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:Mathematik von A bis Z (Teil 35)
== 32 ==
:'''Zweiunddreißigstes Kapitel'''
:---
:'''Maxima und Minima'''
:---
:Diese Eigenschaft des Differentialquotienten war historisch die Ursache seiner Entdeckung. Sein Stammbaum liegt gleichsam bei den „Tangentenproblemen“, die besonders im siebzehnten Jahrhundert seit Descartes zunehmend genauer beachtet und durchforscht wurden. Der Grund für dieses Interesse war unter anderem folgender: Jeder irgendwie gesetzmäßige Verlauf eines Ereignisses oder der Zusammenhang von Größenbeziehungen läßt sich durch eine Funktion und dadurch wieder durch eine Kurve ausdrücken. Nun kann innerhalb eines zu untersuchenden Teiles (Bereiches) dieser Kurve die Frage wichtig werden, an welcher Stelle diese Kurve (und damit die Funktion) den höchsten oder den tiefsten Punkt (Wert) erreicht. Man nennt diese Extremwerte Maxima und Minima, Ausdrücke, die wohl jedem irgendwoher geläufig sind (s. Fig. 57).
:Aus der Zeichnung ist ohne weiteres zu ersehen, daß das Kurvenstück zwischen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> sowohl ein Maximum als ein Minimum hat. Nun wird es weiters jedem klar sein, daß die Tangente sowohl im höchsten als im tiefsten Punkt unseres Kurvenstückes horizontal verläuft, das heißt mit der x-Achse parallel ist. Wir brauchen uns die Kurve ja bloß als gebogenes Blechband vorzustellen, an das ein Lineal anzulegen ist. Oder noch besser, wir stellen das Blechband auf den Tisch, ohne seine sonstige Lage zu ändern. Sicher berührt es den horizontalen Tisch mit dem tiefsten
??
Fig. 57
:Punkt. Denn wäre ein tieferer Punkt vorhanden, dann müßte er in die Tischplatte eindringen. Nun kommt der große Kunstgriff Leibnizcns, den er in der berühmten Abhandlung „Über Maxima und Minima usw.“ zugleich mit dem Algorithmus der Differentialrechnung im Jahre 1684 in den „Acta Eruditorum“, der von ihm gegründeten ersten wissenschaftlichen Zeitschrift Deutschlands, veröffentlichte. Wenn, so wird geschlossen, der Differentialquotient den Wert der trigonometrischen Tangensfunktion hat, dann muß er an den Stellen, wo die Tangente parallel zur x-Achse läuft, also überhaupt keine Neigung zur Abszisse hat, den Wert Null annehmen. Denn der Tangens von 0 Graden ist, wie wir schon wissen, gleich 0. Wir setzen also, um ein Maximum oder Minimum zu entdecken, in einer genialen Umkehrung den Differentialquotienten <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = f'(x) = 0 </math> und berechnen aus der dadurch entstandenen Gleichung mit einer Unbekannten den Wert für das ''x''. An dieser x-Stelle brauche ich dann bloß die Ordinate bis zur Kurve zu ziehen und muß mit 100%iger Genauigkeit ein Maximum oder ein Minimum treffen.
:Wir sagen Maximum „oder“ Minimum. Das sieht schwankend und unverläßlich aus. Wir teilen jedoch zur Beruhigung mit, daß schon Leibniz ebenfalls alle Nebenrechnungen und „Kennzeichen“ erforscht hat, aus denen man schließen kann, welcher Extremwert im gegebenen Fall vorliegt. Manchmal kann man es auch aus einer zeichnerischen Darstellung der Kurve oder aus offen zutage liegenden Umständen entnehmen. Auf alle Fälle ist diese Analyse für uns nicht aktuell, da sie zu viel Begriffe voraussetzt, die unser Vorhaben überschreiten. Wir werden jedoch frisch und mutig die für die ganze Praxis der Technik und Physik unentbehrliche Berechnung von Extremwerten an einigen interessanten Beispielen zeigen.
:Zuerst eine sozusagen klassische Aufgabe: Ein Stück Blech soll zu quadratischen, oben offenen Gefäßen verarbeitet werden. Auf welche Weise erzielt man Gefäße von möglichst großem Fassungsraum (Kubikinhalt)? Da jedes der Gefäße oder der Blechschachteln aus einem Stück Blech gearbeitet und dann verlötet werden soll, muß man die ursprüngliche Blcchplatte in quadratische Stücke schneiden, deren jedes das Material für eine Blechschachtel bildet.
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Fig. 58
:Jedes Kind weiß, daß eine Schachtel dadurch zu erzielen ist, daß man an den vier Ecken des Materialquadrates vier kleine Quadrate ausschneidet und die dadurch gebildeten Seitenwände aufwärtsklappt. Nun ist es aber durchaus nicht feststehend, wie groß diese (schraffierten) ausgeschnittenen Quadrate sein sollen. Theoretisch könnte ihre Seitenlänge ''x'' von 0 bis <math> \textstyle \frac{a}{2} </math> anwachsen. Bei 0 wären die vier Eckpunkte gleichsam unsere Quadrate und die Schachtel hätte keine Höhe, da nichts zum Aufwärtsklappen da wäre. Bei <math> \textstyle x = \frac{a}{2} </math> wieder müßte ich das ganze Blech fortschneiden und die Schachtel hätte keine Grundfläche. Zwischen diesen beiden Grenzfällen, die zugleich den sogenannten „Bereich“ der Aufgabe abstecken, müssen unendlich viele mögliche Schachteln liegen. Begonnen von einer Schachtel, die fast keine Höhe hat bis zu einer Schachtel, deren Grundfläche ein winzigstes Quadratchen ist und deren Höhe fast <math> \textstyle \frac{a}{2} </math> beträgt. Wie nun soll ich unter diesen unzähligen möglichen Schachteln gerade die herausfinden, die just das größte Volumen (Kubikinhalt) hat? Wenn es mir zuerst gelingt, durch eine Funktion darzustellen, in welcher Art der Kubikinhalt von der Größe der abgeschnittenen Quadrate abhängt, kann ich durch Einsetzen verschiedener x-Werte zwischen 0 und <math> \textstyle \frac{a}{2} </math> eine Bildkurve dieser Abhängigkeit zeichnen. Aus der Zeichnung könnte ich ungefähr das „Maximum“ ersehen, da ja der höchste Punkt der Kurve innerhalb unseres Bereiches dieses Maximum anzeigt. Ich wüßte den Extremwert aber dadurch doch nur „ungefähr“. Genau, so erläuterten wir schon, kann ich ihn nur finden, wenn ich den Punkt suche, an dem die Tangente der Abszisscnachse parallel läuft, also arithmetisch gesagt, den x-Wert, an dem der Differentialquotient gleich Null ist. Eine Extremwcrlaufgabe erfordert somit stets mehrere Operationen. Erstens die Absteckung des Bereiches, innerhalb dessen das Maximum oder Minimum gesucht wird. Zweitens die Aufstellung der Funktion, deren Bildkurve durch höchste oder tiefste Punkte den Extremwert anzeigen soll. Drittens die Bildung des Differentialquotienten dieser Funktion. Viertens die Nullsctzung des Differentialquotienten, wodurch eine Gleichung mit der Unbekannten ''x'' entsteht. Fünftens Auflösung dieser Gleichung nach ''x'', womit der Extremwert gefunden ist. Die außerdem noch notwendige Analyse, ob innerhalb des Bereiches überhaupt ein Extremwert existiert, und die Untersuchung, ob der allenfalls vorhandene Extremwert ein Maximum oder ein Minimum ist, ziehen wir, als über unseren Rahmen hinausreichend, nicht in Betracht. Wir wählen deshalb auch nur Beispiele, bei denen sich diese Frage gleichsam von selbst beantwortet.
:Nun gehen wir streng nach unseren Hand wer ksregeln vor. Als Bereich konstatierten wir bereits für unser ''x'' die Werte von 0 bis <math> \textstyle \frac{a}{2} </math>. Nun wäre die Funktion aufzustellen. Da wir einen Kubikinhalt suchen, der ein Maximum sein soll, behaupten wir, jeder der möglichen Kubikinhalte heiße ''y''. Dieses ''y'' müssen wir nun durch die gegebene Größe ''a'' (Seitenlange des Blechstückes) und das willkürliche ''x'' (Seitenlänge eines der auszuschneidenden Quadrate) ausdrücken. Kubikinhalt eines derartigen Parallelepipedons (rechtwinkliges Prisma mit quadratischer
::(<small>Allgemein kann die Grundfläche eines Parallelepipeds ein beliebiges Rechteck sein. In unserem Falle ist sie ein spezielles Rechteck, nämlich ein Quadrat.</small>)
:Grundfläche) ist aber gleich Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche der Schachtel muß die Seitenlänge <math> (a-2x) </math> haben, folglich ist die Grundfläche selbst <math> (a-2x)^2 </math> groß. Die jeweilige Höhe der Schachtel ist aber einfach x, da die hinaufgeklappten Teile diese Breite aufweisen. Also ist der Kubikinhalt<math> = y = (a-2x)^2x </math> oder <math> y = (a^2 - 4ax + 4x^2)x </math> , was ausgerechnet und nach fallenden Potenzen von ''x'' geordnet die Funktion <math> y=4x^3 - 4ax^2 - 4 \cdot 2ax + a^2 \cdot 1 \cdot x^0 </math> liefert. Nun haben wir als nächsten Schritt den Differentialquotienten dieser Funktion zu bilden.
:<math> \textstyle y' = \frac{dy}{dx} = 4 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2 ax + a^2 \cdot 1 \cdot x^0 </math>
:<math> = 12x^2 - 8ax + a^2 </math>.
:Dieser Differentialquotient ist gleich Null zu setzen. Also:
:<math> 12x^2 - 8ax + a^2 = 0 </math>.
:Nach den Regeln der gemischtquadratischen Gleichung ist zuerst das <math> x^2 </math> zu isolieren. Es ergibt sich, wenn wir zu diesem Behuf die ganze Gleichung durch 12 dividieren:
:<math> \textstyle x^2 - \frac{8}{12}ax + \frac{a^2}{12} = 0</math> oder
:<math> \textstyle x^2 - \frac{2a}{3}x + \frac{a^2}{12} = 0</math>.
:Das ''a'' ist eine bekannte „konstante“ Größe. Es ist eben die im konkreten Fall gewählte Seitcnlänge des quadratischen Materialstückcs. Daher behandeln wir das a einfach wie eine konkrete Zahl oder einen Koeffizienten. Nach den Regeln für die Auflösung gemischtquadratischer Gleichungen (s. o.) ergibt sich für ''x'' der Wert:
:<math> \textstyle x = \frac{2a}{6} \pm \sqrt{\frac{4a^2}{36} - \frac{a^2}{12}} </math>
:<math> \textstyle = \frac{2a}{6} \pm \sqrt{\frac{4a^2 - 3a^2}{36} } </math>
:<math> \textstyle = \frac{2a}{6} \pm \sqrt{\frac{a^2}{36} } </math>
:<math> \textstyle = \frac{2a}{6} \pm \frac{a}{6} </math>
:Für ''x'' ergeben sich also die beiden Werte <math> \textstyle \frac{a}{2} </math> und <math> \textstyle \frac{a}{6} </math>. Da nun <math> \textstyle \frac{a}{2} </math> als Wert für ''x'' nicht in Betracht kommt, weil er nicht innerhalb des Bereiches liegt, sondern einen Grenzfall des Bereiches, noch dazu einen sinnlosen darstellt, haben wir gefunden, daß die Schachtel den größten Inhalt hat, wenn die Blechplatte auf allen Seiten um <math> \textstyle \frac{a}{6} </math> aufgeklappt wird. Das heißt, das Grundquadrat hätte dann <math> \textstyle \frac{4a}{6} = \frac{2}{3}a </math> Seitenlange und die Höhe betrage <math> \textstyle \frac{a}{6} </math>. Um uns ein ungefähres Bild zu machen, ob unsere Rechnung stimmt, nehmen wir an, wir häLten eine Blcchplallc von 60 cm Seitenlange. Die Grundfläche der „Schachtel“ wäre, falls wir Quadrate der Seitenlänge <math> \textstyle \frac{a}{6} </math> also 10 cm ausschneiden, 4×4 Dezimeter, also 16 Quadratdezimeter und die Höhe 1 Dezimeter. Sonach wäre der Kubikinhalt genau 16 Kubikdezimeter oder 16 Liter. Würden wir Quadrate von nur 5 cm Seitenlänge ausschneiden, so wäre die Grundfläche 5×5 Dezimeter, also 25 Quadratdezimeter groß. Die Höhe, die hier <math>\textstyle 5 cm = \frac{1}{2} \; dm</math> beträgt, ergibt mit 25 dm<sup>2</sup> multipliziert einen Inhalt von nur <math> \textstyle 12\frac{1}{2} \; dm^3</math> oder <math> \textstyle 12\frac{1}{2}</math> Liter. Sicherlich also weniger. Würde ich die Quadrate dagegen etwa mit 15 cm Seilenlänge wählen, dann wäre die Grundfläche der Schachtel 3×3 Dezimeter = 9 dm<sup>2</sup> groß und die Höhe würde 15 cm = 1•5 dm, der Kubikinhalt also <math> 9 \cdot 1 \cdot 5 = 13 \cdot 5 \; dm^3 = 13 \cdot 5 </math> Liter betragen, was ebenfalls kleiner ist als die Schachtel, bei der das ''x'' gleich ist <math> \textstyle \frac{a}{6} </math>.
:Auf Grund dieser Vorübung wird uns ein zweites, der Statik entnommenes Beispiel schon weit weniger Schwierigkeiten bereiten (s. Fig. 59).
:Aus einem kreisrunden Baumstamm ist ein Balken rechteckigen Querschnitts so auszusägen, daß seine Tragfähigkeit bei gegebener Länge ein Maximum (Höchstmaß) darstellt.
::(<small>Die durch Strichelung angedeutete Umgrenzung des Balkenquerschnitts deutet eine der unendlich vielen anderen Möglichkeiten des Aussägens an.</small>)
:Der Halbmesser des Baumstammes ist uns bekannt und heißt ''r''. Ohne weiteren Beweis teilen wir mit, daß uns der Anteil ebenfalls bekannt ist, den Höhe und Breite des Balkenquerschnitts zur Tragfälligkeit beisteuern.
??
Fig. 59
:Diese „Festigkeit“ = F = dem Quadrat der Höhe mal der Breite des Querschnitts. Also <math> F = h^2b </math>. Wenn wir nun die halbe Breite ''x'' nennen, dann ist nach dem pytliagoräischen Lehrsatz <math> \textstyle (\frac{h}{2})^2 = r^2 - x^2</math> oder <math> \textstyle \frac{h^2}{4} = r^2 - x^2 </math> oder <math> h^2 = 4r^2 - 4x^2 </math>. Nun soll die „Festigkeit“ ein Maximum bilden.
:Festigkeit <math> = F = h^2b </math>. Da aber, wie wir wissen, <math> h^2 = 4r^2 - 4x^2 </math> und <math> b=2x </math>, so ist schließlich <math> F = y = (4r^2 - 4x^2) \cdot 2x </math> oder <math> y = 8r^2x - 8x^3 </math>. Nun besitzen wir schon die Funktion. Welcher „Bereich“ aber kommt in Betracht? Die Breite (''2x'') kann zwischen den Grenzen 0 und ''2r'' liegen. Das ist aus der Zeichnung klar ersichtlich. Und zwar sind beide Grenzen selbst sinnlos, da bei ihnen der Balken einmal keine Breite, das anderemal keine Höhe hätte. Außerdem stellen wir fest, daß uns nur positive Werte von ''x'' interessieren. Denn eine negative Balkenbreite wäre technisch ebenso sinnlos wie ein breite- oder höheloser Balken. Nun bilden wir den Differentialquotienten der Funktion.
:<math> \textstyle y' = \frac{dy}{dx} = 8r^2 \cdot 1 \cdot x^0 - 8 \cdot 3 \cdot x^2</math>
:<math> = 8r^2 - 24x^2</math>
:Weiters sofort die Nullsetzung des Differentialquotienten und die Auflösung der so entstandenen Gleichung nach ''x''
:<math> 8r^2 - 24x^2 = 0 </math>
:<math> 24x^2 = 8r^2 </math>
:<math> \textstyle x^2 = \frac{8}{24}r^2 </math>
:<math> \textstyle x^2 = \frac{1}{3}r^2 </math>
:<math> \textstyle x^2 = \pm \sqrt{ \frac{r^2}{3} } </math>
:<math> \textstyle x^2 = \pm r \sqrt{ \frac{1}{3} } = \pm r \frac{r}{\sqrt{3}} = \pm \frac{r \sqrt{3} }{3} = \pm \frac{r}{3} \sqrt{3} </math>
:Da uns nur der Pluswert interessiert, stellen wir fest, daß der Balken die größte Festigkeit hat, wenn die Breite <math> (b=2x) </math> den Wert <math> \pm \frac{2r}{3} \sqrt{3} </math> des Radius hat. Für einen Radius von 1 dm ergäbe das die Balkenbreite von 1,15470 dm.
:Zum Abschluß noch eine Minimumaufgabe. Man kann bekanntlich in ein Quadrat unendlich viele Quadrate einbeschreiben. Welches von diesen einbeschriebenen Quadraten ist das kleinste?
??
Fig. 60
:Als Bereich kommen alle Quadrate in Betracht, bei denen ''x'' zwischen 0 und ''a'' liegt. Das größte eingeschriebene Quadrat ist sicher vorhanden, wenn <math> x=0 </math>. Denn dann ist es ja das große Quadrat selbst. Nun wird ''x'' in der Richtung des Pfeiles stets größer und das einbeschriebene Quadrat stets kleiner. Allerdings nur bis zu einem uns noch unbekannten Punkt auf der Strecke ''a''. Denn, hat ''x'' schließlich die Länge ''a'' erreicht, dann hat sich das einbeschriebene Quadrat gleichsam um 90 Grade gedreht und ist wieder so groß wie das große Quadrat. Nun suchen wir die Funktion. Das einbeschriebene Quadrat habe die Seite ''b'' und seine Fläche sei demnach <math> b^2 </math>. Diese Fläche soll ein Minimum werden. Also <math> b^2 = y </math>. Wie aber drücke ich jetzt <math> b^2 </math> durch ''x'' aus, von dem offenbar die Größe des Quadrats abhängt, wie wir bei der „Bereichbestimmung“ schon gesehen haben? Nun, wieder kommt uns Pythagoras zu Hilfe. Denn
:<math> b^2 = x^2 + (a-x)^2 </math>, was nach Ausrechnung
:<math> b^2 = x^2+a^2-2ax+x^2=2x^2-2ax+a^2 </math> ergibt. Die Funktion steht also schon fest: Fläche des einbeschriebenen Quadrats
:<math> = b^2 = y = 2x^2 - 2ax + a^2 </math>. Die Differentiierung der Funktion liefert
:<math> y'=2 \cdot 2x - 2a \cdot l \cdot x^0 </math> oder <math> y' = \textstyle \frac{dy}{dx} = 4x-2a </math>. Nach altem Rezept wird jetzt der Differentialquotient gleich Null gesetzt und die Gleichung nach ''x'' gelöst. Also:
:<math> 4x-2a=0 </math>
:<math> 4x=2a </math>
:<math> \textstyle x = \frac{a}{2} </math>
:Da die Maximalwerte unseres Bereiches, wie wir erforschten, die Grenzen selbst waren, muß zwischen diesen Grenzen ein Minimum liegen. Wir sahen ja mit eigenen Augen, daß das einbeschriebene Quadrat nach der 0-Grenze von ''x'' kleiner und schließlich bei <math> x=a </math> wieder so groß wurde wie bei <math> x=0 </math>. Weiters ergibt die Rechnung nur einen Wert für dieses Minimum. Folglich existiert dieses Minimum und liegt symmetrisch genau zwischen 0 und ''a'', nämlich bei <math> \textstyle x = \frac{a}{2} </math>. Wir überlassen es dem Leser, zu prüfen, wie groß das einbeschriebene Quadrat etwa bei <math> a = 1 \; dm </math> wird, wenn ich einmal für ''x'' den Minimalwert <math> \textstyle \frac{a}{2} </math>, also <math> \textstyle 5 \; cm = \frac{1}{2} \; dm </math> und dann etwa <math> \textstyle x = \frac{a}{4} </math> und <math> \textstyle x = \frac{3a}{4} </math> versuche. Da die Kurve symmetrisch ist, muß man für die beiden letzteren x-Werte gleiche einbeschriebene Quadrate erhalten, die allerdings größer sein müssen als das Minimalquadrat bei <math> \textstyle x = \frac{a}{2} </math>. Die Flächen sind nach der Formel <math> b^2 = 2x^2 - 2ax + a^2 </math> zu berechnen. (Auflösung: Beim Minimum ist <math> \textstyle b^2 = \frac{a^2}{2} </math>, bei den beiden anderen x-Werlen ist <math> \textstyle b^2 = \frac{5}{8}a^2 </math>.)
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