Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»

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:Unsere vier Ergebnisse wären aber auch ohne Frage nach der Herkunft des Pluszeichens bei (+a<sup>2</sup>) durch gewöhnliche algebraische Division richtig erschienen. Denn nach Ausmultiplikation der jeweiligen Zähler ergibt sich <math> (+a^2):(\pm a) </math>, also entweder <math> (+a^2):(+a) </math> oder <math> (+a^2):(-a) </math>. Daß <math> (+a^2) : (+a)=(+a) </math> und <math> (+a^2):(-a)= (-a) </math>, verursacht uns weder Kopfzerbrechen, noch gibt es zu irgendeiner Vieldeutigkeit Anlaß.
:Anders beim Wurzelziehen. Da, wie wir eben zum Überdruß anschrieben, sowohl <math> (+a) \cdot (+a) </math> als auch <math> (-a) \cdot (-a) </math> das gleiche, nämlich <math> (+a^2) </math> liefert, habe ich bei der Auflösung, der Lysis, in der „Wurzel aus <math> (+a^2) </math>“ in <math> \sqrt{a^2} </math> eine mehrwertige Zahl vor mir. Denn, wenn es auch sicher ist, daß der absolute Wert der Wurzel <math> |a| </math> sein muß, weiß ich über das Vorzeichen dieses a gar nichts und kann es auch aus dem Symbol <math> \sqrt{a^2} </math> allein nie erfahren. Ich muß also als ehrlicher Mensch dieses Nichtwissen eingestehen und offen anschreiben : <math> \sqrt{a^2} = \pm a</math>, das heißt entweder (+a) oder (-a). Diese Unsicherheit gilt nicht für alle Wurzelrechnungen.
:Bei <math> \sqrt[3]{a^3} </math> etwa, weiß ich bestimmt, daß die Lösung (+a) sein muß. Denn <math> (-a)\cdot(-a)\cdot(-a) </math> ergäbe <math> (-a)^3 </math>. Woraus weiter folgt, daß <math> \sqrt[3]{(-a)^3} </math> eben (—a) ist. Bei der vierten Wurzel, also bei <math> \sqrt[4]{a^4} </math> gerate ich wieder in Verlegenheit. Denn <math> (+a)^4 </math> kann ebensogut aus <math> (+a) \cdot (+a) \cdot (+a) \cdot (+a) </math>, als aus <math> (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) </math> hervorgegangen sein. <math> \sqrt[4]{a^4} </math> ist also wieder <math> (\pm a) </math>, plus oder minus ''a''. Wir sehen hier schon ein Bildungsgesetz. Nach den Regeln der „Befehlsverknüpfung“ ergibt eine gerade Anzahl von Pluszeichen ebenso Plus wie eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Da aber Potenzen stets soviel Vorzeichen in sich bergen, als der Potenzanzeiger angibt, sind die Wurzeln mit geradem ganzzahligen Wurzelanzeiger mehrwertig, die Wurzeln mit ungeradem Wurzelanzeiger einwertig in ihrer Lösung. Allgemein
:Bei <math> \sqrt[3]{a^3} </math> etwa, weiß ich bestimmt, daß die Lösung (+a) sein muß. Denn <math> (-a)\cdot(-a)\cdot(-a) </math> ergäbe <math> (-a)^3 </math>. Woraus weiter folgt, daß
<math> \sqrt[3]{(-a)^3} </math> eben (—a) ist. Bei der vierten Wurzel, also bei <math> \sqrt[4]{a^4} </math> gerate ich wieder in Verlegenheit. Denn <math> (+a)^4 </math> kann ebensogut aus <math> (+a) \cdot (+a) \cdot (+a) \cdot (+a) </math>, als aus <math> (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) </math> hervorgegangen sein. <math> \sqrt[4]{a^4} </math> ist also wieder <math> (\pm a) </math>, plus oder minus ''a''. Wir sehen hier schon ein Bildungsgesetz. Nach den Regeln der „Befehlsverknüpfung“ ergibt eine gerade Anzahl von Pluszeichen ebenso Plus wie eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Da aber Potenzen stets soviel Vorzeichen in sich bergen, als der Potenzanzeiger angibt, sind die Wurzeln mit geradem ganzzahligen Wurzelanzeiger mehrwertig, die Wurzeln mit ungeradem Wurzelanzeiger einwertig in ihrer Lösung. Allgemein
:<math> \sqrt[2n]{r} = [\pm s] </math>, <math> \sqrt[2n+1]{r} = [+s] </math>, <math> \sqrt[2n+1]{-r} = [-s] </math>.
:Soweit hätten wir die Sache aufgeklärt. Nun kann uns aber kein Mensch daran hindern, zu fragen, was der Wert einer „geraden“ Wurzel ist, wenn die zu