Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»
Contenido eliminado Contenido añadido
Línea 232:
:Wir verraten beiläufig, daß wir mit dieser Betrachtung eine höchst wichtige Sache angeschnitten haben. Man kann nämlich jede beliebige Gleichung mit einer Unbekannten so auffassen, als ob sie gleichsam das Überbleibsel einer Funktion wäre, bei der man das ''y'' gleich Null gesetzt hat. Hätten wir etwa die Gleichung
:<math> x^2-2x-15=0 </math>
:und machen aus ihr eine Funktion
:<math> y=x^2-2x-15 </math>,
:
▲:und machen aus ihr eine Funktion y=x2—2x—15, dann muß sich, rein zeichnerisch, das gesuchte x dort ergeben, wo die zur Funktion gehörige Bildkurve die Abszissenachsc schneidet. Nämlich an jenen Punkten dieser Bildkurve, bei denen y gleich ist Null. Würden wir die Kurve auf Millimeterpapier in ein Koordinatensystem zeichnen, so würden wir sehen, daß sie die x-Achse in den beiden Punkten x=+5 und x=—3 schneidet. Diese „graphische“ Methode der Gleichungslösung wird zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen verwendet, die eine arithmetische Behandlung nicht mehr zulassen. Das sind solche, bei denen das x in höherer als der vierten Potenz vorkommt. Man setzt — kurz angedeutet — in das x allerlei Werte ein, zeichnet die Kurve und sieht, wo sie sich dem Schnitt mit der Abszisscnachsc nähert. Dort geht man in stels kleineren Schritten im Einsetzen des x-Wertes weiter, um (Ins x möglichst g' iiau zu treffen, bei dem y=0 wird. Man kann auch gleichsam diesen Punkt überschießen und hätte dann bei einer willkürlich angenommenen Kurve etwa das Bild:
??
Fig. 41
Bei x = 1-jr befindet sich die Kurve noch unterhalb * g der x-Achse. Bei x= 1 schon oberhalb. Also muß 15 das x, bei dem y=0 wird, zwischen 1-g- und 1^- liegen. Man kann nun innerhalb dieses Intervalls weiterprobieren, bis man den Wert möglichst genau trifft. Diese Methode heißt die „regula falsi“, die „Regel des Falschen“ und ist eine sogenannte Annäherungsmethode. Es wird zuerst absichtlich nach beiden Seiten Falsches versucht, um zu erkennen, wo das Richtige liegen kann. Wir dürfen auch hier nicht länger verweilen, da die Fülle des zu bewältigenden Stoffes stets größer wird, je weiter wir vordringen. Wir erwähnen nur, daß wir durch diese Art der Lösung von Gleichungen bemerken, daß es stets von der höchstvorkommcndcn Potenz des x abhängt, wie viele Schnittpunkte die Bildkurve mit der Abszisscnachse hat. Eine „lineare“ Gleichung hat einen Schnittpunkt, eine quadratische zwei, eine kubische drei usw. Folglich hat auch jede Gleichung soviele „Lösungen“ für das x, als die höchste Potenz des x anzeigt. Daß es dabei auch „imaginäre“ und „komplexe“ Schnittpunkte bzw. Lösungen gibt, soll bloß erwähnt werden. Aus praktischen Gründen wollen wir nur noch rasch die arithmetische Lösung der sogenannten gemischtquadratischen Gleichung nachtragen, die das x sowohl in der zweiten als in der ersten Potenz enthält. Also eine Gleichung der allgemeinen Form x2±bx±c=0. Wir wissen schon, daß (a+b)a=a2+2ab+b2 ist. Diesen Satz wollen wir nun benützen. Wir wählen dit Gleichung x2-|-bx-!-c=0 und schaffen zuerst das c „hinüber“. Also: xs+bx=—c. ▼
Wenn wir jetzt auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen, erhalten wir: ▼
b , i/b» x= 2 il'T0 Durch diese höchst wichtige Formel sind wir imstande, jede gemischtquadratische Gleichung zu lösen, vorausgesetzt, daß das x2 isoliert ohne Koeffizienten in der Gleichung steht. Ist dies nicht der Fall, so muß die „Isolierung“ zuerst vorgenommen werden. Etwa: 4x2+7x— 57=0. Zuerst wird das x vom Koeffizienten befreit. Und wir erhalten ▼
Nun haben wir eine Gleichung, bei der dem b das j und dem c der Formel das (—entspricht. Wir setzen ein ▼
x ist also entweder ▼
Eine Kurve, die die Gleichung y=-!xa+7x—57 hätte, müßte die x-Achse in den Punkten x=+3 und Q x=—<l-jj- schneiden, was der Leser auf Millimeterpapier nachprüfen kann. Nun wollen wir unser Kapitel über Koordinaten, das uns wieder zu allerlei Exkursen verleitete, damit abschließen, daß wir feststellen: Jede Funktion der allgemeinen Form y=f(x) ist als Bildkurve innerhalb eines Koordinatensystems darstellbar. Dabei ist der Ausdruck „Kurve“ so allgemein gefaßt, daß auch eine Gerade als Kurve gilt. Sie ist der „Grenzfall“ einer Kurve, ist eine Kurve ohne Krümmung. Diese Art, nicht dazugehörige Dinge zur Erhaltung eines einheitlichen Systems in den Oberbegriff einzubeziehen, ist uns von der nullten Potenz und dergleichen schon bekannt. Wir unterscheiden „Ordnungen“ der Kurven nach der Potenz des x. So ist die Gerade eine Kurve erster, der Kreis eine Kurve zweiter Ordnung. Der zweiten Ordnung gehören alle Kegelschnitte, wie Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel ▼
:Bei <math> x = 1 \frac{1}{2} </math> befindet sich die Kurve noch unterhalb der x-Achse. Bei <math> x = 1 \frac{5}{6} </math> schon oberhalb. Also muß das ''x'', bei dem <math> y=0 </math> wird, zwischen <math> 1 \frac{1}{2} </math> und <math> 1 \frac{5}{6} </math> liegen. Man kann nun innerhalb dieses Intervalls weiterprobieren, bis man den Wert möglichst genau trifft. Diese Methode heißt die „regula falsi“, die „Regel des Falschen“ und ist eine sogenannte Annäherungsmethode. Es wird zuerst absichtlich nach beiden Seiten Falsches versucht, um zu erkennen, wo das Richtige liegen kann.
▲
:Aus praktischen Gründen wollen wir nur noch rasch die arithmetische Lösung der sogenannten gemischtquadratischen Gleichung nachtragen, die das ''x'' sowohl in der zweiten als in der ersten Potenz enthält. Also eine Gleichung der allgemeinen Form
:<math> x^2 \pm bx \pm c = 0 </math>.
:Wir wissen schon, daß <math> (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 </math> ist. Diesen Satz wollen wir nun benützen. Wir wählen die Gleichung
:<math> x^2 + bx + c = 0 </math>
:und schaffen zuerst das ''c'' „hinüber“. Also:
:<math> x^2 + bx = -c </math>.
:Dann machen wir einen Kunstgriff. Wir ergänzen nämlich die „linke Seite“ zu einem vollständigen Quadrat. Und zwar dadurch, daß wir <math> \textstyle \frac{b^2}{4} </math> addieren. Denn
:<math> \textstyle (x + \frac{b}{2})^2 </math> muß gleich sein
:<math> \textstyle x^2 + bx + \frac{b^2}{4} </math>.
:Da wir aber auf der linken Seite <math> \textstyle \frac{b^2}{4} </math> addiert haben, müssen wir auch die rechte Seite der „Gleichungswaage“ mit demselben Übergewicht belasten. Also:
:<math> \textstyle x^2 + bx + \frac{b^2}{4} = -c + \frac{b^2}{4} </math>.
:Dann ist
:<math> \textstyle (x + \frac{b}{4})^2 = \frac{b^2}{4} - c </math>
▲:Wenn wir jetzt auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen, erhalten wir:
:<math> \sqrt{(x + \frac{b}{2})^2} = \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4} - c }</math>
:<math> x + \frac{b}{2} = \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4} - c }</math> und schließlich
:<math> x = - \frac{b}{2} \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4} - c } </math>
▲
:<math> 4x^2 + 7x - 57 = 0 </math>
:Zuerst wird das ''x'' vom Koeffizienten befreit. Und wir erhalten
:<math> x^2 + \frac{7}{4}x - \frac{57}{4} = 0 </math>
▲:Nun haben wir eine Gleichung, bei der dem ''b'' das
:<math> \textstyle x = - \frac{7}{8} \pm \sqrt{ \frac{49}{64} - (- \frac{57}{4}) } </math>
:<math> \textstyle x = - \frac{7}{8} \pm \sqrt{ \frac{49}{64} + \frac{57}{4} } </math>
:<math> \textstyle x = - \frac{7}{8} \pm \sqrt{ \frac{49+912}{64} } </math>
:<math> \textstyle x = - \frac{7}{8} \pm \sqrt{ \frac{961}{64} } </math>
:<math> \textstyle x = - \frac{7}{8} \pm \frac{31}{8} </math>
▲:x ist also entweder
:<math> \textstyle - \frac{7}{8} + \frac{31}{8} = \frac{24}{8} = 3 </math> oder
:<math> \textstyle - \frac{7}{8} - \frac{31}{8} = - \frac{38}{8} = - \frac{19}{4} = - 4 \frac{3}{4} </math>
:Eine Kurve, die die Gleichung <math> y=4x^2 + 7x - 57 </math> hätte, müßte die x-Achse in den Punkten <math> x=+3 </math> und <math> x = - 4 \frac{3}{4} </math> schneiden, was der Leser auf Millimeterpapier nachprüfen kann.
:Nun wollen wir unser Kapitel über Koordinaten, das uns wieder zu allerlei Exkursen verleitete, damit abschließen, daß wir feststellen:
::Jede Funktion der allgemeinen Form
:::<math> y=f(x) </math>
▲
<math> y=x^7 + 4x^3 + 7x - 49 </math> wäre eine „Parabel“ siebenter Ordnung.
== 24 ==
▲an. Kurven höherer Ordnung, etwa y= x3-f x2+5x—17 heißen „Parabeln“ dritter Ordnung. Und höherer Ordnung, wenn das x in der vierten Potenz oder einer höheren Potenz auftritt. y=x7+4x3+7x—49 wäre eine „Parabel“ siebenter Ordnung. Nun gäbe es in der analytischen Geometrie viele lockende Aufgaben. Etwa Schnittpunkte zweier Kurven zu berechnen oder die Tangente an eine Kurve durch eine Gleichung auszudrücken usw. Wir müssen aber alle diese Probleme der „niederen“ analytischen Geometrie links liegen lassen, um zu den Problemen der „höheren“ Analysis aufzusteigen. Um diese Probleme aber zu erfassen, werden wir sie uns im nächsten Kapitel in aller Schärfe stellen und ihre geschichtliche Entwicklung in groben Umrissen verfolgen.
:'''Vierundzwanzigstes Kapitel'''▼
:---
:'''Problem der Quadratur'''
:---
:Von der „Quadratur des Zirkels" dürfte jeder Leser schon in irgendeinem Zusammenhang gehört haben. Ebenso darüber, daß diese Aufgabe unlösbar ist wie etwa die Konstruktion des „Perpetuum mobile".
:Was ist eine solche „Quadratur"? Nun, eigentlich nichts anderes als eine Flächenmessung. Denn die Aufgabe fordert, einen Kreis (Zirkel=circulus) entweder in lauter Einheitsquadrate zu zerlegen, ihn als die Summe solcher Quadrate darzustellen, zu sagen, wieviel Quadrateinheiten (etwa Quadratmillimeter) er enthalte; oder aber, was prinzipiell dasselbe ist, ein Quadrat darzustellen, das denselben Flächeninhalt hat wie der Kreis. Daß diese Aufgabe unlösbar ist, wie klein ich auch die Maßquadrate wähle, hat eigentlich erst Lindemann in den Achtziger jähren des neunzehnten Jahrhunderts bewiesen, obgleich man es schon weit früher ahnte und z. B. aus Leibnizens Reihe ungefähr wußte. Die Zahl <math> \pi </math>
277
ist also ein unendlichcr Dezimalbruch
▲Vierundzwanzigstes Kapitel
== LEER ==
| |||