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Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»

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:'''Problem der Quadratur'''
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:Von der „Quadratur des Zirkels"Zirkels“ dürfte jeder Leser schon in irgendeinem Zusammenhang gehört haben. Ebenso darüber, daß diese Aufgabe unlösbar ist wie etwa die Konstruktion des „Perpetuum mobile"mobile“.
:Was ist eine solche „Quadratur"„Quadratur“? Nun, eigentlich nichts anderes als eine Flächenmessung. Denn die Aufgabe fordert, einen Kreis (Zirkel=circulus) entweder in lauter Einheitsquadrate zu zerlegen, ihn als die Summe solcher Quadrate darzustellen, zu sagen, wieviel Quadrateinheiten (etwa Quadratmillimeter) er enthalte; oder aber, was prinzipiell dasselbe ist, ein Quadrat darzustellen, das denselben Flächeninhalt hat wie der Kreis. Daß diese Aufgabe unlösbar ist, wie klein ich auch die Maßquadrate wähle, hat eigentlich erst Lindemann in den Achtziger jähren des neunzehnten Jahrhunderts bewiesen, obgleich man es schon weit früher ahnte und z. B. aus Leibnizens Reihe ungefähr wußte. Die Zahl <math> \pi </math> ist also ein unendlichcr Dezimalbruch irrationaler Art und da die Kreisfläche sich stets als <math> r^2 \pi </math> darstellt, muß <math> r \cdot r \cdot \pi </math> auch eine Irrationalzahl sein. Eine solche Zahl ist aber niemals durch irgendwelche, zur Messung verwendeten Quadrate darstellbar, da ich diese Quadrate ja unendlich klein machen müßte, damit mir nicht ein Rest bliebe. Unendlich kleine Quadrate aber sind Punkte, und die Fläche des Kreises, in Punkten gemessen, gäbe eine unendliche Anzahl solcher „Quadrateinheiten“.
:Nun wußte aber schon der große Archimedes, daß es kompliziertere Gebilde als den Kreis gibt, deren Fläche durchaus nicht als Irrationalzahl sich darstellt. Es ist auch nicht einzusehen, warum eine krummlinig begrenzte Figur nicht zufällig inhaltsglcich sein könnte mit einer rationalen Zahl von Flächeneinheiten (Quadraten). Man kann dafür sogar einen höchst sinnfälligen „Beweis“ führen. Wenn man etwa aus einem durchaus gleichmäßig dicken Kartonblatt ein beliebiges Quadrat, etwa mit der Seite 1&nbsp;cm, ausschneidet und dieses Blättchen auf einer Präzisionswaage abwiegt und dafür angenommenermaßen ein rundes Gewicht, etwa <math> \frac{1}{10} </math> Gramm erhält, dann muß es möglich sein, aus demselben Kartonblatt bei Anwendung peinlichster Sorgfalt eine beliebig krummlinig begrenzte Figur auszuschneiden, die etwa 3&nbsp;Gramm wiegt. Diese Figur hat aber dann unbedingt den Flächeninhalt 30 Quadratzentimeter. Von Irrationalität ist dabei keine Spur.
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:Über solche Erwägungen hinaus gaben etwa die „Möndchen des Hippokrates aus Keos“ den Mathematikern Griechenlands schon viel zu denken. Ihre „Quadratur“ beruht auf einer Erweiterung des pythagoräischen Lehrsatzes. Es wurde nämlich, auch schon im Altertum, bewiesen, daß nicht nur die Summe der Quadrate über den Katheten gleich sei dem Quadrat über der Hypotenuse, sondern daß ganz allgemein die Flächensumme zweier ähnlicher, über den Katheten errichteter Figuren gleich sei einer ähnlichen Figur über der Hypotenuse. Nebenbei bemerkt liefert dieser erweiterte pythagoräische Lehrsatz einen ebenso einfachen als sinnfälligen Beweis für die „erweiterte Eselsbrücke“.
 
 
 
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Fig. 42
ist also ein unendlichcr Dezimalbruch
 
 
:Die Figur zeigt, daß sich das ganze rechtwinklige Dreieck durch eine Höhe h in zwei Tcildreiecke zerlegen läßt, die einander ähnlich sein müssen, da ihre Winkel paarweise gleich sind. Man kann nun diese beiden Teildreiecke als ähnliche Figuren auffassen, die über den Katheten (hier allerdings nach innen) errichtet sind. Da nun weiter das ganze Dreieck den beiden Teildrciecken infolge Winkelgleichheit ebenfalls ähnlich ist und außerdem als „ähnliche Figur über der Hypotenuse“ aufgefaßt werden kann, ergibt sich die Richtigkeit des erweiterten pythagoräischen Satzes mit sinnfälligster Deutlichkeit. Denn die Summe der „Kathetendreiecke“ ist ja nichts anderes als das „Hypotenusendreieck“.
 
 
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Fig. 43
 
 
 
:Es ist außerdem nach dem erweiterten „Pythagoräer“ auch der Halbkreis über der Hypotenuse flächengleich der Summe aus den Halbkreisen über den Katheten. Denn Halbkreise sind untereinander stets ähnliche Figuren. Da sich aber der Halbkreis über der Hypotenuse in unserer Figur als Summe der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks plus der Fläche der beiden weißen Segmente S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub> darstellt, während die Halbkreise über den Katheten als Segment S<sub>1</sub> plus Möndchen M<sub>1</sub> bzw. Segment S<sub>2</sub> plus Möndchen M<sub>2</sub> in Erscheinung treten, muß nach dem erweiterten Pythagoräer die Gleichheit bestehen:
:Dreiecksfläche + S<sub>1</sub> + S<sub>2</sub> = (M<sub>1</sub> + S<sub>1</sub>) +(M<sub>2</sub> + S<sub>2</sub>) oder
:Dreiecksfläche + (S<sub>1</sub> + S<sub>2</sub>) = (M<sub>1</sub> + M<sub>2</sub>) + (S<sub>1</sub> + S<sub>2</sub>) oder
:Dreiecksfläche = (M<sub>1</sub> + M<sub>2</sub>) + (S<sub>1</sub> + S<sub>2</sub>) - (S<sub>1</sub> + S<sub>2</sub>) oder
:Dreiecksfläche = M<sub>1</sub> + M<sub>2</sub>
:Wir sehen zu unserem Erstaunen, daß es rein elcmentargeometriscli gelingt, die Summe der „Möndchen“ zu quadrieren. Denn die Dreiecksfläche kann jederzeit als irgendeine rationale Zahl angegeben oder ausgemessen werden. Die Möndchen aber sind allseitig krummlinig begrenzte Flächen, noch dazu von Kreisteilen eingeschlossen, so daß es nahe läge zu glauben, sie müßten irrationalen Flächeninhalt aufweisen. Es ist aber — und dafür gibt es keine Ableugnung — augenscheinlich das Gegenteil der Fall.
:Da man nun, wie erwähnt, ähnliche Dinge schon im klassischen Altertum wußte, glaubte man, die Kreisausmessung scheitere nur an der Mangelhaftigkeit der Methode. Dazu kam aber noch ein Umstand. Ins Körperliche übertragen, entspricht der „Quadratur“ die sogenannte „Kubatur“, die Darstellung eines körperlichen Gebildes in „Einheitswürfeln“. Nun wäre, grob gesagt, das Problem, ein Kilogramm Birnen abzuwiegen oder einen bauchigen Krug mit dem Inhalt von zwei Litern herzustellen, von vornherein unmöglich, wenn es keine „Kubatur“ krummlinig bzw. krumm
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???
 
 
flächig begrenzter Körper gäbe.
 
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