Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»

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:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 2n)-1}(-1)^{2n+1} = \frac{1}{4n-1} (-1)^{2n+1} = - \frac{1}{4n-1}</math>.
:Wir erhalten unfehlbar genau die Leibniz-Reihe. Es muß nur noch bemerkt werden, daß 2n der Ausdruck für eine gerade Zahl ist. Denn man kann ein ganzzahliges n (und ein anderes kommt hier nicht in Betracht) wählen wie man will, so muß es, mit zwei multipliziert, eine gerade Zahl ergeben. Ist n=2, dann ist 2n=4. Ist n=27, dann ist 2n=54 usw. Deshalb ist 2n+l, das sich beim 2n-ten Glied als Potenzanzciger ergibt, eine ungerade Zahl. Auch dies paßt vortrefflich in unserem Algorithmus, da ja alle „geraden“ Glieder ungerade Anzeiger haben, etwa das 4. Glied den Anzeiger 5. Unser Zauberzeichen hat also klaglos funktioniert, und wir haben dabei noch die Genugtuung erlebt, zu beobachten, wie man die scheinbar durch ein Zeichen unausdrückbare Bedingung des regelmäßigen Vorzeichenwechsels einfach dadurch in den Algorithmus eingliederte, daß man eine Eigenschaft der Potenzen benützte. Die Potenzen negativer Zahlen ergeben ja bei geraden Anzeigern stets Plus- und bei ungeraden Anzeigern stets Minuswerte.
::(<small>Folgt aus den Regeln der „Befehlsverknüpfung“. Etwa ist (-a)<sup>3</sup>=(-a)•(-a)•(-a) und (-a)<sup>6</sup>=(-a)•(-a)•(-a)•(-a)•(-a)•(-a). Kommt aber das Minus in einer Multiplikation in gerader Zahl vor, so ergibt sich Plus für das Resultat, sonst Minus.<\/small>)
:Damit sich aber sonst nichts ändert und damit nur das Vorzeichen hin und her springt-, haben wir zudem noch (—1) als Basis gewählt. Wohl ein überaus raffinierter Trick!
:So verlockend es nun wäre, diesen neuen Algorithmus, den wir noch einmal allerdringendsL zum genauen Studium empfehlen, weiter zu durchforschen, da das Gezeigte ja nur einen sehr kleinen Ausschnilt aller Möglichkeiten gibt, wollen wir jetzt endlich zu unseren Systembrüchen übergehen. Und zwar an der Hand von Beispielen. Vorausgesetzt wird, daß wir nur sogenannte „reduzierte“ Brüche behandeln, das sind Brüche, deren absoluler Wert kleiner ist als eins und deren Zähler und Nenner teilerfremd sind, also kein gemeinsames Maß besitzen. Nun häufen sich leider plötzlich die neuen Begriffe. Wir haben von „absolutem“ Werte gesprochen und müssen diese Bezeichnung schnell noch erklären: Es ist offensichtlich, daß „kleiner als eins“ zweierlei bedeuten kann. Nämlich zuerst das, was man gewöhnlich darunter versteht. Also etwa: <math> \textstyle \frac{1}{2} </math> ist kleiner als eins. <math> \textstyle \frac{4}{7} </math> sind kleiner als eins. Überhaupt ist jeder echte Bruch kleiner als eins, weil ich eben einen Bruch, der kleiner als 1 ist, einen echten genannt habe. Nun gibt es aber noch eine zweite BcdcuLung von „kleiner als 1“, die durch Einführung der negativen Zahlen entsteht. Die 0 ist sicher kleiner als 1. Noch kleiner als die 0 ist aber (—1), (—2), (—3) usw. und überhaupt jede negative Zahl.
:Wer Schulden hat, dessen Besitz ist sicher kleiner als der Besitz eines Mannes, der eine Zechine sein eigen nennt. Ich kann also eben wegen dieser zweiten Bedeutung des „kleiner als ...“ nicht behaupten, daß nur echle Brüche kleiner sind als eins. Deshalb betrachte ich bei jeder Zahl drei Möglichkeiten ihrer Größe: Ihren Wert positiv genommen, ihren Wert negativ genommen und schließlich ihren absoluten, vorzeichenfremdcn Wert, ihre Zahlenbedeutung an sich. Ich schreibe dann die Zahl zwischen senkrechten SlrichenStrichen und erkläre: '''|5|'''
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ist auf jeden Fall größer
 
ist auf jeden Fall größer als |3|, obwohl natürlich (—5) bestimmt kleiner ist als (+3), ja sogar als (—3). Die „absolute“ Zahl ist also stets kleiner als |1|, ebenso ist jeder andere, absolut betrachtete echte Bruch kleiner als die absolut betrachtete Gins. Nach diesem Zwischenspiel können wir endlich an unsere Arbeit gehen. Wir versuchen zuerst, festzuQ stellen, welchen Wert etwa der Bruch besitzt. Wir finden durch Division den Wert 0'075, haben also einen sogenannten endlichen Dezimalbruch vor uns. Ebenso bei , der als Syslembruch dezimal geschrieben 0-032 als Ergebnis liefern würde. Daß -i-=0-5 und -g-=0-2 ergibt, weiß jedes Kind. Wenn wir nun, der allgemeinen Schreibweise folgend, den Bruchzähler eines „reduzierten“ echten Bruches mit p, den Nenner mit q bezeichnen, dann gilt die Regel, daß jeder solche gemeine Bruch einen endlichen Systembruch liefert, wenn der Nenner q des Bruches lediglich aus den zwei Primfaktoren 2 und 5 der Grundzahl 10 unseres Dezimalsystems zusammengesetzt ist. 40=2-2-2-5=23-51, 125=5-5-5=53-201), 2=2»-5° und -2°. Uberall in unseren Beispielen trifft also die Regel zu. Daher kann man allgemein behaupten, daß ich nur dann Hoffnung bzw. Sicherheit des „Aufgehens“ einer Division habe, wenn nach durchgeführter Kürzung aller im Dividenden und Divisor enthaltenen gemeinsamen Teiler, der Divisor lediglich aus Potenzen von 2 und 5 zusammengesetzt bleibt, wobei 2 oder 5 auch in dcrO-ten Potenz, das heißt überhaupt nicht auftreten können. Wenn ich .also etwa 227-513 oder allgemein 2n-5m als Zahl bilde, dann muß jede andere rationale Zahl der Welt, durch dieses 2n-5m dividiert, irgendl) Die Nullpolenz des fehlenden Faktors wird zur Erhallung der allgemeinen Regel angeschrieben!
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einmal einen abgeschlossenen Quotienten in ganzen oder Systembruchzahlen liefern. Es liefert also jeder Bruch der Form -J^JJ einen endlichen, unpcriodischen i D Systembruch. Ganz allgemein für jedes System erhalte ich solch einen endlichen Systcmbruch, wenn ich den Zähler p durch einen, lediglich aus Primzahlpotcuzcn der Grundzahl g zusammengesetzten Nenner dividiere. Im dyadischen System ist also jede Zahl durch einen Nenner, der aus Potenzen von 2 besteht, endlich dividierbar. Im Sechsersystcm muß der Divisor sich zu diesem Zweck aus Potenzen von 2 und 3, im Zwölfersystem ebenfalls aus Potenzen von 2 und 3, im Drcißigersystem aus Potenzen von 2, 3 und 5 zusammensetzen. Und so fort. Wiederholt: Gewisse, eben näher erläuterte Formen von gemeinen Brüchen liefern endliche n Systembrüche. Geschrieben crn=0 • g'+^P a^g-1', wobei l die obere Grenze n verschieden von unendlich sein muß. Wenn nun unser Bruch -2- im Nenner eine Zahl q stehen hätte, die nur Potenzen von Primfaktoren enthält, durch die die Grundzahl nicht teilbar ist (also im Zehnersystem etwa 3 oder 7 oder 3 und 7), dann ergibt sich als Resultat der Division ein sogenannter reinperiodischer Systembruch. Es wiederholt sich eine Ziffer oder eine Zifferngruppe bis ins Unendliche, i etwa = = 0'^142857H28b7142857..., y = 0-428571428571..., =0'238095238095, ]j=0-363(i36, |=0'666.... usw. Die Schreibweise ist gewöhnlich so, daß man über die periodische Einzelziffer oder über die beiden Begrenzungsziffern der periodischen Zifferngruppen Punkte setzt. Im letzteren Fall oft auch einen waagrechten Strich. Also etwa 7'3 heißt 7-3333333 usw., 0-5432189 oder 0-5432189 heißt 0 54327«95432189 usw. Nun gäbe es noch als letzten Fall die Möglichkeit,
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daß der Bruchnenner (Divisor) zwar Primzahlpotenzen enthält, durch die die Grundzahl des Systems teilbar ist; aber dazu noch andere Primzahlpotenzen von Primzahlen, die mit der Systemgrundzahl teilerfremd sind. Im Zehnersystem etwa 2 und 3, wie bei der Zahl 6. ~ etwa ergibt als Systembruch 0*83333 , also einen Bruchtypus, den wir noch nicht angetroffen haben. Er heißt „gemischtperiodischer“ Bruch. Zuerst kommt die 8 und dann erst die periodische 3. Hier ist die Mischung äußerst einfach. Es kann aber auch vorkommen, daß sowohl die Gruppe vor der Periode, als die Periode selbst aus mehreren Ziffern besteht. Bei ~=0'2272727 ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die Periode zweistellig. Bei ^ =0'11538461536-10 ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die periodische sechsstellig. Bei 0-26387 endlich (was als gemeiner Bruch lTToo ergäbc) ist die vorpcriodische Gruppe zweistellig, also ebenfalls mehrstellig. Eine weitere Art der Zusammensetzung des Divisors oder Nenners gibt es aber nicht. Wir sind also, ohne uns in die schwierige Lehre von den Systembrüchen weiter vertiefen zu können, gleichwohl berechtigt, festzustellen, daß die Verwandlung von gemeinen Brüchen in Systembrüche (dadurch auch die Division zweier Zahlen) niemals etwas anderes liefern kann als einen endlichen Systembruch, einen reinperiodischen Systeinbrueh oder einen gemischtperiodischen Systembruch. Eine irrationale Zahl, das heißt ein Systembruch, der ohne Regel und ohne oder mit einem anderen als dem bisher geschilderten Bildungsgesetz der reinperiodischen oder gemischtpcriodischen Brüche ins Unendliche läuft, ist als Ergebnis einer Division undenkbar. Er kann nur aus Wurzeloperalionen (Operationen mit gebrochenen Potenzexponenten) oder aus unendlichen Summierungen von gewissen fallenden Potenzreihen mit negativem Potenzanzeiger oder aus anderen Reihen
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von fallenden Brüchen (etwa mit steigenden Fakultäten im Nenner) hervorgehen. Wir sind also sicher, in jedem Bruch und in jeder Division rationaler Zahlen als Resultat einer Ausrechnung eine rationale Zahl zu erhalten. r (rationale Zahl), wie immer p und q aussehen mögen, ob sie nun ganze, gebrochene, positive und negative Zahlen sind. Nur irrational dürfen weder q noch p sein. Wenn dem aber so ist, dann muß es auch möglich sein, jeden endlichen, jeden reinperiodisch-uncndlichen und jeden gemischtpcriodisch-unendlichcn Systembruch in eine rationale Zahl, einen gemeinen Bruch der reduzierten Form — zurückzuverwandeln. Einen unendlichen Systembruch mit einem nichtperiodischcn Bildungsgesetz oder einen unendlichen Systembruch ohne jedes Bildungsgesetz dagegen werden wir niemals rückverwandeln können, da es sich dabei ja um irrationale Zahlen handelt, und es sich im gegenteiligen Falle ergeben würde, daß eine irrationale Zahl in eine rationale verwandelbar ist. Zugleich aber wird diese „Rückverwandlung“ eine taugliche Probe auf unsere bisherigen Behauptungen sein. Nur können wir es uns vorläufig noch gar nicht recht vorstellen, wie es möglich sein soll, unendliche, wenn auch periodische Brüche rechnerisch anzupacken. Wir wissen zwar, daß ~ gleich ist 0*333333.. (periodisch ins Unendliche), wenn wir aber nur 0*333333333... vor uns hätten, wüßten wir nicht, wie wir daraus einen gemeinen Bruch machen sollen. Wenigstens nicht ohne scharfe und tiefe Überlegungen. Am einfachsten ist es wohl, einen endlichen Dezimalbruch zurückzuverwandeln. Etwa 0*225. Ich brauche ihn bloß auszusprechen, als gemeinen Bruch zu schreiben und erhalte das Resultat. Also 0*225=^^. das aber ist, durch 25 gekürzt, nichts anderes als die „reduzierte Form die sich nicht weiter reduzieren läßt. Will
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ich unsere Regel dagegen streng wissenschaftlich schreiben, dann setze ich an: m 2? c, Gm „gm-ii gm Dabei ist das fx (das kleine griechische „mi“) die „laufende Zahl“, c ist der jeweilige Koeffizient (bei uns also 2, 2, 5) und g ist die Grundzahl des Systems (bei uns 10). Das m bedeutet die Stellenzahl des endlichen Dezimalbruches (bei uns 3). Wir hätten also einzusetzen _2-103-1+2-103-!!+5-IQ33 2-100 + 2-10+5-1 _ 0m~ 103 ~ 1000 ~ _ 225 1000' also dasselbe, was wir, gleichsam dem Naturverstand folgend, erhielten. Unsere Formel hat aber den ungeheuren Vorteil, daß sie allgemein für jedes Stellcnwertsystem gilt und dadurch das genaue Gestallbild der Angelegenheit entschleiert. Für die Rückverwandlung reinperiodischcr Brüche in reduzierte gemeine Brüche benützen wir die Formel *): r 2Pc0{?-<>
was nichts anderes bedeutet, als daß man die Stellen der Bruchperiode im Zähler als ganze Zahl anschreiben muß, während im Nenner soviel Neuner zu setzen sind, als im Zähler Ziffern stehen. Diese Erläuterung ist selbstverständlich nur für das Dezimalsystem gedacht. Wenn ich also etwa 0*3 zurückzuverwandcln hätte, schreibe ich einfach und erhalte sofort -g-. Ebenso bei 0-6, was also |- ergibt. Der reinperiodische Bruch ') Die Ableitung der Rückverwandlungsformeln ist für unsere Zwecke zu langwierig.
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•7AQ0Q 0-076923 müßte 9999~99 angeschrieben werden, was nach Kürzung ^ liefert. Allerdings müssen wir mit unserer ,,Zimmermannsregel“ etwas vorsichtig sein,
 
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