Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»
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Fig. 36
:Wir haben also, wie man sagt, die „analytische Gleichung“ einer Geraden als eine Funktion der Form <math> y=kx </math> bestimmt. Beide Unbekannten stehen hier in der ersten Potenz. Weil aber die Gleichung einer Geraden stets die erste Potenz der Unbekannten verlangt, nennt man eine solche Gleichung (Funktion) eine lineare (von „linea“, die gerade Linie). Bevor wir weitergehen, noch ein Wort über den gemischten Gebrauch der Worte Funktion und Gleichung. Wir wollen das Dilemma kurz abtun. Und zwar dadurch, daß wir feststellen, jede Funktion sei eine Gleichung, weil sie formal als <math> y=f(x) </math> geschrieben wird. Jede Gleichung ist aber durchaus nicht eine Funktion. So ist <math> 5x^2+
:Nun sind wir mit der Untersuchung der „Gleichung“ unserer Geraden, die eine „Funktion“ sein muß, um analytisch darstellbar zu sein, noch durchaus nicht fertig. Denn wir behaupten, daß auch
:<math> y=2x+3 </math>
:eine „lineare“ Funktion ist. Also eigentlich auch eine Gerade liefern müßte. Machen wir die Probe:
Fig. 37
:Für <math> x=(+3) </math> erhalten wir als ''y'' den Wert 9, für <math> x=(-2) </math> ist <math> y=(-1) </math>. Die Gerade schneidet diesmal nicht den Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern den Plusteil der Ordinatenachse bei (+3). Dies hätten wir auch rechnerisch feststellen können. Denn für <math> x=0 </math> erhalten wir <math> y=(+3) </math>. Wenn aber <math> x=0 </math> wird, heißt das analytisch nichts anderes, als daß ich einen Punkt der Ordinate suche, durch den unsere Gerade geht. Denn sie hat dort eben ein <math> x=0 </math>. Ebenso bedeutet <math> y=0 </math> den Schnittpunkt mit der Abszisse. Also <math> 0=2x+3 </math>, oder <math> 2x= -3 </math> oder <math> x= — \frac{3}{2} </math>. Ein Blick überzeugt uns, daß tatsächlich die Gerade die x-Achse (Abszisse) im Punkt <math> x= — \frac{3}{2} </math> schneidet. Unsere neue Rechen- und Dcnkmaschinc entpuppt sich also wieder als ein besonderes Zauberwerk, noch zauberhafter dadurch, daß sie in magischer Art Geometrie mit Arithmetik verbindet. Wir werden diesen unheimlichen Zauber noch an viel verwickeiteren Beispielen bestaunen. Gleich eine Probe: Wir behaupteten, die allgemeine Form der „Geradengleichung“, abgeleitet aus Ähnlichkeitsüberlegungen, sei
:<math> y = \frac{n}{m} x </math>
:wobei <math> \frac{n}{m}</math> das Verhältnis des Lotes zum Abstand war. Nun sind aber Lot und Abstand „Katheten“. Folglich ist ihr Verhältnis eine der trigonometrischen Funktionen des Winkels <math> \alpha </math>.
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Fig. 38
:Und zwar, nach unseren schon festgelegten Definitionen, die sogenannte Tangensfunktion. Da aber der Bruch <math> y = \frac{n}{m} x </math> stets „ausgerechnet“ werden kann, so ist in der Gleichung
:<math> y=kx </math>
:der „Koeffizient“ des ''x'' nichts anderes als der Wert für den „Tangens“ von <math> \alpha </math>. Also ist stets in einer ausgewickelten linearen Funktion der Form:
:<math> y=kx+c </math> (''c'' ist eine Konstante)
::(<small>Die additive Konstante ändert niemals die Winkelfunktion, wie man sich zeichnerisch aberzeugen kann. Sie verschiebt bloß die Gerade ohne Winkeländerung im Koordinatensystem.</small>)
:das k der Wert der Tangensfunktion des Winkels <math> \alpha </math>, das heißt des Winkels, den die Gerade beim Schnitt mit der Abszissenachsc bildet. Wenn uns aber der Tangens dieses Winkels bekannt ist, so ist uns auch der Winkel und damit die Neigung gegen die (durchwegs als positiv angenommene) Abszissenachse bekannt. Von diesen Überlegungen werden wir später noch Gebrauch machen.
:Nun ist aber unser analytischer Ehrgeiz gestiegen und wir wollen auch die Gleichung einer krummlinigen Figur, etwa des Kreises, ausfindig machen.
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Fig. 39
:Wir wollen, kurz gesagt, eine Formel finden, die uns bei jedem ''x'' ein ''y'' liefert, dessen Endpunkt im Kreis liegt. Zuerst sehen wir, daß nur x-Werte sinnvoll sind, die sowohl nach der Plus- als nach der Minusseite die Größe des Halbmessers nicht übersteigen. Denn ein Lot im Punkte '''C''' wird niemals den Kreis treffen. Wie aber fassen wir unsere höchst heikle Aufgabe an? Vielleicht wieder durch ein „Verhältnis“. Denn wo wir auch immer ein ''x'' wählen, trifft das „Lot“ den Kreis an einem Punkt. Das war gefordert. Nun können wir diesen Punkt durch einen Halbmesser mit dem Kreismittelpunkt verbinden. Dadurch aber entstehen stets rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenuse in allen Fällen der Radius ist, während die Katheten stets der „Abstand“und das „Lot“ sind. Wenn ich also den Abstand wieder mit ''x'', das Lot mit ''y'' bezeichne und dazu noch den Halbmesser kenne oder zumindest als erkennbar annehme, gilt die Beziehung
:<math> r^2 = x^2 + y^2 </math> oder
:<math> y^2 = r^2 - x^2 </math> oder
:<math> y = \pm \sqrt{r^2 - x^2} </math>
:nach den Regeln des pythagoräischen Lehrsatzes. Daß ich dabei für ''y'' oft irrationale Werte erhalten werde, folgt aus der Lehre von den Wurzeln. Weiters errechne ich für jeden Fall eines ''x'' zwei Werte für ''y'', nämlich einen positiven und einen negativen, die allerdings dieselbe „absolute“ Größe haben. Ich könnte also schreiben:
:<math> |y| = | \sqrt{r^2 - x^2}| </math>
:Alles, was wir rein arithmetisch ableiten, ist richtig. Ein Blick auf die Figur belehrt uns, daß tatsächlich zu jedem ''x'' zwei y-Wertc gehören. Und zwar ein ''y'' für die obere und ein ''y'' für die untere Kreishälfte. Beide aber haben denselben „absoluten“ Wert, dieselbe Länge und sind nur im Vorzeichen und damit in ihrer Lage im Koordinatensystem verschieden. Und wir erstaunen neuerlich über die Zauberkraft der Koordinatengeometrie. Denn es ist fast unbegreiflich für uns, daß
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sich die (uns aus den Regeln der
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