endlich sei. Es könnte, nebenbei bemerkt, überhaupt jede Größe haben. Wir wollen es aber klein nehmen, um dann leichter weiterzukommen. Also
:<math> (y + \Delta y) = 3(x + \Delta x)+5 </math>.
:Gesucht ist <math> \Delta y : \Delta x </math> oder <math> \textstyle \frac{\Delta y}{\Delta x} </math>. Oder das Verhältnis zwischen <math> \Delta y </math> und <math> \Delta x </math>. Multiplizieren wir einmal aus, um die Klammern loszubekommen.
:<math> y + \Delta y = 3x + 3 \cdot \Delta x + 5 </math>.
:Nun machen wir einen Kunstgriff, der wieder von Leibniz stammt, allerdings von ihm in anderer Schreibart formuliert ist. Wir erinnern uns nämlich, daß ''y'' gleich ist <math> 3x+5 </math> und daß wir daher berechtigt sind, auf beiden Seiten der Gleichung diese gleichen Größen in Abzug zu bringen, ohne daß sich etwas ändert. Unser erstes Beispiel der Waage mit den Äpfeln und Dekagrammen hat uns ja die Berechtigung solcher Rechentricks gezeigt. Also:
:<math> y + \Delta y = 3x + 3 \Delta x + 5 </math>
:<math> -y \qquad = -3x + - 5 </math>
:-----------------------------------------
:<math> \qquad \Delta y = 3 \Delta x </math>
:Wenn aber <math> \Delta y = 3 \Delta x </math>, dann ist natürlich
:<math> \Delta y : \Delta x = 3 \Delta x : \Delta x </math> oder
:<math> \textstyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 </math>
:oder als Proportion
:<math> \Delta y : \Delta x = 3:1 </math>.
:Unsere Aufgabe ist gelöst. Und wir wissen weiter nach dem Satz der Unabhängigkeit des Verhältnisses von der Größe des Verglichenen, daß ich jetzt <math> \Delta y </math> und <math> \Delta x </math> so klein denken darf, als ich nur überhaupt will. Also klein bis an die äußerste Grenze der Null hinab. Ich hätte, arithmetisch gesprochen, das Laufgewicht nur soweit verschoben, daß ich bis zur nächsten Irrationalzahl gelangt wäre.
::(<small>Nach moderner Auffassung gilt es als korrekter, das <math> \Delta x </math> solange zu verkleinern, bis man zur letzten Irrationalzahl vor dem ''x'' gelangt. Es handelt sich also, wie Newton gesagt hat, um das letzte Verhältnis der „hinschwindenden“ Inkremente (Zuwächse), das besteht, bevor beide in die Null untertauchen.</small>)
:Wie potenziert unendlich wenig das ist, wissen wir aus dem Aufbau der Zahlenlinic. Einen solchen allerkleinsten Zuwachs von ''x'' nennen wir aber jetzt nicht mehr <math> \Delta x </math>, sondern '''dx''' und das zugehörige <math> \Delta y </math> entsprechend '''dy''', so daß wir schreiben:
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1} </math>
:Nun lüften wir den Schleier: Ohne irgendeine Denkschwierigkeit haben wir soeben den gefürchteten „Differentialquotienten“ berechnet. Und sagen: Der „Differentialquotient“ der Funktion <math> y=3x+5 </math> hat den Wert 3. Oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> y' = 3 </math>. Das <math> y' </math> heißt eben <math> \textstyle \frac{dy}{dx} </math> oder „erster“ Differentialquotient einer Funktion <math> y=f(x) </math>, das heißt einer Funktion, in der das ''y'' zwangsläufig von einer Konstellation von x=Ausdrücken abhängt.
:Nun ersehen wir aus unserem ominösen „Differentialquotienten“, daß er an jeder Stelle gleich ist. Überall, wo ich das ''x'' um den allerkleinsten Betrag ''dx'' verändere, erhalte ich als Verhältnis des entsprechenden y-Zuwachses zu unserem ''dx'' die Zahl 3 oder <math> 3:1 </math>. Die „Konstante“ hat dabei gar keine Rolle gespielt. Denn hätte ich sie fortgenommen, dann hätte ich
??x
xFix. x14
:Warum dem so ist, werden wir erst später voll erfassen. Aus unserer Maschine ist es eigentlich auch begreiflich. Denn die Gleichgewichtsstörung erfolgt ausschließlich durch die Verschiebung des x-Gewichtes (der 3 kg).
::(<small>Wenn wir von der „Trägheit“ der 5 kg absehen!</small>)
:Und zwar an jeder Stelle gleichartig. Der „Differentialquotient“ ist somit ein für alle Werte des ''x'' geltendes „Veränderungsgesetz“ der Funktion.
:Nun werden wir unseren neuen Algorithmus der „Differentialrechnung“, den wir vorläufig als formale Kabbala an einem Endchen gepackt haben, weitertreiben. Und zwar in besonders kühner Weise, indem wir die uns noch ganz neue „quadratische“ Funktion
:<math> y=2x^2 +7 </math>
:in ähnlicher Art zu untersuchen trachten. Von unserer Maschine sehen wir jetzt ab und vertrauen uns der reinen Form an. Nach unserem Schema wäre
:<math> y + \Delta y = 2(x+ \Delta x)^2 + 7</math>.
:Da wir <math> (x+ \Delta x)^2 </math> noch nicht direkt ausrechnen können, wollen wir es plump als <math> (x+ \Delta x)(x+ \Delta x) </math> feststellen und erhalten
:<math> [x^2 + x \Delta x + x \Delta x + (\Delta x)^2] </math>, also
:<math> x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 </math>
:Nun hätten wir als Kunstgriff:
:<math> y + \Delta y = 2x^2 + 4x \Delta x + 2(\Delta x)^2 + 7 </math>
:<math> -y \qquad = -2x^2 \qquad - 7</math>
:-----------------------------------------
:<math> \qquad \Delta y = 4x \Delta x + 2(\Delta x)^2 </math>
:Mit diesem Ergebnis können wir nun in der bisherigen Art das Verhältnis von <math> \Delta y </math> und <math> \Delta x </math> nicht befriedigend darstellen. Daher überlegen, kalkulieren wir ein wenig.
::(<small>Daher der Name „Differential-Kalkül“.</small>)
:Wir wollen, so sagten wir, als Endziel nicht den sogenannten „Differenzen“-Quotienten sondern den „Differenzen“-Quotienten <math> \textstyle \frac {\Delta y}{\Delta x} </math> erhalten. Bei diesem aber ist das '''dx''' schon die allerkleinste Zahl. Wenn ich mir eine solche allerkleinste Zahl sehr ungenau etwa als Bruch <math> \textstyle \frac{1}{q} </math> vorstelle, wobei ''q'' natürlich riesenhaft groß sein muß, dann würde diese „allerkleinste“ Zahl durch Potenzierung die Form <math> \textstyle ( \frac{1}{q} )^2 = \frac{1}{q^2} </math> erhalten, wodurch der Nenner „allerriesigst zum Quadrat“ würde. Dadurch aber würde ich, grob gesagt, eine Zahl erreichen, die im quadratischen Verhältnis kleiner ist als die „allerkleinste“ Zahl. Also etwas, das ich selbst neben einer allerkleinsten Zahl unbedingt vernachlässigen darf. Um eine solche „Kleinheit verschiedener Ordnungen“ die wir später genau verdeutlichen wollen, angenähert bildlich auszudrücken, hat Leibniz einmal gesagt, das Firmament verhalte sich zur Erde wie die Erde zum Staubkorn. Und die Erde verhalte sich zum Staubkorn wie das Staubkorn zu einem magnetischen Teilchen, das durch Glas dringt.
::(<small>Heute würden wir Elektron sagen.</small>)
:Auch unser <math> (dx)^2 </math> verhält sich aber zu <math> (dx) </math> wie ein Staubkorn zur Erde. Es ist bestimmt eine „höhere Kleinheitsordnung“, eine Kleinheit noch fast unendlich kleinerer Art, und kann daher fortgelassen werden. Wir schreiben also, sobald wir zum „Differentialquotienten“ übergehen wollen, für
:<math> \Delta y = 4x \Delta x + 2(\Delta x)^2</math> nur mehr
:<math> dy = 4x \; dx </math>
:und erhalten als Endresultat
:<math> \textstyle \frac {\Delta y}{\Delta x} = 4x </math> oder <math> dy : dx = 4x : 1 </math>.
:Hier, bei der „quadratischen“Funktion, erscheint etwas Merkwürdiges. Es ist nämlich das „Gesetz“ der Veränderung nicht mehr als reines Zahlenverhältnis ausgedrückt, sondern es ist direkt von ''x'' abhängig; wird sich also konkret mit dem für ''x'' gewählten Wert ändern. Hier ist die Veränderung selbst veränderlich, wenn man so sagen darf. Allerdings ist sie streng an eine neue Bedingung, nämlich an das Verhältnis <math> 4x : l </math> gebunden.
:Wir könnten nun in der gezeigten Art rein formal den ganzen Algorithmus der Differentialrechnung als Rechnungsoperation ableiten. Wir würden dadurch an mathematischer Strenge und Sauberkeit nur gewinnen. Da jedoch der Anfänger sicherlich alle Probleme dieser Rechnungsart besser durchschaut, wenn er sich alles bildlich vorstellen kann, und da weiters auch die historische Entwicklung unseres „Kalküls“ beinahe ausschließlich auf geometrische Art erfolgte, wollen wir unsere bisher rein synthetische Darstellungsart aus psychologischen Gründen verlassen und uns alles aus der Geometrie herbeischaffen, was wir zum grundsätzlichen Verständnis unserer neuen Rechnungsoperation und der Unendlichkeitsanalysis überhaupt unbedingt brauchen werden.
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