Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»

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:Kreisvertauschung oder zyklischen Vertauschung aus der Gesamtmenge der möglichen 87.178.291.200 Permutationsfälle künstlich herausgegriffen, weil die weitere Nebenbedingung der relativen Unveränderlichkeit der Tischordnung hinzugekommen ist.
 
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:'''Sechstes Kapitel'''
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:'''Permutation'''
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:Eine biedere Familie einer leider längst vergangenen Zeit besteht aus den beiden Eltern und zwölf wohlgeratenen, gesunden Kindern. Die Familie sitzt zufrieden um den Mittagstisch. Plötzlich wird ein Junge vorlaut. Er behauptet, stets nur den Rest der Suppe zu bekommen, da sein Platz bei Tisch ein ungünstiger sei. Die Familie ist verträglich und ist gewöhnt, Meinungsverschiedenheiten im Kompromißwege beizulegen. Kurz, es wird beschlossen, von nun an die Tischordnung jeden Tag zu verändern, da das Dienstmädchen nicht dazu zu bringen ist, ihren Rundgang beim Servieren irgendwie anders als seit jeher vorzunehmen. Aus dem Ereignis entwickelt sich ein allgemeines Gespräch und man schätzt die Zeit, die es dauern kann, bis alle möglichen Tischordnungen erschöpft sind. „Nun, einige Tage“, meint der eine Junge. „Sagen wir lieber einige Wochen“, wirft ein Mädchen überlegen ein. Schließlich einigt man sich auf ein Jahr. „Es gibt doch dafür eine Formel“, läßt sich der älteste Sohn vernehmen. „Nun, und wofür hältst du unseren Fall, mathematisch gesprochen?“ prüft schmunzelnd der Vater. Der älteste Sohn sinnt eine kurze Weile. Dann sagt er: „Da es sich um die Umstellung einer Tischordnung handelt, ist es nicht gleichgültig, ob Eva neben Alphons oder ob Alphons neben Eva sitzt. Das sind hier zwei verschiedene Fälle. Außerdem werden keine Gruppen gebildet. Wir alle, wir vierzehn Personen, werden jedesmal in eine andere Reihenfolge gesetzt. Es ist dasselbe, als wenn ich vierzehn Dinge, vierzehn Elemente, wie man in der Mathematik sagt, nacheinander in alle möglichen Reihenfolgen bringen sollte. Diese Art der Durcheinanderwechslung heißt Permutation. Und ihre Formel lautet: Die Zahl der Elemente als Fakultät. In unserem Falle also die Vierzehn mit einein Rufzeichen. Vierzehn-Fakultät!“ Der Vater nickt befriedigt. Papier und Bleistift werden in der Pause zwischen Suppe und Fleischgericht geholt und die älteren Kinder rechnen mit roLen Köpfen. Wie groß ist diese 14!, diese Hexenzahl? Ein furchtbares Ergebnis 1 Die Zahl lautet: 87.178.291.200. Was soll man mit diesen Milliarden Möglichkeiten beginnen? Wie lang braucht man dazu? Ach, das Jahr hat ja 365 Tage! Dividieren wir also durch 365. Wieder wird gerechnet. Und ahnungslos, rein dem neuen „Algorithmus“ folgend, verkündet Alphons, der Schnellrechner unter den Geschwistern: „Ich erhalte als Quotienten die Zahl 238.844.633.“ „Weißt du, was das heißt?“ ruft entsetzt der Philosoph unter den Söhnen. „Es heißt, daß wir mit unserer Tischordnung erst in fast 239 Millionen Jahren fertig sind, wenn wir alle Möglichkeiten erschöpfen wollen. Und daß wir über 119 Millionen Jahre brauchen, wenn wir täglich zweimal und noch immer fast 60 Millionen Jahre, wenn wir bei Frühstück, Mittagmahl, Vesper und Abendessen die Tischordnung verändern?“ „Und ich werde sterben, bevor ich eine anständige Suppe bekomme“, jammert hilflos der Jüngste.
:Wir haben an diesem Beispiel zugleich die geradezu dämonische Vielfalt der Vertauschungsmöglichkeiten, die Zauberkraft des „Fakultäts“-Befehls und die erste Art einer möglichen Kombinatorik darstellen wollen. Nun haben wir wieder neues „Material“ und wollen es systematisch durchforschen.
:Zuerst noch zur Beschwichtigung des Lesers: Unsere biedere Familie, abgeschreckt durch die Kombinatorik, ist auf einen einfacheren Ausweg verfallen, die berechtigte Klage des jüngsten Sohnes zu berücksichtigen. Das Dienstmädchen erhielt den Auftrag, ohne Rücksicht auf den Platzinhaher, mit dem Servieren stets bei einem und demselben Sessel zu beginnen. Die ganze Familie aber „versetzte“ sich jeden Tag um einen Sessel, und zwar im Sinne der Drehung des Uhrzeigers. In bezug aufeinander, auf die jeweiligen Sitznachbarn, war also die Tischordnung unverändert. Wurde aber der Tisch als Bezugssystem betrachtet, dann änderte sie sich jeden Tag. Durch diese Lösung war jeder Tischgenossc alle fünfzehn Tage einmal der Erste, der die Suppe erhielt.
:Mathematisch betrachtet liegen auch bei dieser Anordnung vierzehn einzelne Permutationsfälle vor, von denen wir einige aufschreiben wollen:
<pre>
1, 2, 3, 4, 5, G, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (erster Tag)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1 zweiter Tag)
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 2 (dritter Tag)
</pre>
:usw.
 
<pre>
14, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 (vierzehnter Tag)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (fünfzehnter Tag)
</pre>
 
 
 
:Nur sind die angedeuteten vierzehn Fälle (der erste und fünfzehnte sind ja gleich) nach einem anderen Prinzip, nämlich dem der sogenannten Kreisvertauschung oder zyklischen Vertauschung aus der Gesamtmenge der möglichen 87.178.291.200 Permutationsfälle künstlich herausgegriffen, weil die weitere Nebenbedingung der relativen Unveränderlichkeit der Tischordnung hinzugekommen ist.
 
 
:Wir haben im obigen Beispiel die zu vertauschenden Sitzplätze mit Ziffern bezeichnet. Man könnte sie auch mit Buchstaben nach der Reihenfolge des Alphabets bezeichnen. Natürlich bedeutet an sich eine solche Numerierung ebensowenig eine größenmäßige Rangordnung wie etwa die Numerierung der Sitze einer Sitzreihe im Theater. Ich könnte die zu vertauschenden Dinge ebensogut durch Farben, durch Namen, durch irgendwelche Unterscheidungszeichen charakterisieren. Deshalb spricht man bei solchen „Anzeigern“, bei solchen Markierungen der Unterscheidung sonst vollkommen gleichwertiger Dinge, von „Indizes“ (Einzahl: „Index“ oder auf deutsch „Anzeiger“). Dieser pure Anordnungszwcck von Zahlen oder Buchstaben spielt, besonders seit Leibniz, dessen Genie auch diesen „Algorithmus der Ordnung“ einführte, eine zunehmend bedeutungsvolle Rolle in der Mathematik. Nun wollen wir uns etwas nicht ganz leichtes verdeutlichen. Wir behaupteten apodiktisch, die Dinge seien gleichwertig und die Nummern oder Indizes, oder wie wir sie sonst nennen wollen, hätten keine Größenbedeutung. Gleichwohl spricht man ruhig davon, daß etwa das mit zwei bezeichnete Ding „höher“ oder das „höhere Element“ sei als das mit eins bezeichnete Ding. Man sollte korrekter sagen: Ding 2 ist das mit dem „höheren Index“ bezeichnete Ding gegenüber dein Ding 1. Ansonst sind Ding 1 und Ding 2 gleich, vor allem gleich groß.
::(<small>Es ist auch denkbar, daß die Dinge verschieden groß sind, ohne daß ich auf die Größe achte. Es interessiert mich lediglich ihr „Dingsein“, ihr Einheitscharakter.</small>)