Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
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:Mathematik von A bis Z (Teil 6)
Kreisvertauschung oder zyklischen Vertauschung aus der Gesamtmenge der möglichen 87.178.291.200 Permutationsfälle künstlich herausgegriffen, weil die weitere Nebenbedingung der relativen Unveränderlichkeit der Tischordnung hinzugekommen ist.
:Wir haben im obigen Beispiel die zu vertauschenden Sitzplätze mit Ziffern bezeichnet. Man könnte sie auch mit Buchstaben nach der Reihenfolge des Alphabets bezeichnen. Natürlich bedeutet an sich eine solche Numerierung ebensowenig eine größenmäßige Rangordnung wie etwa die Numerierung der Sitze einer Sitzreihe im Theater. Ich könnte die zu vertauschenden Dinge ebensogut durch Farben, durch Namen, durch irgendwelche Unterscheidungszeichen charakterisieren. Deshalb spricht man bei solchen „Anzeigern“, bei solchen Markierungen der Unterscheidung sonst vollkommen gleichwertiger Dinge, von „Indizes“ (Einzahl: „Index“ oder auf deutsch „Anzeiger“). Dieser pure Anordnungszwcck von Zahlen oder Buchstaben spielt, besonders seit Leibniz, dessen Genie auch diesen „Algorithmus der Ordnung“ einführte, eine zunehmend bedeutungsvolle Rolle in der Mathematik. Nun wollen wir uns etwas nicht ganz leichtes verdeutlichen. Wir behaupteten apodiktisch, die Dinge seien gleichwertig und die Nummern oder Indizes, oder wie wir sie sonst nennen wollen, hätten keine Größenbedeutung. Gleichwohl spricht man ruhig davon, daß etwa das mit zwei bezeichnete Ding „höher“ oder das „höhere Element“ sei als das mit eins bezeichnete Ding. Man sollte korrekter sagen: Ding 2 ist das mit dem „höheren Index“ bezeichnete Ding gegenüber dein Ding 1. Ansonst sind Ding 1 und Ding 2 gleich, vor allem gleich groß.
::(<small>Es ist auch denkbar, daß die Dinge verschieden groß sind, ohne daß ich auf die Größe achte. Es interessiert mich lediglich ihr „Dingsein“, ihr Einheitscharakter.</small>)
:Es handelt sich hier wieder um eine Kabbala. Nämlich die Kabbala der Anordnung oder Zuordnung. Ich könnte einfach nicht sprechen, nicht schreiben, wenn ich die Indizes nicht nach einem Größenprinzip anreihen dürfte. Das Alphabet ist da vielleicht korrekter und weniger zweideutig als die Indizierung durch Ziffern, die ja ihre Größenbedeutung irgendwie unbewußt mitschleppen. Der Buchstabe d steht im Alphabet „höher“ als der Buchstabe b. Folglich ist das Ding d in der Kombinationslehre „höher“ gereiht als das Ding.
::(<small>Man nennt diese Anordnung auch die „lexikographische“. [Wie in einem Lexikon!]</small>)
:Durch diese Festlegung des „Platzranges“ ergibt sich der für alle kombinatorischen Überlegungen grundlegende Begriff der „guten Ordnung“ oder der „Wohlordnung“. Eine Wohlordnung liegt dann vor, wenn ich z. B. bei der Permutation in folgender Art fortschreite:
::abc, acb, bac, bca, cab, cba, oder in Ziffern
::123, 132, 213, 231, 312, 321.
:Durch diese Art des Fortschreitens, wobei stets das „tiefere“ Element solange als nur irgend möglich an seinem Platz gehalten wird, kann uns kein kombinatorischer Fall entgehen, wir steigen, wie man sagt, von der „niedersten“ zur „höchsten“ Permutation in „guter Ordnung“ auf und erhalten als Beweis der Beendigung unserer Bemühung am Schluß die Umkehrung der Ausgangspermutation. Während in der „niedersten“ Permutation kein Element vor einem niedereren stand, stellt in der „höchsten“ Permutation jedes Element vor einem niedereren. Ich will nicht allzusehr verwirren, kann aber doch nicht umhin, zu bemerken, daß bei einer Auffassung der Permutationen als wirkliche Zahlen tatsächlich auch die niederste Permutation die niederste Zahl und die höchste Permutation die höchste Zahl darstellt (123 ... 321). Dazwischen liegen, größenmäßig wohlgeordnet, alle anderen Zahlen, die sich aus 1, 2 und 3 bilden lassen.
:Doch wir wollen energisch von diesem letzten Zusammenhang wegdenken und wieder zu unseren größenfremden Indizes zurückkehren. 123 bedeutet für uns jetzt dasselbe wie 321 oder 231, nämlich irgendeine beliebige Permutation der drei erwähnten Indizes.
:Nun wollen wir das Problem lösen, wieso unser rätselhafter „Befehl“, unsere „Fakultät“, unsere 3 mit dem Rufzeichen, so treffsicher die Gesamtzahl möglicher Permutationen angibt. Zuerst behaupten wir der Vollständigkeit halber oder, wie man heute sagt, „zur Aufrechterhaltung des Systems“ einen logischen Unsinn. Wir haben Ähnliches schon bei den Potenzen, und zwar bei der nullten und ersten Potenz kennen gelernt. Wir verlangen also zu wissen, wie groß die Permutationszahl ist, wenn wir nur ein Element besitzen. Deutlicher: „Stelle ein Element in Wohlordnung solange um, bis du alle Möglichkeiten erschöpft hast.“ Nach gehöriger Überlegung formulieren wir den einen Unsinn mathematisch durch einen zweiten, womöglich noch größeren. Wir schreiben stolz hin: Zahl der Permutationen ist gleich 1! (Eins Fakultät.) Oder in Worten: Um das Resultat zu erhalten, soll man 1, von 1 beginnend, solange mit den nächsthöheren Ziffern multiplizieren, bis man endlich zur Eins gelangt! Daß sich dabei wieder die Zahl Eins ergibt, ist kaum unklar.
:Nach diesem logischen Exzeß wollen wir vorsichtig weiterkalkulieren. Was geschieht bei zwei Elementen? Schreiben wir in Wohlordnung an:
<pre>
ab ba
</pre>
:Kein Zweifel: Wir haben die Zahl aller möglichen Permutationen von der niedersten zur höchsten durchlaufen. Und nun wollen wir messerscharf denken, um einen Übergang zu der uns schon als Behauptung bekannten Formel zu finden. Was haben wir gemacht? Wir haben a solange als möglich an seinem Platz gehalten und inzwischen gleichsam b permutiert. Als wir damit fertig waren, haben wir b an erste Stelle gerückt und a permutiert. Wir haben also die Permutation der Einzelelemente zweimal vorgenommen. Ein Einzclelement hat aber bloß eine Permutation, folglich ist die Permutationszahl aus zwei Elementen 1•2, oder in unserer Form geschrieben 2!, also gleich der Fakultät von zwei, was als Ergebnis die Zahl 2 liefert. Bei drei Elementen ergibt sich:
<pre>
abc bac cab
acb bca cba
</pre>
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