Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»
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:Damit sich aber sonst nichts ändert und damit nur das Vorzeichen hin und her springt-, haben wir zudem noch (—1) als Basis gewählt. Wohl ein überaus raffinierter Trick!
:So verlockend es nun wäre, diesen neuen Algorithmus, den wir noch einmal allerdringendsL zum genauen Studium empfehlen, weiter zu durchforschen, da das Gezeigte ja nur einen sehr kleinen Ausschnilt aller Möglichkeiten gibt, wollen wir jetzt endlich zu unseren Systembrüchen übergehen. Und zwar an der Hand von Beispielen. Vorausgesetzt wird, daß wir nur sogenannte „reduzierte“ Brüche behandeln, das sind Brüche, deren absoluler Wert kleiner ist als eins und deren Zähler und Nenner teilerfremd sind, also kein gemeinsames Maß besitzen. Nun häufen sich leider plötzlich die neuen Begriffe. Wir haben von „absolutem“ Werte gesprochen und müssen diese Bezeichnung schnell noch erklären: Es ist offensichtlich, daß „kleiner als eins“ zweierlei bedeuten kann. Nämlich zuerst das, was man gewöhnlich darunter versteht. Also etwa: <math> \textstyle \frac{1}{2} </math> ist kleiner als eins. <math> \textstyle \frac{4}{7} </math> sind kleiner als eins. Überhaupt ist jeder echte Bruch kleiner als eins, weil ich eben einen Bruch, der kleiner als 1 ist, einen echten genannt habe. Nun gibt es aber noch eine zweite BcdcuLung von „kleiner als 1“, die durch Einführung der negativen Zahlen entsteht. Die 0 ist sicher kleiner als 1. Noch kleiner als die 0 ist aber (—1), (—2), (—3) usw. und überhaupt jede negative Zahl.
:Wer Schulden hat, dessen Besitz ist sicher kleiner als der Besitz eines Mannes, der eine Zechine sein eigen nennt. Ich kann also eben wegen dieser zweiten Bedeutung des „kleiner als ...“ nicht behaupten, daß nur echle Brüche kleiner sind als eins. Deshalb betrachte ich bei jeder Zahl drei Möglichkeiten ihrer Größe: Ihren Wert positiv genommen, ihren Wert negativ genommen und schließlich ihren absoluten, vorzeichenfremdcn Wert, ihre Zahlenbedeutung an sich. Ich schreibe dann die Zahl zwischen senkrechten Strichen und erkläre: '''|5|''' ist auf jeden Fall größer als '''|3|''', obwohl natürlich (—5) bestimmt kleiner ist als (+3), ja sogar als (—3). Die „absolute“ Zahl ist also stets kleiner als |1|, ebenso ist jeder andere, absolut betrachtete echte Bruch kleiner als die absolut betrachtete Eins.
:Nach diesem Zwischenspiel können wir endlich an unsere Arbeit gehen. Wir versuchen zuerst, festzustellen, welchen Wert etwa der Bruch <math> \textstyle \frac{3}{40} </math> besitzt. Wir finden durch Division den Wert 0,075, haben also einen sogenannten endlichen Dezimalbruch vor uns. Ebenso bei <math> \textstyle \frac{4}{125} </math>, der als Systembruch dezimal geschrieben 0,032 als Ergebnis liefern würde. Daß <math> \textstyle \frac{1}{2} = 0,5 </math> und <math> \textstyle \frac{1}{5} = 0,2 </math> ergibt, weiß jedes Kind. Wenn wir nun, der allgemeinen Schreibweise folgend, den Bruchzähler eines „reduzierten“ echten Bruches mit ''p'', den Nenner mit ''q'' bezeichnen, dann gilt die Regel, daß jeder solche gemeine Bruch einen endlichen Systembruch liefert, wenn der Nenner ''q'' des Bruches lediglich aus den zwei Primfaktoren 2 und 5 der Grundzahl 10 unseres Dezimalsystems zusammengesetzt ist.
:<math> 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 ^ \cdot 5^1 </math>,
:<math> 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 ^ \cdot 513 \cdot 2^0 </math>,
::(<small>Die Nullpolenz 2<sup>0</sup> des fehlenden Faktors wird zur Erhaltung der allgemeinen Regel angeschrieben!</small>)
:<math> 2 = 2^1 \cdot 5^0</math> und
:<math> 5 = 5^1 \cdot 2^0</math>
:Überall in unseren Beispielen trifft also die Regel zu. Daher kann man allgemein behaupten, daß ich nur dann Hoffnung bzw. Sicherheit des „Aufgehens“ einer Division habe, wenn nach durchgeführter Kürzung aller im Dividenden und Divisor enthaltenen gemeinsamen Teiler, der Divisor lediglich aus Potenzen von 2 und 5 zusammengesetzt bleibt, wobei 2 oder 5 auch in der 0-ten Potenz, das heißt überhaupt nicht auftreten können. Wenn ich also etwa <math> 2^{27} \cdot 5^{13} </math> oder allgemein <math> 2^n \cdot 5^m </math> als Zahl bilde, dann muß jede andere rationale Zahl der Welt, durch dieses <math> 2^n \cdot 5^m </math> dividiert, irgendeinmal einen abgeschlossenen Quotienten in ganzen oder Systembruchzahlen liefern. Es liefert also jeder Bruch der Form <math> \textstyle \frac{p}{2^n 5^m} </math> einen endlichen, unperiodischen Systembruch. Ganz allgemein für jedes System erhalte ich solch einen endlichen Systembruch, wenn ich den Zähler p durch einen, lediglich aus Primzahlpotenzen der Grundzahl ''g'' zusammengesetzten Nenner dividiere. Im dyadischen System ist also jede Zahl durch einen Nenner, der aus Potenzen von 2 besteht, endlich dividierbar. Im Sechsersystem muß der Divisor sich zu diesem Zweck aus Potenzen von 2 und 3, im Zwölfersystem ebenfalls aus Potenzen von 2 und 3, im Dreißigersystem aus Potenzen von 2, 3 und 5 zusammensetzen. Und so fort.
:Wiederholt: Gewisse, eben näher erläuterte Formen von gemeinen Brüchen liefern endliche ''n'' Systembrüche. Geschrieben
:<math> \sig_n = 0 \cdot g^0 + \Sum_{\nu=1}^n a\nu}g^{-\nu} </math>, wobei die obere Grenze ''n'' verschieden von unendlich sein muß.
:Wenn nun unser Bruch <math> \textstyle \frac{p}{q} </math> im Nenner eine Zahl q stehen hätte, die nur Potenzen von Primfaktoren enthält, durch die die Grundzahl nicht teilbar ist (also im Zehnersystem etwa 3 oder 7 oder 3 und 7), dann ergibt sich als Resultat der Division ein sogenannter reinperiodischer Systembruch. Es wiederholt sich eine Ziffer oder eine Zifferngruppe bis ins Unendliche,
:<math> \textstyle \frac{1}{7b} </math> etwa <math>= 0{,}{\overline 142857}{\overline 142857}{\overline 142857} \dots</math>
???
..., y = 0-428571428571..., =0'238095238095, ]j=0-363(i36, |=0'666.... usw. Die Schreibweise ist gewöhnlich so, daß man über die periodische Einzelziffer oder über die beiden Begrenzungsziffern der periodischen Zifferngruppen Punkte setzt. Im letzteren Fall oft auch einen waagrechten Strich. Also etwa 7'3 heißt 7-3333333 usw., 0-5432189 oder 0-5432189 heißt 0 54327«95432189 usw. Nun gäbe es noch als letzten Fall die Möglichkeit,
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