Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»

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:Wer Schulden hat, dessen Besitz ist sicher kleiner als der Besitz eines Mannes, der eine Zechine sein eigen nennt. Ich kann also eben wegen dieser zweiten Bedeutung des „kleiner als ...“ nicht behaupten, daß nur echle Brüche kleiner sind als eins. Deshalb betrachte ich bei jeder Zahl drei Möglichkeiten ihrer Größe: Ihren Wert positiv genommen, ihren Wert negativ genommen und schließlich ihren absoluten, vorzeichenfremdcn Wert, ihre Zahlenbedeutung an sich. Ich schreibe dann die Zahl zwischen senkrechten Strichen und erkläre: '''|5|''' ist auf jeden Fall größer als '''|3|''', obwohl natürlich (—5) bestimmt kleiner ist als (+3), ja sogar als (—3). Die „absolute“ Zahl ist also stets kleiner als |1|, ebenso ist jeder andere, absolut betrachtete echte Bruch kleiner als die absolut betrachtete Eins.
:Nach diesem Zwischenspiel können wir endlich an unsere Arbeit gehen. Wir versuchen zuerst, festzustellen, welchen Wert etwa der Bruch <math> \textstyle \frac{3}{40} </math> besitzt. Wir finden durch Division den Wert 0,075, haben also einen sogenannten endlichen Dezimalbruch vor uns. Ebenso bei <math> \textstyle \frac{4}{125} </math>, der als Systembruch dezimal geschrieben 0,032 als Ergebnis liefern würde. Daß <math> \textstyle \frac{1}{2} = 0,5 </math> und <math> \textstyle \frac{1}{5} = 0,2 </math> ergibt, weiß jedes Kind. Wenn wir nun, der allgemeinen Schreibweise folgend, den Bruchzähler eines „reduzierten“ echten Bruches mit ''p'', den Nenner mit ''q'' bezeichnen, dann gilt die Regel, daß jeder solche gemeine Bruch einen endlichen Systembruch liefert, wenn der Nenner ''q'' des Bruches lediglich aus den zwei Primfaktoren 2 und 5 der Grundzahl 10 unseres Dezimalsystems zusammengesetzt ist.
 
 
@@@1
 
:<math> 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 ^ \cdot 5^1 </math>,
 
@@@2
:<math> 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 ^ \cdot 513 \cdot 2^0 </math>,
 
 
@@@3
::(<small>Die Nullpolenz 2<sup>0</sup> des fehlenden Faktors wird zur Erhaltung der allgemeinen Regel angeschrieben!</small>)
:<math> 2 = 2^1 \cdot 5^0</math> und
:<math> 5 = 5^1 \cdot 2^0</math>
 
 
 
 
:Überall in unseren Beispielen trifft also die Regel zu. Daher kann man allgemein behaupten, daß ich nur dann Hoffnung bzw. Sicherheit des „Aufgehens“ einer Division habe, wenn nach durchgeführter Kürzung aller im Dividenden und Divisor enthaltenen gemeinsamen Teiler, der Divisor lediglich aus Potenzen von 2 und 5 zusammengesetzt bleibt, wobei 2 oder 5 auch in der 0-ten Potenz, das heißt überhaupt nicht auftreten können. Wenn ich also etwa <math> 2^{27} \cdot 5^{13} </math> oder allgemein <math> 2^n \cdot 5^m </math> als Zahl bilde, dann muß jede andere rationale Zahl der Welt, durch dieses <math> 2^n \cdot 5^m </math> dividiert, irgendeinmal einen abgeschlossenen Quotienten in ganzen oder Systembruchzahlen liefern. Es liefert also jeder Bruch der Form <math> \textstyle \frac{p}{2^n 5^m} </math> einen endlichen, unperiodischen Systembruch. Ganz allgemein für jedes System erhalte ich solch einen endlichen Systembruch, wenn ich den Zähler p durch einen, lediglich aus Primzahlpotenzen der Grundzahl ''g'' zusammengesetzten Nenner dividiere. Im dyadischen System ist also jede Zahl durch einen Nenner, der aus Potenzen von 2 besteht, endlich dividierbar. Im Sechsersystem muß der Divisor sich zu diesem Zweck aus Potenzen von 2 und 3, im Zwölfersystem ebenfalls aus Potenzen von 2 und 3, im Dreißigersystem aus Potenzen von 2, 3 und 5 zusammensetzen. Und so fort.
:Wiederholt: Gewisse, eben näher erläuterte Formen von gemeinen Brüchen liefern endliche ''n'' Systembrüche. Geschrieben