Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 114c»

:Unter Permutation kann man zweierlei verstehen. Erstens eine vollendete Umstellung der Elemente, wie etwa 1243 eine Permutation der Ausgangspermutation 1234. ist. Man kann aber auch die Tätigkeit des Umstellens, also „das Permutieren“, als Permutation bezeichnen, und zwar den Akt des Überganges von einer Zusammenstellung zur anderen. In diesem zweiten Sinne faßt die Gruppentheorie den Begriff Permutation auf und nennt ihn auch Substitution im weiteren Sinne des Wortes. Eine Gruppierung wird für eine andere substituiert, untergestellt, an deren Stelle gesetzt, die einzelnen Übergänge oder Permutationen oder Substitutionen, oder wie man diese Umstellungen nennen mag, werden nun als Elemente der Permutationsgruppe aufgefaßt, wobei auch identische Permutationen vorkommen können, etwa 123 geht wieder in 123 über. Nun können zwei Permutationen der nämlichen Ziffern etwa 123, das in 312 übergegangen ist, und 123, das in 132 verwandelt wurde, miteinander in gruppentheoretischem Sinne dadurch verknüpft werden, daß sie nacheinander ausgeführt werden. Die erste Permutation ersetzt 1 durch 3, die zweite 3 durch 2, die beiden, wenn man sie nacheinander ausführt, also 1 durch 2. Weiters wird 2 durch 1 und bei der zweiten 1 durch 1, also schließlich 2 durch 1 ersetzt. Schließlich 3 durch 2 und 2 durch 3, also 3 durch 3. Das Ergebnis dieser „Verknüpfung“ ist neuerlich ein Element der Gruppe, nämlich wieder eine Permutation von 123, nämlich 213. In ähnlicher Art kann man fortfahren und kann dabei noch durch eine geeignete Schreibweise den Vorgang einfacher, sicherer und durchsichtiger gestalten. Die Erörterung der Einzelheiten würde unseren Rahmen weitaus überschreiten und wir verweisen auf die in der Sammlung Göschen erschienene Darstellung der Gruppentheorie von Dr. Ludwig Baumgartner, in der man weitere Quellennachweise findet. Wir stellen nur fest, daß sich nach unseren Andeutungen auch aus Permutationen echte Gruppen bilden lassen, die sämtliche Gruppeneigenschaften besitzen. Nun untersucht Evariste Galois - und dies der Zweck dieser Ausführungen -- die Permutationen der Koeffizienten von beliebigen Gleichungen und erzeugt dadurch aus einer Gleichung eine ganze Gruppe von Gleichungen. Die Gruppen von Substitutionen oder Permutationen werden weiters darauf geprüft, ob sich aus ihnen Untergruppen gewinnen lassen. Diese Überprüfung ist der Hauptzweck des ganzen Beginnens. Denn eine solche Untergruppe kann ohneweiters eine lösbare Form einer Gleichung darstellen oder beinhalten. Wenn weiters noch entdeckt werden kann, wie sich die Hauptgruppe mittels sogenannter Nebenkomplexe aus einer bestimmten Untergruppe zusammensetzen laßt, dann ist das Problem gelöst. Wir wiederholen etwas deutlicher und konkreter: Der erste Schritt ist die Bildung der Permutationsgruppe aus den Koeffizienten der vorgelegten Gleichung. Der zweite die Zerfallung in Untergruppen, von denen eine oder die andere durch Wegfall (Nullwerdung) von Koeffizienten auf eine höchstens biquadratische Gleichung führt. Der dritte Schritt ist der Versuch, aus dieser Untergruppe mittels gewisser Nebenkomplexe die Hauptgruppe zusammenzusetzen. Gelingt auch dieser, dann ist die Gleichung ''n''-ten Grades (wobei <math> n > 4 </math>) resolvierbar, d. h. schließlich auf solche Gleichungen reduzierbar, die durch Wurzelausziehen lösbar sind.