Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 068c»

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:2. Beide laufen ganzzahlig von m um je eins fallend bis 0 und von da an als Minuszahlcn dem Absolutwert nach steigend bis <math> -\infty </math>.
:Wir wollen aber nicht zu tief dringen und nur noch ein ganz eigentümliches, aber sehr häufig verwendetes System zeigen, nach dem wir sogar „alternierende“ Reihen gewinnen können. Das sind Reihen, bei denen das Vorzeichen systematisch abwechselt. Versuchen wir etwa die berühmte Leibniz-Reihe
:<math> \textstyle \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots </math>
:für eine beliebige aber gerade Anzahl von Gliedern anzuschreiben. Und zwar als SumrnierungsbefehlSummierungsbefehl. Wir verwirklichen unsere Absicht durch folgenden Ansatz: 2n Näherungswert für ^-JL-(—i)**1
:Näherungswert für <math> \frac{\pi}{4} = \sum_{\nu=1}^{2n} \frac{1}{2\nu - 1}(-1)^{\nu +1} </math>
:und wollen nun erforschen, wie unsere algorithmische Maschine funktioniert:
:1. Glied:
:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 1)-1}(-1)^{1+1} = \frac{1}{1} \cdot (-1)^2 = +1</math>
:2. Glied:
:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 2)-1}(-1)^{2+1} = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = - \frac{1}{3}</math>
:3. Glied:
:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 3)-1}(-1)^{3+1} = \frac{1}{5} \cdot (-1)^4 = + \frac{1}{5}</math>
:4. Glied:
:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 4)-1}(-1)^{4+1} = \frac{1}{7} \cdot (-1)^5 = - \frac{1}{7}</math>
:usw.
:2n-tes Glied:
:<math> \textstyle \frac{1}{(2 \cdot 2n)-1}(-1)^{2n+1} = \frac{1}{4n-1} (-1)^{2n+1} = - \frac{1}{4n-1}</math>.
 
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l , l _ii 4 1 3 7 '
 
 
 
—4n —1 :Wir erhalten unfehlbar genau die Leibniz-Reihe. Es muß nur noch bemerkt werden, daß 2n der Ausdruck für eine gerade Zahl ist. Denn man kann ein ganzzahliges n (und ein anderes kommt hier nicht in Betracht) wählen wie man will, so muß es, mit zwei multipliziert, eine gerade Zahl ergeben. Ist n=2, dann ist 2n=4. Ist n=27, dann ist 2n=54 usw. Deshalb ist 2n+l, das sich beim 2n-ten Glied als Potenzanzciger ergibt, eine ungerade Zahl. Auch dies paßt vortrefflich in unserem Algorithmus, da ja alle „geraden“ Glieder ungerade Anzeiger haben, etwa das 4. Glied den Anzeiger 5. Unser Zauberzeichen hat also klaglos funktioniert, und wir haben dabei noch die Genugtuung erlebt, zu beobachten, wie man die scheinbar durch ein Zeichen unausdrückbare Bedingung des regelmäßigen Vorzeichenwechsels einfach dadurch in den Algorithmus eingliederte, daß man eine Eigenschaft der Potenzen benützte. Die Potenzen negaliver Zahlen ergeben ja bei geraden Anzeigern stets Plusund bei ungeraden Anzeigern stets Minuswerte1). Da
 
 
 
 
 
für eine beliebige aber gerade Anzahl von Gliedern anzuschreiben. Und zwar als Sumrnierungsbefehl. Wir verwirklichen unsere Absicht durch folgenden Ansatz: 2n Näherungswert für ^-JL-(—i)**1
und wollen nun erforschen, wie unsere algorithmische Maschine funktioniert:
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1. Glied: (2.11)_1 (-!)'+'= -{-•(-1)' = + 1
2-Glied: Ta-SFT1 )2+1 = t• (-1 )3=- T
4-Glied: (2-4)-lt-1)<+1 = f,(1),= -T usw. 2n-tes Glied: —r (- l)2n+1 {- l)2n+1 = (2-in)—1 4 ' 4n —1v '
~
—4n —1 Wir erhalten unfehlbar genau die Leibniz-Reihe. Es muß nur noch bemerkt werden, daß 2n der Ausdruck für eine gerade Zahl ist. Denn man kann ein ganzzahliges n (und ein anderes kommt hier nicht in Betracht) wählen wie man will, so muß es, mit zwei multipliziert, eine gerade Zahl ergeben. Ist n=2, dann ist 2n=4. Ist n=27, dann ist 2n=54 usw. Deshalb ist 2n+l, das sich beim 2n-ten Glied als Potenzanzciger ergibt, eine ungerade Zahl. Auch dies paßt vortrefflich in unserem Algorithmus, da ja alle „geraden“ Glieder ungerade Anzeiger haben, etwa das 4. Glied den Anzeiger 5. Unser Zauberzeichen hat also klaglos funktioniert, und wir haben dabei noch die Genugtuung erlebt, zu beobachten, wie man die scheinbar durch ein Zeichen unausdrückbare Bedingung des regelmäßigen Vorzeichenwechsels einfach dadurch in den Algorithmus eingliederte, daß man eine Eigenschaft der Potenzen benützte. Die Potenzen negaliver Zahlen ergeben ja bei geraden Anzeigern stets Plusund bei ungeraden Anzeigern stets Minuswerte1). Da
*) Folgt aus den Regeln der „Befehlsverknüpfung“. Etwa ist (-a)3 = (-a)-(-a)-(-a) und (-a)«=(-a)•(— a)-(— a)-(— a)-(— a)-(— a). Kommt aber das Minus in einer Multiplikation in gerader Zahl vor, so ergibt sich Plus für das Resultat, sonst Minus.
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