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:<math> 7{,}{\dot 3} </math> heißt 7,3333333 usw.,
:<math> 0{,}{\dot 5}43218{\dot 9} </math> oder <math>= 0{,}{\overline {5432189}}</math> heißt <math>= 0{,}{\overline {5432189}}\;{\overline {5432189}} </math> usw.
:Nun gäbe es noch als letzten Fall die Möglichkeit, daß der Bruchnenner (Divisor) zwar Primzahlpotenzen enthält, durch die die Grundzahl des Systems teilbar ist; aber dazu noch andere Primzahlpotenzen von Primzahlen, die mit der Systemgrundzahl teilerfremd sind. Im Zehnersystem etwa 2 und 3, wie bei der Zahl 6. <math> \textstyle \frac{5}{6} </math> etwa ergibt als Systembruch 0,83333... , also einen Bruchtypus, den wir noch nicht angetroffen haben. Er heißt „gemischtperiodischer“ Bruch. Zuerst kommt die 8 und dann erst die periodische 3. Hier ist die Mischung äußerst einfach. Es kann aber auch vorkommen, daß sowohl die Gruppe vor der Periode, als die Periode selbst aus mehreren Ziffern besteht.
:Bei <math> \textstyle \frac{5}{22} = 0{,}2\overline{27}\;\overline{27}\;\overline{27} </math> ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die Periode zweistellig.
???
:Nun gäbe es noch als letzten Fall die Möglichkeit,
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daß der Bruchnenner (Divisor) zwar Primzahlpotenzen enthält, durch die die Grundzahl des Systems teilbar ist; aber dazu noch andere Primzahlpotenzen von Primzahlen, die mit der Systemgrundzahl teilerfremd sind. Im Zehnersystem etwa 2 und 3, wie bei der Zahl 6. ~ etwa ergibt als Systembruch 0*83333 , also einen Bruchtypus, den wir noch nicht angetroffen haben. Er heißt „gemischtperiodischer“ Bruch. Zuerst kommt die 8 und dann erst die periodische 3. Hier ist die Mischung äußerst einfach. Es kann aber auch vorkommen, daß sowohl die Gruppe vor der Periode, als die Periode selbst aus mehreren Ziffern besteht. Bei ~=0'2272727 ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die Periode zweistellig. Bei ^ =0'11538461536-10 ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die periodische sechsstellig. Bei 0-26387 endlich (was als gemeiner Bruch lTToo ergäbc) ist die vorpcriodische Gruppe zweistellig, also ebenfalls mehrstellig. Eine weitere Art der Zusammensetzung des Divisors oder Nenners gibt es aber nicht. Wir sind also, ohne uns in die schwierige Lehre von den Systembrüchen weiter vertiefen zu können, gleichwohl berechtigt, festzustellen, daß die Verwandlung von gemeinen Brüchen in Systembrüche (dadurch auch die Division zweier Zahlen) niemals etwas anderes liefern kann als einen endlichen Systembruch, einen reinperiodischen Systeinbrueh oder einen gemischtperiodischen Systembruch. Eine irrationale Zahl, das heißt ein Systembruch, der ohne Regel und ohne oder mit einem anderen als dem bisher geschilderten Bildungsgesetz der reinperiodischen oder gemischtpcriodischen Brüche ins Unendliche läuft, ist als Ergebnis einer Division undenkbar. Er kann nur aus Wurzeloperalionen (Operationen mit gebrochenen Potenzexponenten) oder aus unendlichen Summierungen von gewissen fallenden Potenzreihen mit negativem Potenzanzeiger oder aus anderen Reihen
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