Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»

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Línea 76:
a a b b b c und als letzte c b b b a a.
</pre>
 
 
:Es ist zu zeitraubend, die Formel für solche Fälle, genannt „Permutationen mit mehrfachem Auftreten einzelner Elemente“, abzuleiten. Ich bitte also um Kredit, wenn ich die Formel einfach anführe. Sie lautet in unserem Falle: Gesamtzahl der Permutationen, also 6!, dividiert durch die Fakultäten der wiederholten Elemente, die miteinander zu multiplizieren sind. Also 6! dividiert durch das Produkt von 2!, 3! und 1!, was als Bruch geschrieben gleich ist
:<math> \frac{6!}{2! \; 3! \; 1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \times 1 \cdot 2 \cdot 3 \times 1} = 60</math>
:Ich werde unsere Obstarten also in 60 verschiedene Gruppierungen bringen können. Für mathematisch agilere Leser sei noch beigefügt, daß diese Formel eigentlich die allgemeinere ist. Ich könnte bei jeder Permutation fragen, wie oft jedes Element auftritt. Und dann etwa bei fünf verschiedenen Elementen beherzt schreiben:
:Zahl der Permutationen <math> \textstyle \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1! \; 1! \; 1! \; 1! \; 1!} </math>, da ja jedes Element nur einmal auftritt. Wie man sieht, ergibt sich ein richtiges Resultat. Und unsere erste Formel wird, wie man sagt, zu einem Spezialfall der zweiten, allgemeineren.
:Zum Abschluß der Permutationsbetrachtung noch ein Beispiel. Wie hoch ist die Anzahl der Permutationen aus abbbbc? Natürlich
:<math> \frac{6!}{1! \; 4! \; 1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \times 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \times 1} = 30</math>.
:Der blicksichere Leser wird dabei noch merken, daß wenn ich die Rufzeichen wegdenke, die Ziffernsummen oberhalb und unterhalb des Bruchstrichs stets gleich sein müssen; was ja klar ist, da ich zuerst die Fakultät der ganzen Elementenzahl als Bruchzähler und dann die Fakultäten der diese Elementenzahl zusammensetzenden Elementengruppen als Bruchnenner anschreibe.
:Natürlich ließe sich über die Permutation noch viel sagen. Es gäbe auch noch eine große Anzahl von Problemen, die wir erörtern könnten. Da es sich aber bei der Permutation durchaus nicht um die für die Mathematik im allgemeinen und für unsere Absichten im besonderen wichtigste Form der Kombinatorik handelt, wollen wir mit der Feststellung schließen, daß bei der Perinutation stets alle Elemente verwendet werden müssen und daß diese Elemente umgestellt werden, daß also die verschiedene Reihenfolge der Elemente dafür entscheidend ist, ob verschiedene Permutationsfälle vorliegen. Es gäbe ja stets nur einen einzigen Fall aus so und soviel Elementen, wenn ich nur die Mischung und nicht die Reihenfolge beachten würde. Die. Permutation ist also nichts als ein Umstellen der Reihenfolge, ein Durcheinandermischen.