Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 069c»
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:'''Imaginäre Zahlen'''
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:Nach unserer schon zur Gewohnheit gewordenen Methode wollen wir dieses schwere Gebiet mit einfachsten Überlegungen betreten. Wir erinnern uns, daß uns das Wurzelausziehen die erste große zahlentheoretischc Überraschung gebracht hat: Es lieferte uns die irrationalen Zahlen. Und wieder ist es das Rechnen mit Wurzeln, das uns ins Feld des Imaginären einführt. Imago heißt zu deutsch Abbild, allerdings mit einer leisen Nebenbedeutung der Unwirklichkeit. Daher heißt auch imaginatio soviel wie Einbildung oder Trugbild. Es haftet also unseren Zahlen schon von vornherein eine beinahe degradierende Bedeutung an. Man nannte sie auch früher geradezu „unmögliche“ Zahlen.
:Wir wollen aber jetzt ihre Entstehung zeigen, anstatt sie weiter anzukündigen. Wenn wir uns an unser „Symbolkalkül“ erinnern, an jenen einfachsten Fall dieses Kalküls, nämlich an die „Befehlsverknüpfung“ der Plus- und der Minuszeichen, dann entsinnen wir uns auch der merkwürdigen Tatsache, daß man nach erfolgter Verknüpfung mit dem besten Willen nicht mehr eindeutig auflösen kann, wenn man nicht weiß, wie die Verknüpfung zustande gekommen ist. Kein Mensch kann sagen, ob ein Plus die Multiplikation zweier Plus oder die Multiplikation zweier Minus in sich enthält. Schreibe ich einfach (<math> +2^2 </math>) hin, dann könnte dieses <math> a^2 </math> ebensogut
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aus <math> (+a) \cdot (+a) </math> als aus <math> (-a) \cdot (-a) </math> entstanden sein. Bei gewöhnlichen Zahlen ist diese Frage uninteressant. Das heißt, sie wird bei den vier einfachen Rechnungsarten nicht aktuell oder bedeutsam. Denn bei der Addition geht es mich ebensowenig an, wie unser (+a<sup>2</sup>) zustande kam, als bei der Subtraktion. Es ist eben (+a<sup>2</sup>) und ich habe es weiter als (+a<sup>2</sup>) zu behandeln. Ebenso bei der Multiplikation und bei der Division. Denn wenn ich selbst durch (+a) oder durch (-a) dividiere, erhalte ich ein richtiges eindeutiges Resultat, unabhängig davon, wie (+a<sup>2</sup>) zustande gekommen ist. Nehmen wir an, es wäre aus (-a)•(-a) zusammengesetzt. Dann ergibt Division durch (+a):
:<math> \textstyle \frac{(-a) \cdot (-a)}{(+a)} =</math><math> \textstyle \frac{(-a) \cdot [(+a) \cdot (-1)]}{(+a)} =</math><math> \textstyle \frac{ (-a) \cdot (+a) \cdot (-1) }{(+a)} =</math><math> \textstyle \frac{(-a) \cdot [(-1)}{1} =</math><math> (+a) </math>
:Division durch (-a) aber:
:<math> \textstyle \frac{(- a) \cdot (-a)}{(-a)} = (-a) </math>.
:Wäre es aber aus <math> (+a) \cdot (+a) </math> entstanden, dann hätte ich bei der Division durch (+a) einfach
:<math> \textstyle \frac{(+a) \cdot (+a)}{(+a)} = (+a) </math>
:und bei Division durch (-a)
:<math> \textstyle \frac{(+a) \cdot (+a)}{(-a)} =</math><math> \textstyle \frac{(+a) \cdot [(-a) \cdot (-1)]}{(-a)} =</math><math> \textstyle \frac{ (+a) \cdot (-a) \cdot (-1) }{(-a)} =</math><math> (+a) \cdot (-1) =</math><math> (-a) </math>.
:Unsere vier Ergebnisse wären aber auch ohne Frage nach der Herkunft des Pluszeichens bei (+a<sup>2</sup>) durch gewöhnliche algebraische Division richtig erschienen. Denn nach Ausmultiplikation der jeweiligen Zähler ergibt sich <math> (+a^2):(\pm a) </math>, also entweder <math> (+a^2):(+a) </math> oder <math> (+a^2):(-a) </math>. Daß <math> (+a^2) : (+a)=(+a) </math> und <math> (+a^2):(-a)= (-a) </math>, verursacht uns weder Kopfzerbrechen, noch gibt es zu irgendeiner Vieldeutigkeit Anlaß.
:Anders beim Wurzelziehen. Da, wie wir eben zum Überdruß anschrieben, sowohl <math> (+a) \cdot (+a) </math> als auch <math> (-a) \cdot (-a) </math> das gleiche, nämlich <math> (+a^2) </math> liefert, habe ich bei der Auflösung, der Lysis, in der „Wurzel aus
<math> (+a^2) </math>“ in <math> \sqrt{a^2} </math> eine mehrwertige Zahl vor mir. Denn, wenn es auch sicher ist, daß der absolute Wert der Wurzel <math> |a| </math> sein muß, weiß ich über das Vorzeichen dieses a gar nichts und kann es auch aus dem Symbol <math> \sqrt{a^2} </math> allein nie erfahren. Ich muß also als ehrlicher Mensch dieses Nichtwissen eingestehen und offen anschreiben : <math> \sqrt{a^2} = \pm a</math>, das heißt entweder (+a) oder (-a). Diese Unsicherheit gilt nicht für alle Wurzelrechnungen.
???
:Bei ]/a3 etwa, weiß ich bestimmt, daß die Lösung (+a) sein muß. Denn (—a)-(—a)-(—a) ergäbe (— a)3. 3 Woraus weiter folgt, daß ]/(—a)s eben (—a) ist. Bei 4 der vierten Wurzel, also bei jfa4 gerate ich wieder in Verlegenheit. Denn (+a)' kann ebensogut aus (+ a) • (+a) •(+ a) • (+ a), als aus (- a) • (- a) • (- a) • (—a) 4 hervorgegangen sein, /ä^ ist also wieder (±a), plus oder minus a. Wir sehen hier schon ein Bildungsgesetz. Nach den Regeln der „Befclilsverknüpfung“ ergibt eine gerade Anzahl von Pluszeichen ebenso Plus wie eine gerade Anzahl von Minuszeichen. Da aber Potenzen stets soviel Vorzeichen in sich bergen, als der Potenzanzeiger angibt, sind die Wurzeln mit geradem ganzzahligen Wurzelanzeiger mehrwertig, die Wurzeln mit ungeradem Wurzelanzeiger einwertig in ihrer Lösung. Allgemein 2n 2n-rl 2n+l fF=(±s), fr =(+s), V(—r) = (—s). Soweit hätten wir die Sache aufgeklärt. Nun kann uns aber kein Mensch daran hindern, zu fragen, was der Wert einer „geraden“ Wurzel ist, wenn die zu
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lösende Größe, also der sogenannte Radikand, ein negatives Vorzeichen hat. Etwa 2n )'(-r) = ? Wir sind in keiner Weise imstande, diese an sich berechtigte Frage zu beantworten. Denn in dem bisher von uns durchforschten Zahlengcbiet finden wir keine Art von negativen Zahlen, die als Ergebnis einer geradzahligen Potenzicrung entstehen könnten. Jede Zahl zur 2n-tcn Potenz muß als Vorzeichen das Plus haben. Wenn aber der Radikand nicht als 2n-te Potenz irgendeiner Art von Zahl aufgefaßt werden kann, dann ist eine Wurzel eben nicht zu ziehen. Weder allgemein, noch konkret, weder als ganze, noch als gebrochene, noch als irrationale, weder als positive, noch als negaLivc Zahl. Wir stehen also vor einem unleugbar neuen, uns noch durchaus unbekannten Zahlentypus, der die seltsame Eigenschaft besitzt, daß seine 2n-te Potenz eine negative Zahl liefert. Da nun — wie sich zeigen wird — alle diese Zahlen sich schließlich auf Quadratwurzeln von (— 1) zurückführen lassen, wollen wir vorläufig die Allgemeinheit aufgeben und nur mehr von der zweiten Wurzel aus (—1), der ]/—1 sprechen, die sicherlich ein Spezialfall unseres allgemeinen Problems ist. Wir werden diese T als die neue Zahl i einführen. Unsere 1'—1 leistet deshalb so gute Dienste, weil etwa V—15= =1/(_1H+15)=(/=I) (i05)=il05. Bei dieser Gelegenheit sei die ganze Heimtücke der etwas tiefer dringenden Mathematik an einer vom berühmten Zahlentheoretiker Dedekind gestellten Aufgabe gezeigt. Wir wissen, daß ]TT sowohl (-j- 1) als (— 1) ergeben kann. Wir nennen „Wurzel aus eins“ einfach r und kümmern uns nicht-weiter um das Resultat, da ja in der „Wurzel aus eins“ beide Werte (—1) und (+1) stecken, die wir ohne Fehler wahlweise verwenden dürfen. Wir hätten angenommen, daß (r+l)=(+2),
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was sich durch Benützung der Pluslösung von r=yi ergibt. Für (r— 1) wählen wir die Minuslösung für r und erhalten (—2). Nun multiplizieren wir zuerst allgemein (r+l)-(r-l)=r3+r-r-l=ra-l. Da r=yT, ist ra auf jeden Fall ( +1) und rs—1 = 1—1=0. Hätten wir jedoch unsere Ergebnisse (+2) und (—2) miteinander multipliziert, dann hätten wir als Wert für (r+1) - (r— 1) die Zahl (—4) erhalten. Da nun weiters (r-j-l) = (+2) also von 0 verschieden war und dasselbe für (r—1)=( —2) galt, aus (r2— 1) sich aber Null ergab, folgt, daß es Fälle gibt, in denen die Multiplikation zweier von Null verschiedener Zahlen je nach der Art, in der wir multiplizieren, einmal einen von Null verschiedenen Wert und einmal Null liefert, was unseren bisherigen Algorithmus vollkommen sprengl. Wir stoßen aber bei unseren neuen imaginären Zahlen noch auf andere Unbegreiflichkeitcn. Hätten wir etwa ]'—9-y —4 zu multiplizieren, dann würde ich nach dem bisher Erforschten ruhig V(—9)-(—4) anschreiben, wie ich etwa yiü-y 4 =yi6-4 = y64 =+8 berechnen kann. Ich erhielte also y(—9)-(—4)=y+36= =±6. Nun wird man erstaunt sein, daß ich behaupte, dieses Ergebnis sei direkt falsch. Denn y —9=iy~9 und y^4= i yr, somit y^ü- y=3= i fü~- i yr= iä ysrs = ia•]/3(j=( —1)V3S=—V36==F6. Im letzten Ergebnis haben sich wohl nur die Vorzeichen (±) auf (+) umgekehrt. I-IäLLe ich aber etwa die y36 als m bezeichnet, dann ist es wohl ein gewaltiger Unterschied, ob ich (+m) oder (—m) als Ergebnis der Multiplikation erhalte. Denn die Vorzeichenumkehrung im allerletzten Resultat ist ja erst eine weitere Befehlsverknüpfung zwischen (—1) und (+)/M). Aber noch andere sonderbare Fälle ergeben sich bei imaginären Zahlen. Der große Physiker und Mathematiker Huygens aus Züllichem war mit Recht erstaunt, als ihm Leibniz die Aufgabe vorlegte, }'l -f- + + j/I-y=3 zu berechnen, und dazu noch behauptete,
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das einfache Resultat dieser Rechnung sei die
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