Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 070c»
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:<math> y= -5x^2+3x-9 </math>.
::(<small>Wir beschränken uns auf zwei Veränderliche!</small>)
:2. Als „Kurve“, zu der wir die Formel, die „Funktion“, erst suchen sollen. ▼
:3. Als Tabelle von Zahlpaaren, die etwa aus der Beobachtung stammen. (Z. B. Zahl der monatlichen Gewitter bei bestimmter Durchschnittstemperatur des jeweiligen Monats.)
:Im zweiten Fall ist die „Funktion“ wie schon erwähnt, zu suchen. Im dritten Fall ist überhaupt erst festzustellen, ob ein funktionaler, gesetzmäßiger Zusammenhang vorliegt.
:Doch wir kommen mit all unseren tiefen Einsichten nicht weiter, wenn wir nicht „analytische“ Hilfsmittel heranziehen. Wir wollen uns also die Frage vorlegen, wie man eine gegebene Funktion in eine Bildkurve verwandelt- Die Frage, wie man eine Kurve in eine Funktion rückverwandelt, wird uns erst im letzten Kapitel beschäftigen. Ebenso die Frage, wie man aus Zahlpaaren eine Kurve gewinnt (Interpolationsproblem). Unsere Frage setzt, bevor wir sie rasch und einfach beantworten, noch eine Kleinigkeit voraus. Nämlich eine konventionelle Festsetzung des „Koordinatensystems“. Das wird uns wenig Schwierigkeiten machen, da wir mit Ähnlichem schon bei den imaginären Zahlen gearbeitet haben.
:Wir folgen also Descartes (Cartesius) und wählen ein sogenanntes rechtwinkliges, cartesisches oder orthogonales Koordinatensystem, in dem wir allerlei Namen und andere Ordnungsvoraussetzungen vereinbaren. Noch einmal: Wir vereinbaren unser System. Es ist durch nichts vor anderen möglichen Systemen prinzipiell ausgezeichnet als höchstens durch eine gewisse Einfachheit. Es sieht folgendermaßen aus (s. Fig. 34).
:Der Punkt 0 heißt Koordinatenursprungspunkt. Die x-Achse heißt die Abszissenachse oder Abszisse, die y-Achse die Ordinatenachse oder Ordinate. Beide Achsen zusammen „die Koordinaten“. Die „Quadranten“ sind gleichsam „Viertel“ einer unendlichen Ebene.
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Fig. 34
Und sind im Gegensinn der Drehung des Uhrzeigers numeriert. Was die darunter stehenden Vorzeichen bedeuten, wollen wir gleich einfacher erklären: Wir dürfen nämlich die Achsen auch beiläufig als zwei senkrecht gekreuzte reelle Zahlenlinien ansehen. Dadurch ergibt sich die Bedeutung der Vorzeichen zwanglos, wenn wir nur voraussetzen, daß die Minuszahlen der waagrechlen Linie links von der Null und bei der senkrechten Linie unterhalb der Null stehen. Wir sind auch jetzt ohne weiteres imstande, „Zahlenpaare“ richtig zu placieren. Jedes Zahlenpaar der Welt stellt sich im Koordinatensystem als Punkt dar, vorausgesetzt, daß es ein Paar reeller Zahlen ist. Denn wir haben beide Achsen reell gefordert. Die Placierung imaginärer und komplexer Zahlen haben wir schon früher gesehen. Imaginäre und komplexe Zahlpaare oder Zahlpaare imaginärer (komplexer) und reeller Werte sind in einer und derselben Ebene nicht zu placieren. Wir benötigen dazu zwei Ebenen und gelangen zur „konformen Abbildung“. Dieses Gebiet jedoch übersteigt bei weitem unseren Rahmen, da es in die höchste Mathematik gehört.
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:'''Dreiundzwanzigstes Kapitel'''
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:'''Analytische Geometrie'''
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:Das wiederholt eingestandene Ziel unseres Ehrgeizes bleibt für uns stets die Erschließung der Grundbegriffe der Uncndlichkeitsanalysis; also der Disziplin, die im allgemeinen als „die höhere Mathematik“ bezeichnet wird. Und wir müssen uns bei jedem Schritt, den wir unternehmen, bewußt sein, daß wir ununterbrochen neues Vorbereitungsmaterial für diesen Zweck herbeischaffen. Wir vernachlässigen bis zu einem gewissen Grad das Einzelne, das an sich hochinteressant und wichtig wäre. Und wir bringen manches nur in gröbsten Umrissen oder in einer dem gewöhnlichen Unterricht fremden Beleuchtung. So etwa werden wir jetzt in recht lückenhafter und eigenwilliger Art „analytische“ oder Koordinatengeometrie treiben, obgleich gerade dieser Teil der Geometrie eine der Hauptvoraussetzungen der höheren Mathematik war und ist. Jetzt aber wollen wir nicht weiter ankündigen, sondern handeln.
:Wir legen uns zuerst die scheinbar abwegige Frage vor, welcher Bedingung beliebig gewählte Senkrechte auf einer Geraden genügen müssen, damit ihre Endpunkte durch eine Gerade verbunden werden können und verbunden werden müssen. Oder noch besser, wir stellen uns, wie dies in der Geometrie häufig geschieht, das Problem schon als gelöst vor und suchen aus der Lösung die „Bedingungen“ des Zustandekommens (s. Fig. 35).
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Fig. 35
:In den Punkten A bis K der „Geraden g“ seien Senkrechte errichtet, die genau so lang sind, daß ihre Endpunkte alle in einer „Geraden g<sub>1</sub>“ liegen. Die Senkrechten (Lote) heißen l<sub>0</sub> bis l<sub>9</sub> und sind in ganz willkürlichen Abstünden voneinander errichtet. Wollte ich etwa den Punkt A als Nullpunkt der Messung annehmen und irgendein Längenmaß wählen, dann kann ein oder der andere Fußpunkt eines Lotes auch auf einer „irrationalen“ Stelle ruhen. Es ist uns vereinbarungsgemäß gleichgültig. Nun wird jeder halbwegs geometrisch Begabte die „Bedingung“ sogleich aus der Figur ablesen können: Die Strecke AB, das Lot l<sub>1</sub> und der Abschnitt a<sub>1</sub> der geforderten Geraden g<sub>1</sub>, bilden ein Dreieck. Diesem Dreieck ist das Dreieck aus AC, l<sub>2</sub> und <math> (a_1+a_2) </math> ähnlich. Diesen beiden wieder das Dreieck aus AD, l<sub>3</sub> und <math> (a_1+a_2+a_3) </math> und so fort: bis das letzte ähnliche Dreieck aus AK, l<sub>9</sub> und <math> (a_1+a_2+ \dots +a_9) </math> gebildet ist. Es handelt sich dabei um rechtwinklige Dreiecke. Diese aber sind dann ähnlich, wenn etwa die beiden Katheten stets im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Da nun aber die Ähnlichkeit der Dreiecke Voraussetzung für die Verbindungsmöglichkeit der Endpunkte unserer Senkrechten durch eine Gerade g<sub>1</sub> ist; und da weiters diese Ähnlichkeit ein fixes gleichbleibendes Verhältnis der Katheten zueinander voraussetzt, so ist die „Bedingung“für unsere Problemlösung eben dieses gleichbleibende Verhältnis.
:Da nun aber schließlich die Wahl der Abstände unserer LoLc von einem angenommenen Fixpunkt willkürlich ist, so müßte ich nur ein einziges Verhältnis zwischen Lot und Abstand festlegen, um den Verlauf der ganzen Geraden g<sub>1</sub> zu kennen. Ich könnte schreiben
::Abstand : Lot verhält sich wie m : n oder
::n mal Abstand = m mal Lot oder
::<math> Lot = \frac{\text{n mal Abstand} }{m} </math>
:Nun sieht unsere letzte Formulierung einer Funktion, und zwar einer ausgewickelten, zum Verwechseln ähnlich. Denn wenn ich das beliebige Lot gleich ''y'' und den beliebigen Abstand gleich ''x'' setze, so erhalte ich
:<math> \textstyle y = \frac{n}{m} x </math>.
:Nun können weitere ''m'' und ''n'', die einen Bruch bilden, durch Division auf ''k'' reduziert werden. So daß ich schließlich
:<math> y=kx </math>
:als allgemeine Bedingung dafür erhalte, daß alle Endpunkte jedes beliebigen, zu einem willkürlichen ''x'' gehörigen y-Wertes in einer Geraden liegen.
:Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, wollen wir uns unsere „Gerade <sub>1</sub>“, der wir durch Wahl des <math> k=2 </math> einen konkreten Sinn geben, in ein rechtwinkliges Koordinatensystem hineinkonstruieren. Die zwei Punkte hätten einmal <math> x=3 </math>, das andere Mal <math> x=-2 </math> (s. Fig. 36).
:Da unsere Bedingung <math> y=kx </math> (bei <math> k=2 </math>) <math> y=2x </math> lautet, ist ''y'' für <math> x=(+3)</math> gleich <math> (+6) </math> und für <math> x=(-2) </math> gleich <math> (-4) </math>. Unsere Gerade geht durch den 0-Punkt des Koordinatensystems. Nun kann der Leser, am besten auf Millimeterpapier, für irgendein anderes ''x'' das zugehörige ''y'' suchen. Er wird finden, daß dessen Endpunkt stets in der Geraden liegt.
???
Fig. 36
:Wir haben also, wie man sagt, die „analytische Gleichung“ einer Geraden als eine Funktion der Form <math> y=kx </math> bestimmt. Beide Unbekannten stehen hier in der ersten Potenz. Weil aber die Gleichung einer Geraden stets die erste Potenz der Unbekannten verlangt, nennt man eine solche Gleichung (Funktion) eine lineare (von „linea“, die gerade Linie). Bevor wir weitergehen, noch ein Wort über den gemischten Gebrauch der Worte Funktion und Gleichung. Wir wollen das Dilemma kurz abtun. Und zwar dadurch, daß wir feststellen, jede Funktion sei eine Gleichung, weil sie formal als <math> y=f(x) </math> geschrieben wird. Jede Gleichung ist aber durchaus nicht eine Funktion. So ist <math> 5x^2+3x99=27 </math> sicher eine Gleichung, keineswegs aber eine Funktion. Denn ich finde nur die eine Unbekannte ''x'' in ihr und kann weder von willkürlicher noch von zwangsläufiger Veränderlicher sprechen. Auch dieser Sprachwirrwarr macht Anfängern große Schwierigkeiten.
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Nu« sind wir mit der Untersuchung
▲2. Als „Kurve“, zu der wir die Formel,
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