Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
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::(<small>Ein Koeffizient des i macht dabei keine Schwierigkeit. Wir können ihn stets reell machen. So ist etwa <math> \sqrt[12]{-9} = \sqrt[12]{9}\cdot \sqrt[12]{-1} = \sqrt[12]{9}\cdot \sqrt[6]{1} </math>, allgemein <math> \sqrt[2n]{-a} = \sqrt[2n]{a} \cdot \sqrt[n]{1} </math>!</small>)
:Wir begnügen uns also damit, anzudeuten, daß die Quadratwurzel einer komplexen Zahl <math> a+bi </math> folgendermaßen berechnet wird:
@@@1
:<math> \sqrt{a \pm bi} = \sqrt{ \frac\{\sqrt{a^2+b^2} +a}{2} } \pm i \cdot = \sqrt{ \frac\{\sqrt{a^2+b^2} -a}{2} } \pm i \cdot </math>,
@@@2
:<math> \sqrt{a \pm bi} = </math>,
@@@3
:<math> \sqrt{ \frac\{\sqrt{a^2+b^2} +a}{2} } \pm i \cdot </math>,
@@@4
:<math> \sqrt{ \frac\{\sqrt{a^2+b^2} +a}{2} } \pm i \cdot </math>,
@@@5
:<math> \frac\{\sqrt{a^2+b^2} +a}{2} </math>,
:eine Formel, die natürlich auch für Quadratwurzeln aus '''i''' selbst verwendet werden kann, da ja '''i''' nichts anderes ist als eine komplexe Zahl <math> (a+bi) </math>, bei der <math> a=0 </math> und <math> b= \pm1 </math>. Die <math> \sqrt{i} </math> ergibt somit nach unserer Formel <math> \textstyle \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} </math> und die Wurzel <math> \sqrt{-i} </math> nach derselben Formel <math> \textstyle \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} </math>.
:Daß die Wurzel aus '''i''' nicht mehr rein imaginär, sondern komplex wird, ist daraus begreiflich, daß sie nicht mehr auf der i-Achse, sondern in der Zahlenfläche liegt.
:Ganz allgemein ist jede n-te Wurzel aus '''i''', die wir nur mühsam und schrittweise aus obiger Formel durch fortgesetztes Wurzelziehen finden könnten, wobei außerdem nur die 2., 4., 8., 16., 32. usw. Wurzel unmittelbar zugänglich wäre, durch eine andere Formel leicht und sicher zu berechnen. Sie lautet:
:<math> \
:wobei das ''n'' beliebig groß sein darf. Aus diesem letzten Beispiel kann der Leser schon die dämonischen Möglichkeiten unseres imaginären Gcistcrrcichs ahnen: Eine n-te Wurzel aus '''i''' hat sich plötzlich in eine komplexe, aus Winkelfunktionen gebildete Zahl verwandelt. Im Geisterreich binden und lösen sich eben die Gegensätze der unteren Welten!
:Nun, im wohlerworbenen Besitz des gesamten Zahlen-Kosmos, wollen wir unsere Erfahrung in der Befolgung von Bewegungsbcfehlen für einen Zweck verwenden, der uns in überraschendster Weise all das zur Einheit verbindet, was wir bisher als wcltenwcit voneinander getrennte Gebiete zu betrachten gewohnt waren.
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