Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
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:Zu unserem maßlosen Erstaunen haben wir die Zahl '''i''' als Drehungsfaktor für 90 Grade gewonnen; da mit aber auch die Zahlenlinie für die imaginären Zahlen. Und eine geradezu mystische Entdeckung zeigt uns, daß die imaginären Zahlen senkrecht zum Nullpunkt der „reellen“ Zahlenlinie verlaufen. Der Algorithmus hat aber noch für etwas gesorgt. Nämlich für die Möglichkeit, jeden absoluten Wert um 90° zu drehen: eine Tatsache, die uns ein Verfolgen der Drehung in allen vier Viertelkreisen offenbaren wird. Wir gehen wieder von <math> (+a) </math> aus. Drehen wir jetzt um 90°, dann erhalten wir <math> (+ai) </math>. Weitere 90° ergeben <math> (+ai)i </math>, also <math> </math>(+aia). Da aber <math> i^2 = -1 </math>, so ergibt sich nach 180° die Zahl <math> (-a) </math>, was ersichtlich stimmt. Nach Durchlaufung des dritten Viertelkreises halten wir bei <math> (-a) \cdot (+i)= -ai </math> und nach den restlichen 90° bei
:<math> (-ai)\cdot i= (-a) \cdot i^2 =(-a)(-1)=(+a) </math>.
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:Wenn wir uns vergegenwärtigen, was das heißt, dann können wir uns nur vorstellen, daß alle Zahlen, also die imaginären und die reellen zusammen, eigentlich auf einer Fläche liegen oder, richtiger gesagt, zusammen nur auf einer Fläche dargestellt werden können. Denn ein rechtwinkliges „Achsenkreuz“ ist nur in einer Fläche möglich. Es setzt die sogenannte „zweite Dimension“ voraus.
:Nun sind wir aber noch durchaus nicht zufrieden und wollen unsere neuen Erkenntnisse verwerten. Zu diesem Zweck zeichnen wir uns neuerlich die Achsen unserer „Zahlenfläche“, diesmal jedoch mit konkreten Zahlen (s. Fig. 27).
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::(<small>Die daher eigentlich keine Zahl, sondern ein einzeln dastehender Grenzbegriff, gleichsam der Ursprungsort aller Zahlen ist. Die 0 kann auch als Buchstabe groß O gelesen werden: 0 = 0rigo, der Ursprung!</small>)
:Ist dagegen <math> |a| </math> gleichzeitig mit <math> |b| </math> von 0 verschieden, dann haben wir eben unser allgemeinstes, umfassendstes Schema einer Zahl überhaupt, nämlich den „Komplex“, die Zusammenfassung aller Zahlenmögliclikeiten, die komplexe oder laterale Zahl.
:Zur Verbildlichung müssen wir uns fragen, was solch ein Befehl <math> a+bi </math> oder
:Unsere Aufgabe ist gelungen: Die „komplexe Zahl“ liegt außerhalb der Achsen in der Zahlenfläche! Nun wollen wir zur weiteren Verdeutlichung komplexe Zahlen in allen vier Viertellireisen (Quadranten) zeichnen (s. Fig. 29).
:Die Vorzeichen- und i-Befehle dürften jetzt klar sein. Besonders bemerkenswert ist die Zahl im Quadranten IV, da hier die imaginäre Komponente außerdem noch irrational ist. Nämlich <math> - \pi \cdot i </math>, was soviel heißt wie <math> -(3,1415926 \dots) \times \sqrt{-1} </math>.
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▲:Zur Verbildlichung müssen wir uns fragen, was solch ein Befehl a+bi oder a—bi u. dgl. eigentlich bedeutet, a oder ( + a) heißt, man solle auf der Plusseite der Zahlenlinie um a vorrücken. Konkret etwa bis 3. Und bi heißt, man möge gleichzeitig, senkrecht dazu, um bi, konkret etwa um 4i, in die Höhe steigen. Dies ist aber ein Bewegungsvorgang, eine kinematische oder phoronomische Aufgabe. (Kinema = Bewegung; Phoronomie = abstrakte, allgemeine Bewegungslehre.) Und zwar ist das Endziel der Bewegung durch eine, gleichzeitig in zwei senkrecht aufeinander stehenden Richtungen erfolgende Bewegung erreichbar: muß sich also als Ergebnis dieser beiden Bewegungen darstellen. Kurz, der Endpunkt muß gleichzeitig dem reellen und dem imaginären Befehl entsprechen. Zeichnen wir einmal dieses (3+4i) (s. Fig. 28, S. 247). Unsere Aufgabe ist gelungen: Die „komplexe Zahl“ liegt außerhalb der Achsen in der Zahlenfläche! Nun wollen wir zur weiteren Verdeutlichung komplexe Zahlen in allen vier Viertellireisen (Quadranten) zeichnen (s. Fig. 29, S. 247). Die Vorzeichen- und i-Befchlc dürften jetzt klar sein. Besonders bemerkenswert ist die Zahl im Quadranten IV, da liier die imaginäre Komponente außerdem noch irrational ist. Nämlich — n- i, was soviel heißt wie — (3-1415926 . . .)xV=T.
Fig. 28
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Fig. 29
:So interessant und fruchtbar die weitere Theorie der imaginären Zahlen wäre, auf deren systematischer Verwendung einer der höchsten Teile der höheren Mathematik, die sogenannte „Funktionentheorie“ oder „Theorie komplexer Veränderlicher“ beruht, würden wir unserer Aufgabe untreu, wenn wir weiter verweilten. Wir beschränken uns also darauf, anzumerken, daß wir für uns die „komplexen Zahlen“ einfach als algebraische „Mehrglieder-Ausdrücke“ ansehen und mit ihnen vorsichtig aber unbefangen innerhalb der vier Grundoperationen rechnen können. Denn in letzter Linie ist auch das i nur ein „Apfel“. Allerdings muß man bei konkreter Ausrechnung stets
:Daß man bei den vier Grundrechnungsarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) auch bei Auftreten imaginärer Zahlen in keine Schwierigkeiten gerät, haben wir soeben angedeutet. Wir wollen aber dieses Geisterreich der Mathematik, in dem Zusammenhänge zwischen Zahlen und Formen offenbar werden, die im grellen Licht der reellen Zahlen kein menschliches Auge ahnt, doch nicht verlassen, ohne wenigstens einen kleinen Vorgeschmack der Wunder dieses Geistcrreichs gegeben zu haben. Daher verraten wir, daß die Potenzierung von '''i''', der Eigenschaft des '''i''' als Drehungsfaktor entsprechend, einen Zyklus liefert, der folgendermaßen verläuft:
:<math> i^2 = (\sqrt{-1})^2 </math> = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^1 = -1 </math>
:<math> i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -1 </math>
:<math> i^4 = i^3 \cdot i = (-i) i = (-1) i^2 = +1 </math>
:<math> i^5 = i^4 \cdot i = (+1) \cdot i = +1 </math>
▲So interessant und fruchtbar die weitere Theorie der imaginären Zahlen wäre, auf deren systematischer Verwendung einer der höchsten Teile der höheren Mathematik, die sogenannte „Funktionentheorie“ oder „Theorie komplexer Veränderlicher“ beruht, würden wir unserer Aufgabe untreu, wenn wir weiter verweilten. Wir beschränken uns also darauf, anzumerken, daß wir für uns die „komplexen Zahlen“ einfach als algebraische „Mehrglieder-Ausdrücke“ ansehen und mit ihnen vorsichtig aber unbefangen innerhalb der vier Grundoperationen rechnen können. Denn in letzter Linie ist auch das i nur ein „Apfel“. Allerdings muß man bei konkreter Ausrechnung stets bcachtcn, daß das i eben }' —1 bedeutet. Wir kommen aber für alle Berechnungen mit unseren Gesetzen der „Befehlsverknüpfung“ sicherlich aus. Daß man bei den vier Grundrechnungsarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) auch bei Auftreten imaginärer Zahlen in keine Schwierigkeiten gerät, haben wir soeben angedeutet. Wir wollen aber dieses Geistcrreich der Mathematik, in dem Zusammenhänge zwischen Zahlen und Formen offenbar werden, die im grellen Licht der reellen Zahlen kein menschliches Auge ahnt, doch nicht verlassen, ohne wenigstens einen kleinen Vorgeschmack der Wunder dieses Geistcrreichs gegeben zu haben. Daher verraten wir, daß die Potenzierung von i, der Eigenschaft des i als Drehungsfaktor entsprechend, einen Zyklus liefert, der folgendermaßen verläuft:
:<math> i^6 = i^5 \cdot i = (+i) i = i^2 = -1 </math>
:usw.
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▲ ???
:Oder allgemein: ,4n _ ^ i4n+l= +i i'ln+2= _ 1 j4n+3_ _ J J4u+4— 1 usw., wobei als n die natürlichen Zahlen von 1 bis zu jeder endlichen Größe eingesetzt werden dürfen. Noch schwieriger und mystischer als die Potenzierung gestaltet sich das Wurzelziehen aus imaginären und komplexen Zahlen. Da unser Hauptbestreben dabei stets darauf gerichtet bleibt, alle höheren Wurzeln aus (—1) auf Quadratwurzeln aus (—1), also auf i-Werte zu reduzieren, wurden durch verschiedene geniale Kunstgriffe und unter Zuhilfenahme der Idee des Drehungsfaktors zahlreiche Formeln für diesen Zweck abgeleitet, deren Entwicklung uns zu weit führen würde1). Wir begnügen uns also damit, anzudeuten, daß die Quadratwurzel einer komplexen Zahl a+bi folgendermaßen berechnet wird: __ ^ ▼
▲Oder allgemein: ,4n _ ^ i4n+l= +i i'ln+2= _ 1 j4n+3_ _ J J4u+4— 1 usw., wobei als n die natürlichen Zahlen von 1 bis zu jeder endlichen Größe eingesetzt werden dürfen. Noch schwieriger und mystischer als die Potenzierung gestaltet sich das Wurzelziehen aus imaginären und komplexen Zahlen. Da unser Hauptbestreben dabei stets darauf gerichtet bleibt, alle höheren Wurzeln aus (—1) auf Quadratwurzeln aus (—1), also auf i-Werte zu reduzieren, wurden durch verschiedene geniale Kunstgriffe und unter Zuhilfenahme der Idee des Drehungsfaktors zahlreiche Formeln für diesen Zweck abgeleitet, deren Entwicklung uns zu weit führen würde1). Wir begnügen uns also damit, anzudeuten, daß die Quadratwurzel einer komplexen Zahl a+bi folgendermaßen berechnet wird: __ ^
eine Formel, die natürlich auch für Quadratwurzeln aus i selbst verwendet werden kann, da ja i nichts anderes ist als eine komplexe Zahl (a+bi), bei der a=0 und b= + 1. Die }T ergibt somit nach unserer Formel -L+ i -4= und die Wurzel VH] nach derselben Formel fi 1 )'2 1 —— i-4=. Daß die Wurzel aus i nicht mehr rein imaginär, sondern komplex wird, ist daraus begreiflich, daß sie nicht mehr auf der i-Achse, sondern in der Zahlcnfläche liegt. Ganz allgemein ist jede n-te Wurzel aus i, die wir nur mühsam und schrittweise aus obiger Formel durch fort*) Ein Koeffizient des i macht dabei keine Schwierigkeit. Wir können ihn stets reell machen. So ist etwa 12 12 12 12_ 9_ 2n _ 2n_ n K—9 =K9 'K-i =K9 'K l, allgemein V-ä =Va• c i I
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