Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»

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\end{align} </math>
:usw.
:Dann müßte ich weiters sämtliche cinbcschricbcncneinbeschriebenen und sämtliche umbeschriebenen Flächenstreifen berechnen. Also: 5 -10 einbeschriebene r Streifen l=y,^x=8-7i7-?r = frö5 JJJ JuJ
 
:einbeschriebener Streifen l <math> \textstyle x_3 = 5 +y_1 \frac{10}{999} Delta y_2x = 8 \cdot \frac{5}{999}5 += \frac{1040}{999}}^2}{5} + 3 </math>
 
:einbeschriebener Streifen 2 <math> \textstyle = y_2 \Delta x = [\frac{({5 + \frac{5}{999})}^2}{5} + 3] \cdot \frac{5}{999} </math>
???
:usw.
 
:umbeschriebener Streifen 1 <math> \textstyle = y_2 \Delta x = [\frac{({5 + \frac{5}{999})}^2}{5} + 3] \cdot \frac{5}{999} </math>
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:umbeschriebener Streifen 2 <math> \textstyle = y_3 \Delta x = [\frac{({5 + \frac{10}{999})}^2}{5} + 3] \cdot \frac{5}{999} </math>
 
:Wenn man nun auch 1000 Streifen statt 999 hätte wählen können, um die Rechnung zu vereinfachen und wenn auch weiters jeder nächstfolgende um beschriebene dem vorhergegangenen einbeschriebenen Streifen gleich ist, sieht man doch, daß schon eine so einfache Funktion wie 3 y=4+3
<math>\textstyle x_1 = 5 y_1 = \frac{25}{5} + 3 = 8 </math>
:<math>\frac{}5 +y = \frac{5}{999}}x^2}{5} + 3 </math>
 
:geradezu unerhörte Schwierigkeiten macht und daß man außerdem nur erst ein angenähertes Ergebnis dadurch erhält.
 
geradezu unerhörte Schwierigkeiten macht und daß man außerdem nur erst ein angenähertes Ergebnis dadurch erhält. :Man sieht aber noch etwas anderes: daß nämlich die Genauigkeit zunehmend wächst, in je mehr Streifen wir die Fläche zerlegen. Wenn wir also das Ax<math> \Delta x </math> so klein als möglich wählen dürften, wenn wir aus Ax<math> \Delta x </math> das ''dx'', das eben noch „hinschwindend“ eine Größe besitzt, zur Grundlinie der FlächcnstreifenFlächenstreifen machen könnten, dann würden wir eine genaue Quadratur erhalten. Dazu aber müßten wir unendlich viele ''y'' berechnen, denn jede Länge des ''x'' bestellt aus unendlich vielen ''dx''. Wir fordern also zur Quadratur eine Operation, die es erlaubt, die Summe aller, innerhalb eines Bereiches von Xj<math> x_1 </math> bis xn<math> x_n </math> gelegenen bzw. von diesen Fußpunkten aufragenden Ordinaten mit ''dx'' zu multiplizieren. Der große Cavalieri schrieb daher das Quadraturproblem als „Summa omnium y“ („Summe aller y“). Und Leibniz notierte auf jenem welthistorischen Zettel am 29. &nbsp;Oktober 1676 die Worte: „Es wird nützlich sein, von nun an statt ,summa omnium y'y‘ des Cavalieri das Zeichen Jydx<math> zu\int schreibeny .\; ..“ Wir sind damit eigentlich auf dem Gipfel unseres Buches angelangt. Leibniz behauptet, es sei nützlich, statt des „Summa omnium y“-Befehls einfach den Integralbefehl !)dx Jydx</math> zu erteilenschreiben...“ Ist das nicht bloß eine Wort
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:Wir sind damit eigentlich auf dem Gipfel unseres Buches angelangt. Leibniz behauptet, es sei nützlich, statt des „Summa omnium y“-Befehls einfach den Integralbefehl <math> \int y \; dx </math> zu erteilen.
 
') ::(<small>Das Wort Integral wurde von Jak[[:de:w:Jakob I. BernouIIiBernoulli|Jakob Bernoulli]] geprägt und mit Leibniz einverständlich als Bezeichnung aes neuen Algorithmus /ydx festgesetzt. <small>)
<math>\frac{}5 + \frac{5}{999}}^2}{5} + 3 </math>
:Ist das nicht bloß eine Wortspielerei? Oder steckt doch mehr dahinter? Etwa wieder eine „wahre Kabbala“?
 
Spielerei? Oder steckt doch mehr dahinter? Etwa wieder eine „wahre Kabbala“? :Das müssen wir jetzt Schritt für Schritt untersuchen. Auf jeden Fall wissen wir schon, was von uns verlangt wird. Wir wollen es noch verdeutlichen. Wie beim Summenzeichen werden wir den „Bereich“ des Integrals notieren und dieses dadurch zum „bestimmten“ Integral machen. Ist das erste ''x'', das uns interessiert, etwa gleich ''a'' und das Ende des Bereiches <math> x=b </math>, dann schreiben wir: b / ydx n und lesen: „Integral über y von a bis b“. Oder „Integral von y von der Untergrenze a bis zur Obcrgrenzc b“. Nun wollen wir einen weiteren Schritt vorwärts machen. Wir wissen, daß y gleich ist f(x). Daher können wir auch schreiben
 
:<math> \int \limits_{a}^{b} y \; dx </math>
@@@2a
:und lesen: „Integral über ''y'' von ''a'' bis ''b''“. Oder „Integral von ''y'' von der Untergrenze ''a'' bis zur Obergrenze ''b''“. Nun wollen wir einen weiteren Schritt vorwärts machen. Wir wissen, daß ''y'' gleich ist ''f(x)''. Daher können wir auch schreiben
 
:<math> \textstyleint x_2\limits_{a}^{b} =y 5\; +dx = \fracint \limits_{5a}^{999b} f(x) \; dx </math>
/ydx=/f(x)dx. a a :Der Befehl also wäre da. Nun fehlt aber noch das Rezept zur Ausführung des Befehls. Denn an und für sich ist der Befehl wieder einmal der helle Wahnsinn. Wir werden uns zur Konstatierung dieses psychopathischen Verlangens einmal ansehen, was im Bauche des Integrals vorgehen muß, um den Befehl zu erfüllen. Diese Zaubermaschine soll nicht weniger leisten, als folgende unendliche Summe zu bilden: 1. Flächenstrcifcn f(a)-dx 2. „ f(a+dx)dx 3. „ f(a + 2dx)dx 4. „ f(a+3dx)dx usw. unendlich oft, vorletzter Flächenstreifen f(b—dx)dx letzter „ f(b)-dx. Dabei bedeuten f(a), f(a+dx) usw. die y-Werte, die bei dem jeweiligen x=a, x=a+dx, x=a+2dx
 
:1. Flächenstreifen <math> f(a) \cdot dx </math>
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:2. Flächenstreifen <math> f(a+dx) dx </math>
 
:3. Flächenstreifen <math> f(a+2dx) dx </math>
<math> \textstyle x_3 = 5 + \frac{10}{999} y_2 = \frac{}5 + \frac{10}{999}}^2}{5} + 3 </math>
:4. Flächenstreifen <math> f(a+3dx) dx </math>
 
:usw. unendlich oft,
 
:vorletzter Flächenstreifen <math> f(b-dx) dx </math>
 
:letzter Flächenstreifen <math> f(b) \cdot dx </math>
 
:Dabei bedeuten <math> f(a) </math>, <math> f(a+dx) </math> usw. die y-Werte, die bei dem jeweiligen <math> x=a </math>, <math> x=a+dx </math>, <math> x=a+2dx </math> usw. resultieren.
 
:Außerdem soll das ''dx'' gleich sein <math> \lim 0 </math>, also den letzten Wert vor dem Nichts repräsentieren. Oder wie man ungenau sagt: ''dx'' soll unendlich klein sein.
 
usw. resultieren. Außerdem soll das dx gleich sein limO, also den letzten Wert vor dem Nichts repräsentieren. Oder wie man ungenau sagt: dx soll unendlich klein sein. Da nun Leibniz und all die anderen großen Geister, die diese Wissenschaft begründeten, alles andere eher als geistesgestört waren, wollen wir nicht weiter grübeln, sondern wir werden jetzt das Wunder dankbar aus ihren Händen in Empfang nehmen.
:Dann müßte ich weiters sämtliche cinbcschricbcncn und sämtliche umbeschriebenen Flächenstreifen berechnen. Also: 5 -10 einbeschriebene r Streifen l=y,^x=8-7i7-?r = frö5 JJJ JuJ
umbeschriebener Streifen 1 =ytdx =
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Wenn man nun auch 1000 Streifen statt 999 hätte wählen können, um die Rechnung zu vereinfachen und wenn auch weiters jeder nächstfolgende um beschriebene dem vorhergegangenen einbeschriebenen Streifen gleich ist, sieht man doch, daß schon eine so einfache Funktion wie 3 y=4+3
geradezu unerhörte Schwierigkeiten macht und daß man außerdem nur erst ein angenähertes Ergebnis dadurch erhält. Man sieht aber noch etwas anderes: daß nämlich die Genauigkeit zunehmend wächst, in je mehr Streifen wir die Fläche zerlegen. Wenn wir also das Ax so klein als möglich wählen dürften, wenn wir aus Ax das dx, das eben noch „hinschwindend“ eine Größe besitzt, zur Grundlinie der Flächcnstreifen machen könnten, dann würden wir eine genaue Quadratur erhalten. Dazu aber müßten wir unendlich viele y berechnen, denn jede Länge des x bestellt aus unendlich vielen dx. Wir fordern also zur Quadratur eine Operation, die es erlaubt, die Summe aller, innerhalb eines Bereiches von Xj bis xn gelegenen bzw. von diesen Fußpunkten aufragenden Ordinaten mit dx zu multiplizieren. Der große Cavalieri schrieb daher das Quadraturproblem als „Summa omnium y“ („Summe aller y“). Und Leibniz notierte auf jenem welthistorischen Zettel am 29. Oktober 1676 die Worte: „Es wird nützlich sein, von nun an statt ,summa omnium y' des Cavalieri das Zeichen Jydx zu schreiben . ..“ Wir sind damit eigentlich auf dem Gipfel unseres Buches angelangt. Leibniz behauptet, es sei nützlich, statt des „Summa omnium y“-Befehls einfach den Integralbefehl !) Jydx zu erteilen. Ist das nicht bloß eine Wort
 
') Das Wort Integral wurde von Jak. BernouIIi geprägt und mit Leibniz einverständlich als Bezeichnung aes neuen Algorithmus /ydx festgesetzt.
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Spielerei? Oder steckt doch mehr dahinter? Etwa wieder eine „wahre Kabbala“? Das müssen wir jetzt Schritt für Schritt untersuchen. Auf jeden Fall wissen wir schon, was von uns verlangt wird. Wir wollen es noch verdeutlichen. Wie beim Summenzeichen werden wir den „Bereich“ des Integrals notieren und dieses dadurch zum „bestimmten“ Integral machen. Ist das erste x, das uns interessiert, etwa gleich a und das Ende des Bereiches x=b, dann schreiben wir: b / ydx n und lesen: „Integral über y von a bis b“. Oder „Integral von y von der Untergrenze a bis zur Obcrgrenzc b“. Nun wollen wir einen weiteren Schritt vorwärts machen. Wir wissen, daß y gleich ist f(x). Daher können wir auch schreiben
/ydx=/f(x)dx. a a Der Befehl also wäre da. Nun fehlt aber noch das Rezept zur Ausführung des Befehls. Denn an und für sich ist der Befehl wieder einmal der helle Wahnsinn. Wir werden uns zur Konstatierung dieses psychopathischen Verlangens einmal ansehen, was im Bauche des Integrals vorgehen muß, um den Befehl zu erfüllen. Diese Zaubermaschine soll nicht weniger leisten, als folgende unendliche Summe zu bilden: 1. Flächenstrcifcn f(a)-dx 2. „ f(a+dx)dx 3. „ f(a + 2dx)dx 4. „ f(a+3dx)dx usw. unendlich oft, vorletzter Flächenstreifen f(b—dx)dx letzter „ f(b)-dx. Dabei bedeuten f(a), f(a+dx) usw. die y-Werte, die bei dem jeweiligen x=a, x=a+dx, x=a+2dx
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usw. resultieren. Außerdem soll das dx gleich sein limO, also den letzten Wert vor dem Nichts repräsentieren. Oder wie man ungenau sagt: dx soll unendlich klein sein. Da nun Leibniz und all die anderen großen Geister, die diese Wissenschaft begründeten, alles andere eher als geistesgestört waren, wollen wir nicht weiter grübeln, sondern wir werden jetzt das Wunder dankbar aus ihren Händen in Empfang nehmen.
 
 
 
 
 
 
Fünfundzwanzigstes Kapitel
 
 
Das Differential und das Problem der Rektifikation
Wir
 
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