Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
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:Bei <math> \sqrt[3]{a^3} </math> etwa, weiß ich bestimmt, daß die Lösung (+a) sein muß. Denn <math> (-a)\cdot(-a)\cdot(-a) </math> ergäbe <math> (-a)^3 </math>. Woraus weiter folgt, daß <math> \sqrt[3]{(-a)^3} </math> eben (—a) ist. Bei der vierten Wurzel, also bei <math> \sqrt[4]{a^4} </math> gerate ich wieder in Verlegenheit. Denn <math> (+a)^4 </math> kann ebensogut aus <math> (+a) \cdot (+a) \cdot (+a) \cdot (+a) </math>, als aus <math> (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) </math> hervorgegangen sein. <math> \sqrt[4]{a^4} </math> ist also wieder <math> (\pm a) </math>, plus oder minus ''a''. Wir sehen hier schon ein Bildungsgesetz. Nach den Regeln der „Befehlsverknüpfung“ ergibt eine gerade Anzahl von Pluszeichen ebenso Plus wie eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Da aber Potenzen stets soviel Vorzeichen in sich bergen, als der Potenzanzeiger angibt, sind die Wurzeln mit geradem ganzzahligen Wurzelanzeiger mehrwertig, die Wurzeln mit ungeradem Wurzelanzeiger einwertig in ihrer Lösung. Allgemein
:<math> \sqrt[2n]{r} = [\pm s] </math>, <math> \sqrt[2n+1]{r} = [+s] </math>, <math> \sqrt[2n+1]{-r} = [-s] </math>.
:Soweit hätten wir die Sache aufgeklärt. Nun kann uns aber kein Mensch daran hindern, zu fragen, was der Wert einer „geraden“ Wurzel ist, wenn die zu lösende Größe, also der sogenannte Radikand, ein negatives Vorzeichen hat. Etwa
:<math> \sqrt[2n]{-r} = ? </math>
:Wir sind in keiner Weise imstande, diese an sich berechtigte Frage zu beantworten. Denn in dem bisher von uns durchforschten Zahlengcbiet finden wir keine Art von negativen Zahlen, die als Ergebnis einer geradzahligen Potenzicrung entstehen könnten. Jede Zahl zur 2n-ten Potenz muß als Vorzeichen das Plus haben. Wenn aber der Radikand nicht als 2n-te Potenz irgendeiner Art von Zahl aufgefaßt werden kann, dann ist eine Wurzel eben nicht zu ziehen. Weder allgemein, noch konkret, weder als ganze, noch als gebrochene, noch als irrationale, weder als positive, noch als negaLivc Zahl.
:Wir stehen also vor einem unleugbar neuen, uns noch durchaus unbekannten Zahlentypus, der die seltsame Eigenschaft besitzt, daß seine 2n-te Potenz eine negative Zahl liefert. Da nun — wie sich zeigen wird — alle diese Zahlen sich schließlich auf Quadratwurzeln von (-1) zurückführen lassen, wollen wir vorläufig die Allgemeinheit aufgeben und nur mehr von der zweiten Wurzel aus (-1), der <math> \sqrt{-1} </math> sprechen, die sicherlich ein Spezialfall unseres allgemeinen Problems ist. Wir werden diese <math> \sqrt{-1} </math> als die neue Zahl '''i''' einführen. Unsere <math> \sqrt{-1} </math> leistet deshalb so gute Dienste, weil etwa
:<math> \sqrt{-15} =</math><math> \sqrt{(-1) \cdot (+15)} =</math><math> (\sqrt{(-1)} (\sqrt{(15)} =</math><math> i \sqrt{15} =</math>.
:Bei dieser Gelegenheit sei die ganze Heimtücke der etwas tiefer dringenden Mathematik an einer vom berühmten Zahlentheoretiker Dedekind gestellten Aufgabe gezeigt. Wir wissen, daß <math> \sqrt{-1} </math> sowohl (+1) als (-1) ergeben kann. Wir nennen „Wurzel aus eins“ einfach '''r''' und kümmern uns nicht weiter um das Resultat, da ja in der „Wurzel aus eins“ beide Werte (-1) und (+1) stecken, die wir ohne Fehler wahlweise verwenden dürfen. Wir hätten angenommen, daß <math> (r+l)=(+2) </math>,
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