Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»

:<math> \textstyle 2(\frac{x-4}{3}) + 3(\frac{x-4}{3}) - 4(\frac{x-4}{3}) = </math><math> 9 - 2(\frac{x-4}{3})</math>

:und <math> \textstyle \frac{x-4}{3} = n </math>.

:Wenn wir also unser Beispiel einer diophantischen Gleichung:

:<math> 3y + 8x = 91 </math>

:Nun ist aber <math> n_1 </math>, wieder gleich <math> (2n_2-1) </math>. Folglich ist <math> y </math>, nur durch Konstante und <math> n_2 </math> ausgedrückt:

:<math> y = 30 - 2(3n_2-1) - (2n_2 - 1) = </math><math> y = 30 - 6n_2 + 2 - 2n_2 + 1 = </math><math> y = 33 - 8n_2 </math>.

:<math> x = 3n - 1 </math>

:<math> y = 33 - 8n </math>.

:<math> \textstyle \sqrt[5]{a^6} : \sqrt[3]{a^7} = (a^6)^{ \frac{1}{5}} : (a^7)^{ \frac{1}{3} } =</math><math> \textstyle a^{ \frac{6}{5}} : a^{ \frac{7}{3}} =</math><math> \textstyle a^{ \frac{6}{5} - \frac{7}{3} } =</math><math> \textstyle a^{ \frac{6 \cdot 3 - 7 \cdot 5}{15} } =</math><math> \textstyle a^{ \frac{-17}{15}} =</math><math> \textstyle a^{ - \frac{17}{15}} =</math><math> \textstyle \sqrt[-15]{a^{17}} =</math><math> \textstyle \sqrt[15]{a^{-17}} =</math><math> \textstyle \sqrt[15]{ \frac{1}{ a^{17}}} =</math><math> \textstyle \frac { \sqrt[15]{1} }{ \sqrt[15]{a^{17}} } =</math><math> \textstyle \frac {1}{ \sqrt[15]{a^{17}} }</math>.

:Zum Abschluß sei bemerkt, daß die zweite Wurzel gewöhnlich nicht geschrieben wird, das heißt daß <math> \sqrt{a} </math> soviel bedeutet wie <math> \sqrt[2]{a} </math>, da ja eine <math> \sqrt[1]{a} </math> überhaupt kein Wurzeli t zeichen braucht, da <math> \sqrt[1]{a} = a^{ \frac{1}{1} } = a^1 = a</math> sein muß.

::(<small>Prinzipiell ist jede Wurzel aus einer konkreten Zahl berechenbar. Das dafür ersonnene Verfahren erfordert jedoch, wie erwähnt, große Sorgfalt und Mühe, so daß es für die Praxis des Rechners kaum in Betracht kommt.</small>)

 

:Da nun aber auch Zwischenwerte zwischen beliebigen anderen ganzen Zahlen, etwa zwischen 12 und 13 stets in der Form unechter Brüche, also <math> \textstyle \frac{25}{2} = 12 \frac{1}{2}</math> oder in der Form <math> \textstyle 12 + \frac{1}{2} </math>, <math> \textstyle 12 + \frac{3}{4} </math>, <math> \textstyle 12 + \frac{7}{8} </math> usw. auszufüllen sind, haben wir berechtigte Hoffnung, daß wir unsere <math> \sqrt[4]{25} </math>, wo nicht ganzzahlig, so doch durch einen Bruch lösen können. Und wir denken, da <math> 2^4 = 16 </math>, <math> 3^4 = 81</math>, daß diese vierte Wurzel die Form 2 plus irgendeinem komplizierten Bruch haben wird, etwa um <math> \textstyle 2 + \frac{1}{4} </math> herum, da <math> \textstyle 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4} </math> zur Vierten gleich ist

:<math> \textstyle \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{4} \cdot = \frac{6561}{256} = 25 \cdot 63 \dots </math>

:Wir müssen also unser Problem allgemein stellen, was nicht schwer ist. Wir wissen, daß es zwei Fälle gibt. Entweder ist bei der n-ten Wurzel von ''a'' dieses ''a'' gleich pⁿ. Dabei sollen ''a'' und ''p'' ganze positive Zahlen sein. Oder aber unser ''a'' liegt zwischen zwei n-ten Potenzen von ''p''.

:Also <math>p^n < a < (p+1)^n </math>.

:Ich denke, wir sind soweit, unseren Summenoperator anschreiben zu können. Er lautet:

:<math> \sum_{\varrho=0}^7 a_{\varrho+1}g^{\rho} </math> oder <math> \sum_{\nu=0}^7 a_{\nu}g^{\nu-1} </math>.

::(<small>Von anderen Möglichkeiten wird hier absichtlich nicht gesprochen.</small>)

:Auch könnte ein und dieselbe Zahl sowohl Index als Potenzanzeiger besitzen. Das hieße dann, daß sich die betreffende allgemeine Zahl ändert, doch aber ihre Potenzanzeiger nach einem Gesetz steigen oder fallen. Um jedoch nicht zu abstrakt zu werden, wollen wir jetzt, wohl wissend, daß der Summenoperator anfänglich große Schwierigkeiten macht, gemeinsam einige Beispiele mehr oder weniger verwickelter Art durchrechnen. Und dazu noch bemerken, daß der Summierungsbefehl eine geradezu unabsehbare Vereinfachung beim Rechnen bedeutet, da er es gestattet, sonst kaum anschreibbare Ausdrücke spielend auf den Raum eines Ausdruckes zusammenzufassen.

:Unser neuer Algorithmus, bei dem ich mit Rücksicht auf die Art, wie wir Zahlen anschreiben, die obere und untere Grenze scheinbar sinnwidrig angesetzt habe, liefert uns folgendes Ergebnis:

:1. Index und Potenzanzeiger in jeder Gruppe ''a'' mal ''g'' sind gleich.

:Wir wollen aber nicht zu tief dringen und nur noch ein ganz eigentümliches, aber sehr häufig verwendetes System zeigen, nach dem wir sogar „alternierende“ Reihen gewinnen können. Das sind Reihen, bei denen das Vorzeichen systematisch abwechselt. Versuchen wir etwa die berühmte Leibniz-Reihe

:<math> \textstyle \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots </math>

:Damit sich aber sonst nichts ändert und damit nur das Vorzeichen hin und her springt-, haben wir zudem noch (—1) als Basis gewählt. Wohl ein überaus raffinierter Trick!

:So verlockend es nun wäre, diesen neuen Algorithmus, den wir noch einmal allerdringendsL zum genauen Studium empfehlen, weiter zu durchforschen, da das Gezeigte ja nur einen sehr kleinen Ausschnilt aller Möglichkeiten gibt, wollen wir jetzt endlich zu unseren Systembrüchen übergehen. Und zwar an der Hand von Beispielen. Vorausgesetzt wird, daß wir nur sogenannte „reduzierte“ Brüche behandeln, das sind Brüche, deren absoluler Wert kleiner ist als eins und deren Zähler und Nenner teilerfremd sind, also kein gemeinsames Maß besitzen. Nun häufen sich leider plötzlich die neuen Begriffe. Wir haben von „absolutem“ Werte gesprochen und müssen diese Bezeichnung schnell noch erklären: Es ist offensichtlich, daß „kleiner als eins“ zweierlei bedeuten kann. Nämlich zuerst das, was man gewöhnlich darunter versteht. Also etwa: <math> \textstyle \frac{1}{2} </math> ist kleiner als eins. <math> \textstyle \frac{4}{7} </math> sind kleiner als eins. Überhaupt ist jeder echte Bruch kleiner als eins, weil ich eben einen Bruch, der kleiner als 1 ist, einen echten genannt habe. Nun gibt es aber noch eine zweite BcdcuLung von „kleiner als 1“, die durch Einführung der negativen Zahlen entsteht. Die 0 ist sicher kleiner als 1. Noch kleiner als die 0 ist aber (—1), (—2), (—3) usw. und überhaupt jede negative Zahl.

:Nach diesem Zwischenspiel können wir endlich an unsere Arbeit gehen. Wir versuchen zuerst, festzustellen, welchen Wert etwa der Bruch <math> \textstyle \frac{3}{40} </math> besitzt. Wir finden durch Division den Wert 0,075, haben also einen sogenannten endlichen Dezimalbruch vor uns. Ebenso bei <math> \textstyle \frac{4}{125} </math>, der als Systembruch dezimal geschrieben 0,032 als Ergebnis liefern würde. Daß <math> \textstyle \frac{1}{2} = 0,5 </math> und <math> \textstyle \frac{1}{5} = 0,2 </math> ergibt, weiß jedes Kind. Wenn wir nun, der allgemeinen Schreibweise folgend, den Bruchzähler eines „reduzierten“ echten Bruches mit ''p'', den Nenner mit ''q'' bezeichnen, dann gilt die Regel, daß jeder solche gemeine Bruch einen endlichen Systembruch liefert, wenn der Nenner ''q'' des Bruches lediglich aus den zwei Primfaktoren 2 und 5 der Grundzahl 10 unseres Dezimalsystems zusammengesetzt ist.

:<math> 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1 </math>,

:Eine irrationale Zahl, das heißt ein Systembruch, der ohne Regel und ohne oder mit einem anderen als dem bisher geschilderten Bildungsgesetz der reinperiodischen oder gemischtpcriodischen Brüche ins Unendliche läuft, ist als Ergebnis einer Division undenkbar. Er kann nur aus Wurzeloperalionen (Operationen mit gebrochenen Potenzexponenten) oder aus unendlichen Summierungen von gewissen fallenden Potenzreihen mit negativem Potenzanzeiger oder aus anderen Reihen von fallenden Brüchen (etwa mit steigenden Fakultäten im Nenner) hervorgehen.

:Wir sind also sicher, in jedem Bruch und in jeder Division rationaler Zahlen als Resultat einer Ausrechnung eine rationale Zahl zu erhalten. <math> \textstyle \frac{p}{q} = r</math> (rationale Zahl), wie immer ''p'' und ''q'' aussehen mögen, ob sie nun ganze, gebrochene, positive und negative Zahlen sind. Nur irrational dürfen weder ''q'' noch ''p'' sein.

:Zugleich aber wird diese „Rückverwandlung“ eine taugliche Probe auf unsere bisherigen Behauptungen sein. Nur können wir es uns vorläufig noch gar nicht recht vorstellen, wie es möglich sein soll, unendliche, wenn auch periodische Brüche rechnerisch anzupacken. Wir wissen zwar, daß <math> \textstyle \frac{1}{3} </math> gleich ist 0,333333... (periodisch ins Unendliche), wenn wir aber nur 0,333333333... vor uns hätten, wüßten wir nicht, wie wir daraus einen gemeinen Bruch machen sollen. Wenigstens nicht ohne scharfe und tiefe Überlegungen.

:Am einfachsten ist es wohl, einen endlichen Dezimalbruch zurückzuverwandeln. Etwa 0,225. Ich brauche ihn bloß auszusprechen, als gemeinen Bruch zu schreiben und erhalte das Resultat. Also <math> \textstyle 0,225 = \frac{225}{1000} </math>, das aber ist, durch 25 gekürzt, nichts anderes als die „reduzierte Form <math> \textstyle \frac{9}{40} </math>“, die sich nicht weiter reduzieren läßt. Will ich unsere Regel dagegen streng wissenschaftlich schreiben, dann setze ich an:

:Dabei ist das <math> \mu </math> (das kleine griechische „mi“) die „laufende Zahl“, ''c'' ist der jeweilige Koeffizient (bei uns also 2, 2, 5) und ''g'' ist die Grundzahl des Systems (bei uns 10). Das ''m'' bedeutet die Stellenzahl des endlichen Dezimalbruches (bei uns 3). Wir hätten also einzusetzen

:<math> \textstyle \sigma_m = \frac{2 \cdot 10^{3-1} + 2 \cdot 10^{3-2} + 5 \cdot 10^{3-3}}{ 10^3} = </math><math> \textstyle \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1 }{1000} = </math><math> \textstyle \frac{225}{1000} </math>,

:Für die Rückverwandlung reinperiodischer Brüche in reduzierte gemeine Brüche benützen wir die Formel ::(<small>Die Ableitung der Rückverwandlungsformeln ist für unsere Zwecke zu langwierig.</small>)

:<math> \sigma_r = \frac{ \sum_{ \varrho=1}^r c_{\varrho} g^{r-\varrho} }{g^r - 1} </math>