Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»
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:Gemeinsam ist all diesen Möglichkeiten die Form <math> y=f(x) </math>. Das heißt, in allen Fällen ist vorausgesetzt, daß der x-Wert willkürlich gewählt werden kann und sich dann ''y'' daraus zwangsläufig ergibt. Daher ist es arithmetisch auch dasselbe, ob wir ''y'' oder <math> f(x) </math> sagen. Beide Größen sind einander ja gleich und sind geometrisch nichts anderes als Ordinaten. Die „faustische Zahl“ ist also nichts anderes als eine Ordinate, die aus dem jeweiligen Punkt ''x'' der Abszissenachse gezogen wird. Die „Kopfpunkte“ aller Ordinaten aber bilden die „Kurve“.
:Noch eine kleine Zwischenbemerkung, bevor wir die „Quadratur“ entdecken gehen. Real gesprochen, heißt „Funktion“ die Tatsache, daß eine Größe gesetzmäßig von einer anderen abhängt Jedes Kind weiß, daß sieh Gegenstände durch Erwärmung ausdehnen. Auf dieser physikalischen Erfahrung beruht ja das Quecksilberthermometer. Ich darf nun sagen daß die Ausdehnung eine Funktion der Temperatur sei. Solche Beispiele lassen sich zu Tausenden ersinnen. Die zurückgelegte Strecke bei einer Reise ist eine „Funktion“ der Reisegeschwindigkeit. Die Schnelligkeit des Falls von Körpern ist eine Funktion der Anziehungskraft der Erde, die Größe des Menschen eine Funktion des Alters. Auch die Güte des Weines und Gorgonzolakäses kann eine Funktion des Alters sein.
:Da aber etwa auch der Flächeninhalt eines Kreises vom Radius abhängt, so ist die Kreisfläche eine Funktion des Radius. Als weiteres Beispiel noch eine Betrachtung aus dem Alltagsleben: Jeder versierte Raucher weiß, daß Zigaretten milder schmecken, wenn sie dicker sind. Derselbe Tabak in einer dünneren Hülse schmeckt schärfer als in einer Hülse größeren Durchmessers. Wie läßt sich das erklären? Nun, sehr einfach. Die Papiermenge wächst bei größerer Zigarcttcndicke in „linearem“ Maßstab. <math> \text{Umfang} =
:Wird r = 10 mm, dann verbrennt ein Papierumfang von (<math> 2 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 14 </math>) mm, also 62,8... mm. Die Tabakflächc, die brennt, ist dagegen durch <math> F = r^2 \pi </math> ausgedrückt. Bei r=5 mm ist sie (<math> 25 \cdot 3 \cdot 14 \dots </math>) mm = 78,5... mm<sup>2</sup>, bei r=10 dagegen (<math> 100 \cdot 3 \cdot 14 \dots </math>) mm = 314,1... mm<sup>2</sup>.
:Nun die Nutzanwendung: Die „Milde“ ist eine quadratische Funktion von ''r'', die „Schärfe“ eine bloß lineare. Wollte ich die „Bildkurve“ zeichnen, würde ich sehen, daß die „Milde“ ungleich rascher steigt als die „Schärfe“.
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▲:Da aber etwa auch der Flächeninhalt eines Kreises vom Radius abhängt, so ist die Kreisfläche eine Funktion des Radius. Als weiteres Beispiel noch eine Betrachtung aus dem Alltagsleben: Jeder versierte Raucher weiß, daß Zigaretten milder schmecken, wenn sie dicker sind. Derselbe Tabak in einer dünneren Hülse schmeckt schärfer als in einer Hülse größeren Durchmessers. Wie läßt sich das erklären? Nun, sehr einfach. Die Papiermenge wächst bei größerer Zigarcttcndicke in „linearem“ Maßstab. Umfang=2rjr. Ist r etwa 5mm,dann bckommLman den Rauch von(2-5-3'14)mm, also etwa 31*4 mm Papier zu schlucken. Wird r= 10mm, dann verbrennt ein Papicruinfang von (2-10-3-14) mm, also 62'8 . . mm. Die Tabakflächc, die brennt, ist dagegen durch F= v'ln ausgedrückt. Bei r=5 mm ist sie (25-3-14 . .) mm2=78'5 . . . min2, bei r= 10 dagegen (100-3-14 ..) mm2= 314-1 . . mm2. Nun die Nutzanwendung: Die „Milde“ ist eine quadratische Funktion von r, die „Schärfe“ eine bloß lineare. Wollte ich die „Bildkurve“ zeichnen, würde ich sehen, daß die „Milde“ ungleich rascher steigt als die „Schärfe“1).
::(<small>Die „Milde“ steigt in einer Parabel, die „Schärfe“ in einer geraden Linie.</small>)
:Deshalb sind eben dickere Zigaretten bei Materialgleichheit milder als dünnere.
:Zum Abschluß ein parodoxes Beispiel, das wir dem ausgezeichneten Buch von Georg Scheffers entnehmen. Es sei um den Äquator ein eiserner, genau anpassender Ring gelegt, der aus lauter
▲:Zum Abschluß ein parodoxes Beispiel, das wir dem ausgezeichneten Buch von Georg Scheffers entnehmen. Es sei um den Äquator ein eiserner, genau anpassender Ring gelegt, der aus lauter Teilslücken zu je einem Meter besteht. Die Erde ist als geometrisch ideale, glatte Kugel angenommen. Wieweit, fragen wir, wird der Ring sich lockern, wieweit wird er ringsherum um die Erde abstehen, wenn ich an irgendeiner Stelle ein Meterslück einfüge. Jeder wird nach dem „Hausverstand“ antworten, daß man die Lockerung über
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haupt nicht bemerken wird. Ein Abstand von der Erde wird sicherlich nirgends sichtbar sein, da er höchstens einige Milliontel von Millimetern betragen könnte. Nun, so billig ist die Sache keineswegs. Unser Beispiel wird uns nicht bloß von der Unverläßlichkeit des „Hausverstandes“ sondern auch von der wunderbaren Eindeutigkeit der Mathematik überzeugen. Wir schließen folgendermaßen: Der ursprüngliche Kreis hat den Umfang 2rjr. Folglich ist der Radius Der um das Meterstück erweiterte Kreis hat den Umfang 1), folglich den Radius da jeder Radius nach der Formel x'n'fag zu berechnen ist. Nun X.1 subtrahieren wir den kleineren vom größeren Radius, wodurch wir den Abstand des neuen Kreisringes von der Erde erhalten müssen. Also 2r«+l_ ~TJt __^|j8ian(j_ ^ 'ilt 2 71 2m . 1 2r£r_ . Zji +2W 2JI~ A = (Abstand) = ^ Da wir Metermaß verwendeten,ist 1:2n— 1 m :6'283.., was 15*92.. cm oder rund 16 cm ergibt. Wahrhaftig, ein verblüffendes Resultat! Der Kreisring um die Erde wird also durch 1-Iinzufügung eines einzigen Meters zu den restlichen 40.000 Kilometern überall um 16 cm von der Erde abgerückt. Der Mathematiker allerdings wundert sich nicht. Denn er sieht aus der Beziehung
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