Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»

Contenido eliminado Contenido añadido
Línea 366:
:daß der Abstand nur von <math> \pi </math> abhängt, also von einer Größe, die mit dem jeweiligen Radius nichts zu tun hat. Er würde schreiben
:<math> y = A = f( \pi) </math>
:und damit zum Ausdruck bringen, daß der Abstand bei Einfügung eines neuen Kreisstückes stets um das gleiche wachst, ob es sich nun um den Äquator, einen Fingerring oder um die als kreisförmig angenommene Neptunbahn handelt. Stets ist allgemein
:<math> \textstyle y = \frac{\text{St}}{2 \pi} </math> wobei ''St'' das eingefügte Stück bedeutet. Füge ich gar etwa einen ganzen Kreisumfang ein, also
286
<math> 2r \pi </math>, dann erhalte ich
:<math> \textstyle y = \frac{2r \pi}{2 \pi} = r </math>
:was nichts anderes sagt, als daß bei einem Kreis von doppeltem Umfang auch der Radius aufs Doppelte wächst. Das aber wissen wir schon vom „Zigarettenbeispiel“, allerdings in umgekehrter Weise.
:Für „Naturverständler“ will ich nur beifügen, daß ja 16&nbsp;cm auch im Verhältnis zum Erdradius im selben Verhältnis so wenig bedeuten wie der Meter zum Erdäquator. Wenn man das gehörig erfaßt hat, wird man wissen <math> 16 cm : \text{Erdradius} = 1 m : \text{Erdumfang} </math>
:und wird befriedigt sein.
:Jetzt aber, wieder um ein Stück gebildeter und elastischer, müssen wir uns der Quadratur zuwenden. Wir legten uns schon früher die Aufgabe vor, ein Flächenstück zu berechnen, das etwa durch eine uns bekannte Kurve mit der Gleichung <math> y=f(x) </math>, der Abszissenachse und durch zwei Ordinaten <math> y_1 </math> und <math> y_9 </math> begrenzt wäre (s. Fig. 45).
:Es ist aus der Figur ersichtlich, daß unsere gesuchte Fläche zwischen der Summe aller senkrechten Flächenstreifen (Rechtecke) liegen wird, bei denen die schraffierten kleinen Rcchtccke nicht mitgezählt sind und zwischen der Summe aller Streifen, bei denen diese schraffierten Rechtecke mitgezählt sind. Wäre keine Kurve, sondern eine Gerade vorhanden, dann hätte ich leichtes Spiel. Denn danil wäre jedes der schraffierten Rechtecke halbiert und ich könnte alles sehr einfach berechnen. Da wir aber nun gerade eine Kurve zur Grundlage der Quadratur benutzen wollen, müssen wir weiter forschen.
 
 
???
 
??
 
Fig. 45
gleiche wachst, ob es sich nun um den Äquator, einen Fingerring oder um die als kreisförmig angenommene Neptunbahn handelt. Stets ist allgemein
wobei St das eingefügte Stück bedeutet. Füge ich gar etwa einen ganzen Kreisumfang ein, also 2rer, dann erhalte ich „ y=snr=r> was nichts anderes sagt, als daß bei einem Kreis von doppeltem Umfang auch der Radius aufs Doppelte wächst. Das aber wissen wir schon vom „Zigarettenbeispiel“, allerdings in umgekehrter Weise. Für „Naturverständler“ will ich nur beifügen, daß ja 16 cm auch im Verhältnis zum Erdradius im selben Verhältnis so wenig bedeuten wie der Meter zum Erdäquator. Wenn man das gehörig erfaßt hat, wird man wissen 16 cm: Erdradius= 1 m: Erdumfang und wird befriedigt sein. Jetzt aber, wieder um ein Stück gebildeter und elastischer, müssen wir uns der Quadratur zuwenden. Wir legten uns schon früher die Aufgabe vor, ein Flächcnstück zu berechnen, das etwa durch eine uns bekannte Kurve mit der Gleichung y=f(x), der Abszissenachse und durch zwei Ordinaten yx und y9 begrenzt wäre (s. S. 288). Es ist aus der Figur ersichtlich, daß unsere gesuchte Flächc zwischen der Summe aller senkrechten Flächenstreifen (Rechtecke) liegen wird, bei denen die schraffierten kleinen Rcchtccke nicht mitgezählt sind und zwischen der Summe aller Streifen, bei denen diese schraffierten Rechtecke mitgezählt sind. Wäre keine Kurve, sondern eine Gerade vorhanden, dann hätte ich leichtes Spiel. Denn danil wäre jedes der schraffierten Rcchtccke halbiert und ich könnte alles sehr einfach berechnen. Da wir aber nun gerade eine Kurve zur
287
 
:Wie groß ist einmal die Summe der sogenannten „der Kurve einbeschricbenen“ Streifen. Wir haben die Streifen numeriert:
:Streifen I&nbsp;&nbsp;&nbsp;ist <math> (x_2 - x_1) \cdot y_1 </math>
:Streifen II&nbsp;&nbsp;ist <math> (x_3 - x_2) -\cdot y_2 </math>
:Streifen III ist <math> (x_4 - x_3) \cdot y_3 </math>
:usw. bis
:Streifen VIII ist <math> (x_9 - x_8) \cdot y_8 </math>.
:Da nun aber weiter <math> (x_2 - x_1) </math> gleich ist <math> (x_3 - x_2) </math> usw., da ja die ''x'' um gleiche Betrage nach rechts rücken, nennen wir diese Differenzen, die alle gleich sind, einfach <math> \Delta x </math>. Somit ist die Summe der einbeschriebenen Streifen
:<math> S_e = y_1 \Delta x + y_2 \Delta x + y_3 \Delta x +</math><math> y_4 \Delta x +</math><math> y_5 \Delta x +</math><math> y_6 \Delta x +</math><math> y_7 \Delta x +</math><math> y_8 \Delta x </math>
288
 
???
 
 
 
Grundlage der Quadratur benutzen wollen, müssen wir weiter forschen. Wie groß ist einmal die Summe der sogenannten „der Kurve einbeschricbenen“ Streifen. Wir haben die Streifen numeriert: Streifen I ist (x2—x1)-y1 Streifen II ist (x3—Xo)-ys Streifen III ist (x,—x3)-y3 usw. bis Streifen VIII ist (xs— xs)-v8. Da nun aber weiter (xa—x,} gleich ist (x3—x2) usw., da ja die x um gleiche Betrage nach rechts rücken, nennen wir diese Differenzen, die alle gleich sind, einfach Ax. Somit ist die Summe der einbeschricbenen Streifen Se=y1Jx+y£2lx+y!)Jx+y4zlxH-yBJx+yB/dx4+ y?Jx+y8/lx.
288
 
 
Línea 389 ⟶ 401:
 
 
:Die Summe der umbeschriebenen Streifen, deren jeweilige Höhe naturgemäß größer ist als die der einbeschriebenen, da ja noch die kleinen geschrafften Rechtecke dazukommen, ist laut Figur: Su=y.J x+y3<dx+ yAA x+y&A x-j-y6J x+y7<dx+ + y8zfx+jyfx. Wenn wir uns nun erinnern, daß man solche Summen mit dem Summenbefehl schreiben kann, dürfen wir die erste Summe S„=x und die zweite Summe ^ 1 Su= JJ>y„Ax setzen. VVciters dürfen nach dem distri2 butiven Gesetz die Faktoren, die bei allen Summanden vorkommen, vor das Summenzeichen gestellt werden. 8, 9 Ic h darf also A x }v'yv und A x^J>yQ schreiben. 1 2 Wenn wir weiters die gesuchte richtige, von der Kurve begrenzte Fläche mit F bezeichnen, dann wissen wir, daß 8 9 AxJKy, < F <AxJoye, l 2 was nichts anderes ist, als die mathematische Formulierung dafür, daß die von der Kurve begrenzte Fläche zwischen der Summe der einbeschriebenen und der umbeschriebenen Flächenstreifen liegt. Man könnte sich nun der großen Mühe unterziehen, mit Hilfe der bekannten Gleichung y=f(x), die y-Werte für alle x-Werte wirklich auszurechnen. Dadurch erhielte man sowohl die Fläche der einbeschriebenen als der umbeschriebenen Rcchtccke und wüßte, daß die gesuchte „ Quadratur“ irgendwo zwischen diesen Werten liegt. Machen wir nun das Ax kleiner und kleiner, die Flächenstreifen also schmaler, dann wird der Zwischenraum zwischen der „Innensumme“ und der „Außensumme“ der Streifen, wie man leicht aus einer entsprechenden Zeichnung sehen könnte, stets kleiner werden. Wenn man nach dieser Methode, die uns die
289