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:Mathematik von A bis Z (Teil 7)
== 7 ==
:'''Siebentes Kapitel'''
:---
:'''Kombination im engeren Sinne'''
:---
:Diese Feststellung wurde durchaus nicht ohne Absicht gemacht, wie wir gleich näher erfahren werden. Wir wollen uns der zweiten Art der Kombinatorik aber wieder nicht theoretisch, sondern bildlich nähern und kehren deshalb in den uns schon vertrauten Kreis der vierzehnköpfigen Familie zurück. Wir treffen sie eben an, wie sie nach dein Mittagessen — es ist ein Feiertag — auf harmlose Unterhaltung sinnt. Als ein Kartenspiel vorgeschlagen wird, erinnert man sich der verhexten Tischordnung, und die Frage wird laut, wie lange es wohl dauern würde, bis alle Möglichkeiten einer täglichen Tarockpartie erschöpft wären. Aber beileibe nicht in bezug auf die Vielfalt der Spiele, sondern in bezug auf die Zusammenstellung der Partner. Es ist an Spielpartien zu je vier Personen gedacht. Jeden Tag soll die Partie anders zusammengesetzt sein. Und alle vierzehn Personen kommen als Mitspieler in Betracht.
:Man ist verschüchtert und wagt keine Voraussagen. Vielleicht dauert es wieder Millionen von Jahren? Auf jeden Fall ist es besser, man vertraut sich der Kabbala, dem Algorithmus der Kombinatorik an, bevor man fruchtlos herumrät. Und der mathematisch versierte Sohn behauptet sofort, es handle sich in diesem Fall um die sogenannte „Kombination im engeren Sinne“. Vierzehn Personen heiße auf mathematisch soviel wie vierzehn Dinge oder vierzehn Elemente. Und die aus diesen Elementen zu bildenden Vierergruppen hießen Quaternen, ein Ausdruck, der ja von der Lotterie und von der Tombola her geläufig sei. Hier komme es durchaus nur auf die Zusammensetzung jeder Quaterne und nicht etwa auf die Reihenfolge, auf eine Umstellung innerhalb der Gruppe an. Denn die Gruppe Mutter, Vater, Alphons, Eva sei dieselbe Tarockpartie wie Vater, Alphons, Mutter, Eva oder Eva, Vater, Mutter, Alphons usf. Berechnen könne man die Sache äußerst schnell, denn es existiere dafür ein eigenes einfaches Zauberzeichen, der sogenannte „Binomialkoeffizient“. Nebenbei bemerkt, habe dieser Name mit unserem Beispiel nichts zu schaffen. Man schreibe einfach die Zahl der Elemente oben, die Größe der Gruppe unten, mache zwei Klammern, lese „14 über 4“ oder umgekehrt „14 tief 4“ und rechne den „Befehl“ nach gewohnter Weise aus.
:Dann erhalte man <math> \textstyle \binom {14}{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} </math>,
:das aber ergebe die Zahl 1001, und die Tarockpartien wären somit in 1001 Tagen, also in nicht einmal drei Jahren durchgespielt.
:Jetzt faßt man wieder Mut, da man zu einer vorstellbaren Zahl gelangt ist, und ein Mädchen wirft eine zweite Frage auf. „Der Zufall hat es gewollt,“ sagt das Mädchen, „daß unter uns zwölf Geschwistern sechs Jungen und sechs Mädchen sind. Es würde mich interessieren, wieviel voneinander verschiedene Tanzpaare man aus uns Geschwistern bilden kann. Das muß doch auch so eine Kombination sein. Denn es sind zwölf Dinge, wie es so schön heißt. Dann werden Zweiergruppen gebildet. Und schließlich ist es gleich, ob AIphons mit Eva oder ob Eva mit Alphons tanzt.“ „Du hast recht, Grete“, meint der mathematische Bruder. „Es ist eine Kombination aus Amben. So heißen die Zweiergruppen. Wie das Ambo in der Lotterie, das ja auch nichts anderes ist als eine Gruppe aus zwei Zahlen. Nebenbei könnte man deine Aufgabe unelegant noch einfacher als kombinatorisch erledigen. Von den sechs Mädchen tanzt jedes mit jedem der sechs Brüder. Also sechsmal. Also gibt es sechsunddreißig verschiedene Tanzpaare.“ „Und wozu braucht man dann deine Zauberformel?“ fragt Eva. „In diesem Fall konnte man einfach kalkulieren. Ich will dir aber zeigen, daß die verschmähte Zauberformel unsere Rechnung erst durchsichtig macht. Und daß sie unsere Hausverstandskalkulation bestätigt. Also: Alle Amben aus zwölf Elementen ergeben <math> \textstyle \binom{12}{2} </math> Kombinationsfälle. Nun wären unter diesen Amben aber Paare aus je zwei Brüdern und aus je zwei Schwestern. Also nicht das, was wir anstreben. Wir haben nämlich die weitere Bedingung gestellt, daß es richtige Tanzpaarc sind. Müssen also die gleichgeschlechtlichen Paare abziehen. Diese gleichgeschlechtlichen Paare aber sind wieder Kombinationsfälle. Und zwar gibt es hier je 6 Elemente bei den Brüdern und 6 bei den Schwestern. Also je <math> \textstyle \binom{2}{2} </math> gleichgeschlechtliche Amben. Eigentlich ist die Rechnung schon fertig Sie lautet:
:<math> \textstyle \binom{12}{2} - \binom{6}{2} - \binom{6}{2} =</math> <math> \textstyle \binom{12}{2} - 2 \cdot \binom{6}{2} =</math><math> \textstyle \frac{12 \cdot 11}{1 \cdot 2} - 2 \cdot \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} =</math><math> \textstyle 66 - 30 =</math><math> \textstyle 36</math>,
:also genau das Ergebnis, das wir erwarteten.“
:Bevor wir die vom großen Mathematiker Leonhard Euler und späteren eingeführte Schreibart, den „Befehl“ <math> \textstyle \binom{14}{4} </math>, <math> \textstyle \binom{12}{2} </math> usw. näher erläutern, wollen wir, wie bei der Permutation, unsere „Indizes“ hervorholen und uns die „wohlgeordneten“ Kombinationsfälle ansehen. Wieder sind wir unersättlich und behaupten, es gebe „Unionen“, Einsergruppen. Das sind die Elemente selbst, abedef hat also sechs „Unionen“. Damit ist die Kombinationsmöglichkeit abgeschlossen. Zweiergruppen heißen Amben; Dreiergruppen Temen; Vierergruppen Quaternen; Fünfergruppen Quinternen; Sechsergruppen Sexternen; Siebenergruppen Septernen; Achtergruppen Okternen. Weiter ist die sprachliche Möglichkeit nicht recht gegeben. Novernen, Dezernen, Undezernen usw. sind keine hübschen Worte. Vor allem sind sie ungebräuchlich. Man kann ja ruhig Neunergruppen, Zwanzigergruppen, Dreihundertfünfzehnergruppen usw. sagen.
:Bilden wir zuerst aus den Elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Ternen (Dreiergruppen)
<pre>
123 135 234 256
124 136 235 345
125 145 236 346
126 146 245 356
134 156 246 456
</pre>
:Das Zeichen der Beendigung der Operation ist hier der Umstand, daß soviel der letzten aller Elemente ohne Unterbrechung wohlgeordnet auftreten müssen, als die Gruppe Elemente hat. Hier also die letzten drei Elemente 4, 5 und 6. Hätten wir Amben von 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, so hieße die erste Ambe 12 und die letzte 89. Wir sehen weiter, daß in der Kombination niemals ein „höheres“ Element vor einem „tieferen“ stehen darf. 42 als Ambe in einer Kombination ist unmöglich. Denn es muß vorher schon 24 als Ambe gegeben haben1) und dieselbe Zusammensetzung darf niemals mehrfach vorkommen.
::(<small>Dies gilt nur, wenn ich bei Aufstellung der Amben „synthetisch“ vorgegangen bin. Für ein wahlloses Aufstellen von Amben genügt es, daß ich eine Ambe, etwa 42, nicht mehr wiederholen darf, wenn ich sie einmal angeschrieben habe. Auch nicht als 24.</small>)
:Bilden wir noch zur Übung die Vierergruppen aus den Elementen a, b, c, d, e, f, g.
<pre>
abcd; acde; adef; aefg; bcde; cdef; befg; cdef; cefg; defg;
abce; acdf; adeg; bcdf; bdeg; cdeg;
abcf; acdg; adfg; bcdg; bdfg; cdfg;
abcg; acef; bcef;
abde; aceg; bceg;
abdf; acfg; bcfg;
abdg;
abef;
abeg;
abfg;
</pre>
:Die Art und Weise, wie man vorzugehen hat, ist klar ersichtlich. Mail schreibt aus den ersten vier Elementen die erste Quaterne an und wechselt, solange es geht, das jeweils letzte Glied gegen ein höheres um. Geht dies nicht mehr, dann erhöht man das vorletzte usw.
:Die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen findet man nun durch folgende Überlegung. Ich habe etwa 6 Elemente gegeben und soll daraus Amben bilden. Ich muß also jedes dieser sechs Elemente mit jedem der jeweils übrigbleibenden (6-1) Elemente, also mit 5 Elementen verbinden. Ich hätte also 6×5=30 Amben. Nun ist das zuviel. Denn bei diesem Vorgehen erhalte ich jede Ambe doppelt, nämlich einmal als „ab“ und einmal als „ba“, da ich ja jedes der Elemente mit den übrigen verbinde. Die richtige Zahl der Kombination ist also <math> \textstyle \frac{6 \cdot (6-1) }{2}</math> oder <math> \textstyle \binom{6}{2} </math>, da dieser „Befehl“ <math> \textstyle \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} </math> bedeutet. Wenn ich zu Ternen aufsteigen will, muß ich jede der schon gebildeten Amben mit den in der betreffenden Ambe nicht vorkommenden restlichen (6-2) Elementen verbinden. Ternenzahl ist also <math> \textstyle \frac{6 \cdot (6-1) }{2} \cdot \frac{(6-2)}{3} </math> da ich auch hier wieder die unfreiwillige Permutation durch eine Division durch 3 rückgängig machen muß.
:Man kann in dieser Art weitergehen. Da aber das Bildungsgesetz der Rechnung schon jetzt klar ist, wollen wir etwa die Quinternenzahl aus 10 Elementen direkt anschreiben. Sie beträgt
:<math> \frac{10 \cdot (10-1) \cdot (10-2) \cdot (10-3) \cdot (10-4) }{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =</math><math> \binom{10}{5} = </math><math> 252 </math>.
:Nun wollen wir uns den Zauberschlüssel, jenes <math> \textstyle \binom{10}{5} </math> oder <math> \textstyle \binom{14}{4} </math> wie es heißen mag, näher ansehen. Es ist klar, daß es auch einen Befehl bedeutet. Nur hat dieser Kombinationsoperator oder Binomialkoeffizient oder wie wir ihn nennen mögen, sehr merkwürdige Eigenschaften. Man kann nämlich den Befehl auf verschiedene Art befolgen. Zuerst in der von uns bisher angewendeten. Vor allem bemerken wir, daß die obenstehende Zahl stets größer oder höchstens gleich groß mit der untenstehenden sein muß. Unter dieser Bedingung lautet der Befehl: „Verwandle das Zauberzeichen in einen gewöhnlichen Bruch oder in eine Division, indem du zuerst unten die Fakultät der untenstehenden Zahl anschreibst und dann oben, beginnend von der dort stehenden Zahl, soviele jeweils um eins verkleinerte Faktoren aufstellst, als die untere Zahl angibt.“ Das sieht verwickelt aus. Daher rasch noch drei Beispiele:
:<math> \binom{17}{6} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} </math> oder
:<math> \binom{8}{7} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} </math> oder
:<math> \binom{19}{2} = \frac{19 \cdot 18}{1 \cdot 2 } </math> oder
:Kurz, ich beginne unten von eins bis zur untenstehenden Zahl. Und oben setze ich gleichviel Faktoren von der obenstehenden Zahl herunter an.
:Zum gleichen Ergebnis gelange ich auch in anderer Art. Ich kann nämlich <math> \textstyle \binom{17}{6} </math> auch als <math> \textstyle \frac{17!}{6! \; (17-6)!} </math> ansetzen. Das hieße:
:<math> \textstyle \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \times 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11} </math>
:Jeder halbwegs Rechengewandte sieht, daß man durch 11! kürzen kann und daß dann dasselbe bleibt, wie nach dem ersten Verfahren. Nur sind die oberen Faktoren (12 bis 17) jetzt in aufsteigender Reihenfolge geschrieben.
:Aber noch etwas anderes ergibt sich, das wir an einem übersichtlicheren Beispiel klar machen wollen. <math> \textstyle \binom{8}{3} </math> ist nach der zweiten Lesart <math> \textstyle \frac{8!}{3! \; (8-3)!} </math>, also <math> \textstyle \frac{8!}{3! \times 5!} </math> oder ausgeschrieben <math> \textstyle \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \times 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} </math> und es steht mir frei, ob ich durch 1•2•3 oder durch 1•2•3•4•5 kürzen will. Nebenbei bemerkt, könnte ich nicht nur entweder durch 3! oder durch 5! kürzen, sondern nach jeder dieser Kürzungen noch durch andere Größen. Wir wollen aber annehmen, daß man nur entweder durch 3! oder durch 5! kürzen soll. Kürze ich nun durch 5!, dann erhalte ich <math> \textstyle \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} </math> oder, wenn ich die Reihenfolge oben umkehre, <math> \textstyle \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} </math> ,also nichts anderes als die erste Lesart von <math> \textstyle \frac{8}{3} </math>, was wir schon im ersten Beispiel feststellten. Wenn ich aber durch 3! kürze, dann erhalte ich zu meiner Überraschung etwas anderes. Nämlich
:<math> \textstyle \frac{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} </math> oder <math> \textstyle \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} </math>
:Was heißt das aber? Es muß da etwas nicht stimmen. Denn nach der ersten Lesart wäre das doch die Ausrechnung von <math> \textstyle \binom{8}{5} </math>. Daran gibt es nichts zu deuteln. <math> \textstyle \binom{8}{3} </math> soll also gleich sein mit <math> \textstyle \binom{8}{5} </math>? Ist so etwas möglich? Schließlich können wir es ja ausrechnen und verifizieren.
:<math> \textstyle \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56 </math> und
:<math> \textstyle \binom{8}{5} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 56 </math>.
:Wir haben uns also nicht getäuscht. Kombinatorisch gesprochen gibt es aus 8 Elementen ebensoviel Temen wie Quinternen. Und ebensoviel Amben wie Sexternen. Denn <math> \textstyle \binom{8}{2} </math> muß gleich sein <math> \textstyle \binom{8}{6}</math>, da die zweite Lesart für <math> \textstyle \binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \; (8-2)!} = \frac{8!}{2! \; 6!}</math> und für <math> \textstyle \binom{8}{6} = \frac{8!}{6! \; (8-6)!} = \frac{8!}{6! \; 2!}</math> somit das gleiche Resultat, für beide Fälle liefert.
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