Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»

Contenido eliminado Contenido añadido
Línea 139:
:'''Analytische Geometrie'''
:---
:Das wiederholt eingestandene Ziel unseres Ehrgeizes bleibt für uns stets die Erschließung der Grundbegriffe der UncndlichkeitsanalysisUnendlichkeitsanalysis; also der Disziplin, die im allgemeinen als „die höhere Mathematik“ bezeichnet wird. Und wir müssen uns bei jedem Schritt, den wir unternehmen, bewußt sein, daß wir ununterbrochen neues Vorbereitungsmaterial für diesen Zweck herbeischaffen. Wir vernachlässigen bis zu einem gewissen Grad das Einzelne, das an sich hochinteressant und wichtig wäre. Und wir bringen manches nur in gröbsten Umrissen oder in einer dem gewöhnlichen Unterricht fremden Beleuchtung. So etwa werden wir jetzt in recht lückenhafter und eigenwilliger Art „analytische“ oder Koordinatengeometrie treiben, obgleich gerade dieser Teil der Geometrie eine der Hauptvoraussetzungen der höheren Mathematik war und ist. Jetzt aber wollen wir nicht weiter ankündigen, sondern handeln.
:Wir legen uns zuerst die scheinbar abwegige Frage vor, welcher Bedingung beliebig gewählte Senkrechte auf einer Geraden genügen müssen, damit ihre Endpunkte durch eine Gerade verbunden werden können und verbunden werden müssen. Oder noch besser, wir stellen uns, wie dies in der Geometrie häufig geschieht, das Problem schon als gelöst vor und suchen aus der Lösung die „Bedingungen“ des Zustandekommens (s. Fig. 35).
 
Línea 212:
:nach den Regeln des pythagoräischen Lehrsatzes. Daß ich dabei für ''y'' oft irrationale Werte erhalten werde, folgt aus der Lehre von den Wurzeln. Weiters errechne ich für jeden Fall eines ''x'' zwei Werte für ''y'', nämlich einen positiven und einen negativen, die allerdings dieselbe „absolute“ Größe haben. Ich könnte also schreiben:
:<math> |y| = | \sqrt{r^2 - x^2}| </math>
:Alles, was wir rein arithmetisch ableiten, ist richtig. Ein Blick auf die Figur belehrt uns, daß tatsächlich zu jedem ''x'' zwei y-Wertegehören. Und zwar ein ''y'' für die obere und ein ''y'' für die untere Kreishälfte. Beide aber haben denselben „absoluten“ Wert, dieselbe Länge und sind nur im Vorzeichen und damit in ihrer Lage im Koordinatensystem verschieden. Und wir erstaunen neuerlich über die Zauberkraft der Koordinatengeometrie. Denn es ist fast unbegreiflich für uns, daß sich die (uns aus den Regeln der Befehlsverknüpfung bekannte) Tatsache der Mehrwertigkeit einer Quadratwurzel sofort im Koordinatensystem geometrisch sinnvoll abbildet. Dieser, den Anfänger höchst beunruhigende, verblüffende Zusammenhang zwischen Arithmetik und Geometrie, diese Identität zweier weltverschiedener Zweige der Mathematik, ist wohl einer der größten Triumphe menschlichen Entdeckens. Und die Aufklärung dieses Zusammenhanges ist eine Aufgabe tiefer und schwieriger mathematischer und philosophischer Erörterungen, die unseren Rahmen weit überschreiten. Wir wollen uns daher auf die einfachste Erklärung zurückziehen. Und andeuten, daß wir ja eigentlich nicht Geometrie treiben, wenn wir Koordinaten verwenden. Wir benützen vielmehr zwei aufeinander senkrechte, nach Plus und Minus festgelegte Zahlcnlinicn. Und operieren sodann mit Zahlenpaaren aus diesen zwei Linien. Diese nehmen aber, in Form „symbolischer Abbildung“ den Charakter von Flächenpunkten an. Und unterliegen dann innerhalb der Fläche ebenso geometrischen Bedingungen, wie die Punkte in einer Zahlenlinie (wenn auch nur längenmäßig) der Geometrie gehorchen. Dies jedoch nur zur Anregung philosophisch veranlagter Leser, die in jedem guten Buch über analytische Geometrie alle Aufklärung finden können.
:Wir wollen unserer Koordinatengeometrie aber noch in anderer Art „auf den Zahn fühlen“. Und zwar dadurch, daß wir in schlauer Weise versuchen, mittels der Kreisgleichung eine quadratische Gleichung aufzulösen:
270
:<math> y = \sqrt{r^2 - x^2} </math>.
 
:So lautete die Kreisgleichung. Nun ist es natürlich ohne weiteres möglich, daß wir den Punkt oder die Punkte des Kreises untersuchen, bei denen <math> y=0 </math> ist. Vorher quadrieren wir aber die Gleichung noch auf beiden Seiten:
 
:<math> y^2 = r^2 - x^2 </math>.
???
:Wenn ''y'' gleich 0 sein soll, dann erhalten wir:
 
:<math> 0 = r^2 - x^2 </math> oder <math> x^2 = r^2 </math>.
 
:Folglich ist <math> x = \pm \sqrt{r^2} = \pm r </math>.
sich die (uns aus den Regeln der Befehlsverknüpfung bekannte) Tatsache der Mehrwertigkeit einer Quadratwurzel sofort im Koordinatensystem geometrisch sinnvoll abbildet. Dieser, den Anfänger höchst beunruhigende, verblüffende Zusammenhang zwischen Arithmetik und Geometrie, diese Identität zweier wcltvcrschicdener Zweige der Mathematik, ist wohl einer der größten Triumphe menschlichen Entdeckens. Und die Aufklärung dieses Zusammenhanges ist eine Aufgabe tiefer und schwieriger mathematischer und philosophischer Erörterungen, die unseren Rahmen weit überschreiten. Wir wollen uns daher auf die einfachste Erklärung zurückziehen. Und andeuten, daß wir ja eigentlich nicht Geometrie treiben, wenn wir Koordinaten verwenden. Wir benützen vielmehr zwei aufeinander senkrechte, nach Plus und Minus festgelegte Zahlcnlinicn. Und operieren sodann mit Zahlenpaaren aus diesen zwei Linien. Diese nehmen aber, in Form „symbolischer Abbildung“ den Charakter von Flächenpunkten an. Und unterliegen dann innerhalb der Fläche ebenso geometrischen Bedingungen, wie die Punkte in einer Zahlcnlinie (wenn auch nur längenmäßig) der Geometrie gehorchen. Dies'jedoch nur zur Anregung philosophisch veranlagter Leser, die in jedem guten Buch über analytische Geometrie alle Aufklärung finden können. Wir wollen unserer Koordinatengeometrie aber noch in anderer Art „auf den Zahn fühlen“. Und zwar dadurch, daß wir in schlauer Weise versuchen, mittels der Krcisglcichung eine quadratische Gleichung aufzulösen: y = /r2— xa. So lautete die Krcisgleichung. Nun ist es natürlich ohne weiteres möglich, daß wir den Punkt oder die Punkte des Kreises untersuchen, bei denen y=0 ist. Vorher quadrieren wir aber die Gleichung noch auf beiden Seiten: y2=r2—x2.
Wenn y gleich 0 sein soll, dann erhalten wir: 0=r2—x2 oder x2=r2. Folglich ist x=± ]'f,=± r. Analytisch betrachtet sehen wir, daß bei <math> y=0</math>, also an den Stellen, an denen die Ordinatenhöhe gleich Null ist, der Kreis die AbszissenachscAbszissenachse schneidet. y
271
 
 
 
 
 
 
Wenn y gleich 0 sein soll, dann erhalten wir: 0=r2—x2 oder x2=r2. Folglich ist x=± ]'f,=± r. Analytisch betrachtet sehen wir, daß bei y=0, also an den Stellen, an denen die Ordinatenhöhe gleich Null ist, der Kreis die Abszissenachsc schneidet. y
 
 
 
 
Línea 238 ⟶ 229:
 
 
:Es sind dies die Punkte ''P'' und ''Q''. Also hat auch hier wieder die analytische Geometrie sinnfällig die Mehrwertigkeit der Quadratwurzel zum Ausdruck gebracht.
 
Es sind dies die Punkte P und Q. Also hat auch hier wieder die analytische Geometrie sinnfällig die Mehrwertigkeit der Quadratwurzel zum Ausdruck gebracht. :Wir verraten beiläufig, daß wir mit dieser Betrachtung eine höchst wichtige Sache angeschnitten haben. Man kann nämlich jede beliebige Gleichung mit einer Unbekannten so auffassen, als ob sie gleichsam das Überbleibsel einer Funktion wäre, bei der man das ''y'' gleich Null gesetzt hat. Hätten wir etwa die Gleichung x2—2x—15=0
 
:<math> x^2-2x-15=0 </math>
 
Es sind dies die Punkte P und Q. Also hat auch hier wieder die analytische Geometrie sinnfällig die Mehrwertigkeit der Quadratwurzel zum Ausdruck gebracht. Wir verraten beiläufig, daß wir mit dieser Betrachtung eine höchst wichtige Sache angeschnitten haben. Man kann nämlich jede beliebige Gleichung mit einer Unbekannten so auffassen, als ob sie gleichsam das Überbleibsel einer Funktion wäre, bei der man das y gleich Null gesetzt hat. Hätten wir etwa die Gleichung x2—2x—15=0
272
 
 
???
 
 
:und machen aus ihr eine Funktion y=x2—2x—15, dann muß sich, rein zeichnerisch, das gesuchte x dort ergeben, wo die zur Funktion gehörige Bildkurve die Abszissenachsc schneidet. Nämlich an jenen Punkten dieser Bildkurve, bei denen y gleich ist Null. Würden wir die Kurve auf Millimeterpapier in ein Koordinatensystem zeichnen, so würden wir sehen, daß sie die x-Achse in den beiden Punkten x=+5 und x=—3 schneidet. Diese „graphische“ Methode der Gleichungslösung wird zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen verwendet, die eine arithmetische Behandlung nicht mehr zulassen. Das sind solche, bei denen das x in höherer als der vierten Potenz vorkommt. Man setzt — kurz angedeutet — in das x allerlei Werte ein, zeichnet die Kurve und sieht, wo sie sich dem Schnitt mit der Abszisscnachsc nähert. Dort geht man in stels kleineren Schritten im Einsetzen des x-Wertes weiter, um (Ins x möglichst g' iiau zu treffen, bei dem y=0 wird. Man kann auch gleichsam diesen Punkt überschießen und hätte dann bei einer willkürlich angenommenen Kurve etwa das Bild:
 
 
und machen aus ihr eine Funktion y=x2—2x—15, dann muß sich, rein zeichnerisch, das gesuchte x dort ergeben, wo die zur Funktion gehörige Bildkurve die Abszissenachsc schneidet. Nämlich an jenen Punkten dieser Bildkurve, bei denen y gleich ist Null. Würden wir die Kurve auf Millimeterpapier in ein Koordinatensystem zeichnen, so würden wir sehen, daß sie die x-Achse in den beiden Punkten x=+5 und x=—3 schneidet. Diese „graphische“ Methode der Gleichungslösung wird zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen verwendet, die eine arithmetische Behandlung nicht mehr zulassen. Das sind solche, bei denen das x in höherer als der vierten Potenz vorkommt. Man setzt — kurz angedeutet — in das x allerlei Werte ein, zeichnet die Kurve und sieht, wo sie sich dem Schnitt mit der Abszisscnachsc nähert. Dort geht man in stels kleineren Schritten im Einsetzen des x-Wertes weiter, um (Ins x möglichst g' iiau zu treffen, bei dem y=0 wird. Man kann auch gleichsam diesen Punkt überschießen und hätte dann bei einer willkürlich angenommenen Kurve etwa das Bild:
 
??