Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»

▲mit aber auch die Zahlenlinie für die imaginären Zahlen. Und eine geradezu mystische Entdeckung zeigt uns, daß die imaginären Zahlen senkrecht zum Nullpunkt der „reellen“ Zahlenlinie verlaufen. Der Algorithmus hat aber noch für etwas gesorgt. Nämlich für die Möglichkeit, jeden absoluten Wert um 90° zu drehen: eine Tatsache, die uns ein Verfolgen der Drehung in allen vier Viertelkreisen offenbaren wird. Wir gehen wieder von <math> (+a) </math> aus. Drehen wir jetzt um 90°, dann erhalten wir <math> (+ai) </math>. Weitere 90° ergeben <math> (+ai)i </math>, also <math> </math>(+aia). Da aber <math> i2=— 1 </math>, so ergibt sich nach 180° die Zahl <math> (-a) </math>, was ersichtlich stimmt. Nach Durchlaufung des dritten Viertelkreiscs halten wir bei <math> (-a) \cdot (+i)= -ai </math> und nach den restlichen 90° bei

▲:<math> (-ai)\cdot i= (-a) \cdot i^2 =(-a)(-l)=(+a) </math>.

▲davon hängt offensichtlich die Dichtheit und Erfülltheit der ganzen Zahlenfläche ab. Wäre die imaginäre Achse nicht ebenso dicht besetzt wie die reelle, dann könnte ich natürlich nicht jeden, auch den winzigsten Punkt der Zahlcnfläche (und dies noch dazu an beliebigster Stelle) mit einer Kombination aus imaginären und reellen Zahlen besetzen. Doch wir greifen vor. Denn wir wissen noch gar nicht, ob eine solche Kombination graphisch möglich ist und wie sie aussieht. Nun überlegen wir folgendermaßen: Unser i ist eigentlich aucli eine Art von „Befehl“. Nämlich der Befehl, mit y~1 zu multiplizieren. An sich hat jede Zahl a ihren absoluten Wert |a|. Gleichgültig ob dieses |a| eine ganze, gebrochene oder irrationale Zahl ist. Ich kann das |a| gleichsam im natürlichen positiven Teil der reellen Zahlenlinie stets finden. Denn „denkhistorisch“ ist dieser Teil der Zahlenlinie der Ausgangs

▲punkb für alles Weitere. Dort lagen zuerst die natürlichen Zahlen, dort schoben wir die Brüche und dann die Irrationalzahlen ein. Jetzt aber wird erst die „Befehlsfrage“, die Vorzcichenfrage, aktuell. Algebraisch verbinde ich jetzt |a| mit Plus oder Minus und gewinne dadurch (+a) oder (—a). Dann kann ich durch Vierteldrehung noch weitere Befehlsverknüpfungen erzielen. Nämlich (+ai) und (—ai). Der ??? Plus-i-Befehl ??? heißt: „Senkrecht aus der Null um |a| hinauf 1“ Der ??? Minusi-Befehl ??? dagegen: „Senkrecht aus der Null um |a| hinunter!“ Unser erstes Problem ist damit gelöst. Das absolute |a| gilt für alle vier Achsenteile gleichartig. Es wird nur durch „Vorzeichen“ oder durch ??? „i“Befehle verändert. An der Dichtheit der imaginären Achse ist also kein Zweifel. Sie ist gestaltgleich, isomorph mit der reellen Achse. Und es gibt ja tatsächlich 4 Zahlen wie ii, -^i, i-fgji, -5- usw. Man könnte i wie ein Vorzeichen oder wie einen Koeffizienten behandeln und schreiben:

▲^lV- W» T-TT.i'T uswNun fragen wir aber weiter: Wie also sehen additive oder subtraktive Kombinationen reeller und imaginärer Zahlen aus? Kurz, wie verbildliche ich die „komplexen“ (lateralen) Zahlen der Form (a±ib)? Daß ich die „Paarung“auf einer Achse kaum vornehmen kann, ist klar. Denn Drehungsfaktoren der Form(+l) oder (—1) drehen die Zahl |a| auf die reelle Achse, Drehungsfaktoren der Form (±i) dagegen auf die imaginäre. Ich hätte also eigentlich, wenn ich Drehungsfaktoren anschreibe, die allgemeinste Art von Zahlen, die komplexen, so zu schreiben: (±l)W±(±i)|b|. Nun hängt der ganze Unterschied imaginärer oder reeller Zahlen nur mehr davon ab, ob |a| und |b| von 0 verschieden sind oder nicht. Ist |a| gleich Null, dann bleibt

▲(±i) |b| übrig, das heißt eine imaginäre Zahl (±ib). Wird |b| gleich Null, dann bleibt (±l)|a|, das heißt die reelle Zahl (±a). Werden |a| und |b| gleichzeitig 0, dann entsteht die 0 selbst1). Ist dagegen |a| gleichzeitig mit |b| von 0 verschieden, dann haben wir eben unser allgemeinstes, umfassendstes Schema einer Zahl überhaupt, nämlich den „Komplex“, die Zusammenfassung aller Zahlenmögliclikeiten, die komplexe oder laterale Zahl. Zur Verbildlichung müssen wir uns fragen, was solch ein Befehl a+bi oder a—bi u. dgl. eigentlich bedeutet, a oder ( + a) heißt, man solle auf der Plusseite der Zahlenlinie um a vorrücken. Konkret etwa bis 3. Und bi heißt, man möge gleichzeitig, senkrecht dazu, um bi, konkret etwa um 4i, in die Höhe steigen. Dies ist aber ein Bewegungsvorgang, eine kinematische oder phoronomische Aufgabe. (Kinema = Bewegung; Phoronomie = abstrakte, allgemeine Bewegungslehre.) Und zwar ist das Endziel der Bewegung durch eine, gleichzeitig in zwei senkrecht aufeinander stehenden Richtungen erfolgende Bewegung erreichbar: muß sich also als Ergebnis dieser beiden Bewegungen darstellen. Kurz, der Endpunkt muß gleichzeitig dem reellen und dem imaginären Befehl entsprechen. Zeichnen wir einmal dieses (3+4i) (s. Fig. 28, S. 247). Unsere Aufgabe ist gelungen: Die „komplexe Zahl“ liegt außerhalb der Achsen in der Zahlenfläche! Nun wollen wir zur weiteren Verdeutlichung komplexe Zahlen in allen vier Viertellireisen (Quadranten) zeichnen (s. Fig. 29, S. 247). Die Vorzeichen- und i-Befchlc dürften jetzt klar sein. Besonders bemerkenswert ist die Zahl im Quadranten IV, da liier die imaginäre Komponente außerdem noch irrational ist. Nämlich — n- i, was soviel heißt wie — (3-1415926 . . .)xV=T.

▲Die daher eigentlich keine Zahl, sondern ein einzeln dastehender Grenzbegriff, gleichsam der Ursprungsort aller Zahlen ist. Die 0 kann auch als Buchstabe groß O gelesen werden: 0 = 0rig0, der Ursprung!