Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
Contenido eliminado Contenido añadido
Línea 380:
:---
:Nach unserer schon zur Gewohnheit gewordenen Methode wollen wir dieses schwere Gebiet mit einfachsten Überlegungen betreten. Wir erinnern uns, daß uns das Wurzelausziehen die erste große zahlentheoretischc Überraschung gebracht hat: Es lieferte uns die irrationalen Zahlen. Und wieder ist es das Rechnen mit Wurzeln, das uns ins Feld des Imaginären einführt. Imago heißt zu deutsch Abbild, allerdings mit einer leisen Nebenbedeutung der Unwirklichkeit. Daher heißt auch imaginatio soviel wie Einbildung oder Trugbild. Es haftet also unseren Zahlen schon von vornherein eine beinahe degradierende Bedeutung an. Man nannte sie auch früher geradezu „unmögliche“ Zahlen.
:Wir wollen aber jetzt ihre Entstehung zeigen, anstatt sie weiter anzukündigen. Wenn wir uns an unser „Symbolkalkül“ erinnern, an jenen einfachsten Fall dieses Kalküls, nämlich an die „Befehlsverknüpfung“ der Plus- und der Minuszeichen, dann entsinnen wir uns auch der merkwürdigen Tatsache, daß man nach erfolgter Verknüpfung mit dem besten Willen nicht mehr eindeutig auflösen kann, wenn man nicht weiß, wie die Verknüpfung zustande gekommen ist. Kein Mensch kann sagen, ob ein Plus die Multiplikation zweier Plus oder die Multiplikation zweier Minus in sich enthält. Schreibe ich einfach (<math> +2^2 </math>) hin, dann könnte dieses <math> a^2 </math> ebensogut aus <math> (+a) \cdot (+a) </math> als aus <math> (-a) \cdot (-a) </math> entstanden sein. Bei gewöhnlichen Zahlen ist diese Frage uninteressant. Das heißt, sie wird bei den vier einfachen Rechnungsarten nicht aktuell oder bedeutsam. Denn bei der Addition geht es mich ebensowenig an, wie unser (+a<sup>2</sup>) zustande kam, als bei der Subtraktion. Es ist eben (+a<sup>2</sup>) und ich habe es weiter als (+a<sup>2</sup>) zu behandeln. Ebenso bei der Multiplikation und bei der Division. Denn wenn ich selbst durch (+a) oder durch (-a) dividiere, erhalte ich ein richtiges eindeutiges Resultat, unabhängig davon, wie (+a<sup>2</sup>) zustande gekommen ist. Nehmen wir an, es wäre aus (-a)•(-a) zusammengesetzt. Dann ergibt Division durch (+a):▼
▲aus <math> (+a) \cdot (+a) </math> als aus <math> (-a) \cdot (-a) </math> entstanden sein. Bei gewöhnlichen Zahlen ist diese Frage uninteressant. Das heißt, sie wird bei den vier einfachen Rechnungsarten nicht aktuell oder bedeutsam. Denn bei der Addition geht es mich ebensowenig an, wie unser (+a<sup>2</sup>) zustande kam, als bei der Subtraktion. Es ist eben (+a<sup>2</sup>) und ich habe es weiter als (+a<sup>2</sup>) zu behandeln. Ebenso bei der Multiplikation und bei der Division. Denn wenn ich selbst durch (+a) oder durch (-a) dividiere, erhalte ich ein richtiges eindeutiges Resultat, unabhängig davon, wie (+a<sup>2</sup>) zustande gekommen ist. Nehmen wir an, es wäre aus (-a)•(-a) zusammengesetzt. Dann ergibt Division durch (+a):
:<math> \textstyle \frac{(-a) \cdot (-a)}{(+a)} =</math><math> \textstyle \frac{(-a) \cdot [(+a) \cdot (-1)]}{(+a)} =</math><math> \textstyle \frac{ (-a) \cdot (+a) \cdot (-1) }{(+a)} =</math><math> \textstyle \frac{(-a) \cdot [(-1)}{1} =</math><math> (+a) </math>
:Division durch (-a) aber:
Línea 396 ⟶ 387:
:<math> \textstyle \frac{(+a) \cdot (+a)}{(+a)} = (+a) </math>
:und bei Division durch (-a)
:<math> \textstyle \frac{(+a) \cdot (+a)}{(-a)} =</math><math> \textstyle \frac{(+a) \cdot [(-a) \cdot (-1)]}{(-a)} =</math><math> \textstyle \frac{ (+a) \cdot (-a) \cdot (-1) }{(-a)} =</math><math> (+a) \cdot (-1) =</math><math> (-a) </math>
:Unsere vier Ergebnisse wären aber auch ohne Frage nach der Herkunft des Pluszeichens bei (+a<sup>2</sup>) durch gewöhnliche algebraische Division richtig erschienen. Denn nach Ausmultiplikation der jeweiligen Zähler ergibt sich <math> (+a^2):(\pm a) </math>, also entweder <math> (+a^2):(+a) </math> oder <math> (+a^2):(-a) </math>. Daß <math> (+a^2) : (+a)=(+a) </math> und <math> (+a^2):(-a)= (-a) </math>, verursacht uns weder Kopfzerbrechen, noch gibt es zu irgendeiner Vieldeutigkeit Anlaß.
:Anders beim Wurzelziehen. Da, wie wir eben zum Überdruß anschrieben, sowohl <math> (+a) \cdot (+a) </math> als auch <math> (-a) \cdot (-a) </math> das gleiche, nämlich <math> (+a^2) </math> liefert, habe ich bei der Auflösung, der Lysis, in der „Wurzel aus <math> (+a^2) </math>“ in <math> \sqrt{a^2} </math> eine mehrwertige Zahl vor mir. Denn, wenn es auch sicher ist, daß der absolute Wert der Wurzel <math> |a| </math> sein muß, weiß ich über das Vorzeichen dieses a gar nichts und kann es auch aus dem Symbol <math> \sqrt{a^2} </math> allein nie erfahren. Ich muß also als ehrlicher Mensch dieses Nichtwissen eingestehen und offen anschreiben : <math> \sqrt{a^2} = \pm a</math>, das heißt entweder (+a) oder (-a). Diese Unsicherheit gilt nicht für alle Wurzelrechnungen.
| |||