Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
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Línea 120:
:Wie potenziert unendlich wenig das ist, wissen wir aus dem Aufbau der Zahlenlinic. Einen solchen allerkleinsten Zuwachs von ''x'' nennen wir aber jetzt nicht mehr <math> \Delta x </math>, sondern '''dx''' und das zugehörige <math> \Delta y </math> entsprechend '''dy''', so daß wir schreiben:
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1} </math>
:Nun lüften wir den Schleier: Ohne irgendeine
:Nun ersehen wir aus unserem ominösen „Differentialquotienten“, daß er an jeder Stelle gleich ist. Überall, wo ich das ''x'' um den allerkleinsten Betrag ''dx'' verändere, erhalte ich als Verhältnis des entsprechenden y-Zuwachses zu unserem ''dx'' die Zahl 3 oder <math> 3:1 </math>. Die „Konstante“ hat dabei gar keine Rolle gespielt. Denn hätte ich sie fortgenommen, dann hätte ich
Línea 147:
:Mit diesem Ergebnis können wir nun in der bisherigen Art das Verhältnis von <math> \Delta y </math> und <math> \Delta x </math> nicht befriedigend darstellen. Daher überlegen, kalkulieren wir ein wenig.
::(<small>Daher der Name „Differential-Kalkül“.</small>)
:Wir wollen, so sagten wir, als Endziel nicht den sogenannten „Differenzen“-Quotienten sondern den „Differenzen“-Quotienten <math> \textstyle \frac {\Delta y}{\Delta x} </math> erhalten. Bei diesem aber ist das '''dx''' schon die allerkleinste Zahl. Wenn ich mir eine solche allerkleinste Zahl sehr ungenau etwa als Bruch <math> \textstyle \frac{1}{q} </math> vorstelle, wobei ''q'' natürlich riesenhaft groß sein muß, dann würde diese „allerkleinste“ Zahl durch Potenzierung die Form <math> \textstyle ( \frac{1}{q} )^2 = \frac{1}{q^2} </math> erhalten, wodurch der Nenner „allerriesigst zum Quadrat“ würde. Dadurch aber würde ich, grob gesagt, eine Zahl erreichen, die im quadratischen Verhältnis kleiner ist als die „allerkleinste“ Zahl. Also etwas, das ich selbst neben einer allerkleinsten Zahl unbedingt vernachlässigen darf. Um eine solche „Kleinheit verschiedener Ordnungen“ die wir später genau verdeutlichen wollen, angenähert bildlich auszudrücken, hat
::(<small>Heute würden wir Elektron sagen.</small>)
:Auch unser <math> (dx)^2 </math> verhält sich aber zu <math> (dx) </math> wie ein Staubkorn zur Erde. Es ist bestimmt eine „höhere Kleinheitsordnung“, eine Kleinheit noch fast unendlich kleinerer Art, und kann daher fortgelassen werden. Wir schreiben also, sobald wir zum „Differentialquotienten“ übergehen wollen, für
Línea 499:
:Nun interessiert es uns zuerst, ob die imaginäre Zahlenachse ebenso dicht ist wie die reelle. Denn davon hängt offensichtlich die Dichtheit und Erfülltheit der ganzen Zahlenfläche ab. Wäre die imaginäre Achse nicht ebenso dicht besetzt wie die reelle, dann könnte ich natürlich nicht jeden, auch den winzigsten Punkt der Zahlenfläche (und dies noch dazu an beliebigster Stelle) mit einer Kombination aus imaginären und reellen Zahlen besetzen. Doch wir greifen vor. Denn wir wissen noch gar nicht, ob eine solche Kombination graphisch möglich ist und wie sie aussieht.
:Nun überlegen wir folgendermaßen: Unser '''i''' ist eigentlich aucli eine Art von „Befehl“. Nämlich der Befehl, mit <math> \sqrt{-1} </math> zu multiplizieren. An sich hat jede Zahl <math> a </math> ihren absoluten Wert <math> |a| </math>. Gleichgültig ob dieses <math> |a| </math> eine ganze, gebrochene oder irrationale Zahl ist. Ich kann das <math> |a| </math> gleichsam im natürlichen positiven Teil der reellen Zahlenlinie stets finden. Denn „denkhistorisch“ ist dieser Teil der Zahlenlinie der Ausgangspunkt für alles Weitere. Dort lagen zuerst die natürlichen Zahlen, dort schoben wir die Brüche und dann die Irrationalzahlen ein. Jetzt aber wird erst die „Befehlsfrage“, die
:Und es gibt ja tatsächlich 4 Zahlen wie <math> \textstyle \frac{1}{5}i </math>, <math> \textstyle \frac{1}{17}i </math>, <math> \textstyle i \cdot \sqrt[4]{25} </math>, <math> \textstyle \frac{16b}{9i} </math>, <math> \textstyle \frac{9i}{5} </math> usw. Man könnte '''i''' wie ein Vorzeichen oder wie einen Koeffizienten behandeln und schreiben:
:<math> \textstyle i \cdot \frac{1}{5} </math>, <math> \textstyle i \cdot \frac{1}{17} </math>, <math> \textstyle i \cdot \sqrt[4]{25} </math>, <math> \textstyle \frac{1}{i} \cdot \frac{16b}{9} </math>, <math> \textstyle i \cdot \frac{9}{5} </math> usw.
Línea 547:
:<math> \textstyle \sqrt[n]{1} = \cos ( \frac{90}{n} )^{\circ} + \cdot \sin (\frac {90}{n} )^{\circ} </math>
:wobei das ''n'' beliebig groß sein darf. Aus diesem letzten Beispiel kann der Leser schon die dämonischen Möglichkeiten unseres imaginären Geisterreichs ahnen: Eine n-te Wurzel aus '''i''' hat sich plötzlich in eine komplexe, aus Winkelfunktionen gebildete Zahl verwandelt. Im Geisterreich binden und lösen sich eben die Gegensätze der unteren Welten!
:Nun, im wohlerworbenen Besitz des gesamten Zahlen-Kosmos, wollen wir unsere Erfahrung in der Befolgung von Bewegungsbcfehlen für einen Zweck verwenden, der uns in überraschendster Weise all das zur Einheit verbindet, was wir bisher als
:Eine lange historische Entwicklung hat diese Entdeckung der „analytischen Geometrie“ oder der „Koordinaten“ von Apollonius von Pergä über scholastische Klosterforschungcn, über Nicole von Oresme (14. Jahrhundert) und über Johannes Kepler tastend bis zu Fermat und Descartes geführt. Mit dem Namen des Descartes (Cartesius) aber, der als junger Reiteroffizicr in ungarischen Winterlagern, mitten in den Schrecknissen des Dreißigjährigen Krieges, diese Kunst der „Analysis“ zu einer vorläufigen Vollendung trieb, wollen wir Ehrfurcht vor dem Genius unbeirrbarer geistiger Schaffenskraft unlöslich verbinden.
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