Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»
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:Wir überlassen es dem Leser, die Gleichung ohne „Substitution“, ohne „Anstellesetzung“ einer neuen Hilfs-Unbekannten oder Zwischen-Unbekannten direkt auszurechnen. Sicherlich wird diese Probe oder die Probe durch Einsetzen der 13 für das ''x'' die Richtigkeit unseres Vorgehens beweisen. Wir wissen also jetzt praktisch, was eine „Substitution“ ist. Sie ist die Bezeichnung einer kompliziert gebauten Größe durch eine neue einfachere Benennung. Wenigstens auf unserer Stufe. In der höheren Mathematik, insbesondere in der Integralrechnung, wo Substitutionen eine ausschlaggebende und unentbehrliche Rolle spielen, kann es ebensogut vorkommen, daß eine einfachere Größe durch eine kompliziertere ersetzt wird. Übrigens kennen wir selbst schon solche Fälle. Wenn wir aus irgendwelchen Gründen statt 1 etwa <math> 15^0 </math> schreiben oder ''b'' durch <math> b^1 \cdot b^0 </math> entstanden denken, ist das eine Art von Substitution ins Kompliziertere. Allerdings nur eine sehr spezielle Art. Um die größte Allgemeinheit zu wahren, müssen wir sagen, daß man unter Substitution schlechtweg das Ersetzen einer Größe durch eine andere versteht. Natürlich nicht wahllos. Man darf bekanntlich niemandem ein ''x'' für ein ''u'' vormachen. Aber man darf überall, wo ''x'' vorkommt, dafür ''u'' schreiben, wenn man am Schluß die „Bedingungsgleichung“ nicht vernachlässigt, daß ''x'' eben ''u'' ist oder ''x = u''. Ich kann auch überall für ''x'' den Wert ''2u'' schreiben. Oder <math> \textstyle \frac{u}{2} </math> oder <math> \textstyle \frac{u}{250} </math>. Das ''x'' ist dann am Ende eben das Doppelte von ''u'' oder die Hälfte oder ein 250tel.
:Gut, wir haben gesehen, daß sich durch Substitutionen komplizierte Rechnungen vereinfachen lassen. Worin aber besteht eigentlich der Rechtstitel, daß ich überhaupt substituieren darf? Logisch ist die Sache einfach. Wir haben etwa aus <math> \textstyle \frac{x-4}{3} </math> den Oberbegriff ''n'' gebildet, der forderungsgemäß dieses <math> \textstyle (\frac{x-4}{3}) </math> in sich enthält. Denn wir substituieren ja unter der Bedingung: <math> \textstyle n = \frac{x-4}{3} </math>!
:Streng mathematisch sagen wir, daß hier ein Fall von Isomorphismus, von
:<math> \textstyle 2(\frac{x-4}{3}) + 3(\frac{x-4}{3}) - 4(\frac{x-4}{3}) = </math><math> 9 - 2(\frac{x-4}{3})</math>
:und <math> \textstyle \frac{x-4}{3} = n </math>.
Línea 242:
:Das heißt <math> \frac{\pi}{4} </math> wäre erst ausgedrückt, wenn ich diese Reihe bis ins Unendliche berechnet hätte. Ich kann also beliebig genau, niemals jedoch zu Ende rechnen.
:Wir sehen schon jetzt zwei Möglichkeiten, irrationale Zahlen auszudrücken, die in Wahrheit auf ein und dasselbe hinauslaufen. Nämlich die Schreibung in Form von Dezimalbrüchen und die Schreibung in Form unendlicher Reihen, die, wie die „Leihniz-Reihe“ zeigt, auch Addition und Subtraktion mischen können, was man „alternierende“ Reihen nennt.
:Nun wollen wir uns aber mit der sehr schwierigen Lehre von den Reihen noch nicht näher beschäftigen, sondern sie nur so weit durchforschen, als sie uns zur Bewahrheitung unserer Behauptung dient, daß beide Schreibweisen für Irrationalzahlen eigentlich auf demselben Prinzip, nämlich eben auf der Darstellung unendlicher Reihen, beruhen. Zur
:<math> \textstyle 2 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + </math><math> \textstyle \frac{1}{4!} + \dots </math> und als Dezimalzahl in der Form
:e = 2,718 281 828 459 045 235 36...
Línea 319:
:2n-tes Glied:
:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 2n)-1}(-1)^{2n+1} = \frac{1}{4n-1} (-1)^{2n+1} = - \frac{1}{4n-1}</math>.
:Wir erhalten unfehlbar genau die Leibniz-Reihe. Es muß nur noch bemerkt werden, daß 2n der Ausdruck für eine gerade Zahl ist. Denn man kann ein ganzzahliges n (und ein anderes kommt hier nicht in Betracht) wählen wie man will, so muß es, mit zwei multipliziert, eine gerade Zahl ergeben. Ist n=2, dann ist 2n=4. Ist n=27, dann ist 2n=54 usw. Deshalb ist 2n+l, das sich beim 2n-ten Glied als
::(<small>Folgt aus den Regeln der „Befehlsverknüpfung“. Etwa ist (-a)<sup>3</sup>=(-a)•(-a)•(-a) und (-a)<sup>6</sup>=(-a)•(-a)•(-a)•(-a)•(-a)•(-a). Kommt aber das Minus in einer Multiplikation in gerader Zahl vor, so ergibt sich Plus für das Resultat, sonst Minus.</small>)
:Damit sich aber sonst nichts ändert und damit nur das Vorzeichen hin und her springt-, haben wir zudem noch (—1) als Basis gewählt. Wohl ein überaus raffinierter Trick!
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