Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 114c»

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:Nun stieß man aber, speziell in der Mathematik, was uns ja wohlbekannt ist, stets wieder auf Mannigfaltigkeiten oder Mengen, die alles andre, nur nicht endlich sind. Gleichwohl müssen sie deshalb nicht unabzahlbar sein. Denn „Abzä,hlbarkeit“ ist keine Tätigkeit, die begrifflich an ein Ende gebunden ist. Zu jedem ''n'' in der Folge der natürlichen Zahlen läßt sich stets sofort ein <math> (n + 1) </math> denken und zu jedem <math> (n + 1) = m </math> wieder ein <math> (m + 1) </math> usf.
:Diese Unendlichkeit oder Beliebigfortsetzbarkeit oder potentielle Unendlichkeit haben wir ebenfalls bereits in sehr zahlreichen Spielarten kennengelernt. Wir können sie rein logisch als die sich aus dem Bildungsgesetz des Zählens ergebende Folgerung ansehen. Wir dürfen aber auch sowohl psychologisch als transzendental im Sinne Kants den Ursprung dieser potentiellen Unendlichkeit in der reinen Anschauung des Raumes und speziell der Zeit erblioken. Und wir wissen, daß bereits Zenon an manche Paradoxie stieß, die sich aus dieser Unendlichkeit ergab. Jede in Form einer Reihe gebildete Zahl, etwa eine Irrationalzahl, eine konvergierende Zahl auf Grund eines Exhaustionsbeweises oder gar der Aufbau des Kontinuums, gibt uns dasselbe Rätsel auf. Nun erweitert sich dieses Rätsel aber ebenso bei der Konvergenz wie beim Kontinuum sofort durch neue Aspekte. Wir sehen nämlich in beiden Fällen gleichsam das Ergebnis des Aufbaues aus unendlich vielen Teilen vor uns und halten dadurch in der Reihensumme oder in der geometrischen Figur das aktual oder vollendet oder abgeschlossen Unendliche, kurz eine tatsächlich unendliche Menge in der Hand. Wir deuten nur an, daß die Angriffe auf diese Form der Darstellung, wie wir sie eben gaben, nie verstummen werden. Man wird uns sofort entgegenhalten, daß ein „Teil“ nur dann unendlich klein sein kann, wenn die Aufsummierung unendlich vieler solcher Teile stets unter der Einheit bleibt, d. h. als Ergebnis weniger als die denkbar kleinste wirkliche Einheit liefert. Wenn wir auch diesen Standpunkt als relativ berechtigt anerkennen, so halten wir den allzu strengen Logikern entgegen, daß man durch derartige Strenge notwendigerweise in ein Wirrsal von Unendlichkeiten gerät, in dem man schließlich erstickt oder zumindest erkenntnismäßig steril wird. Der menschliche Verstand nimmt in Unendlichkeitsfragen nämlich einen ganz anderen Standpunkt ein als die Intuition. Der Verstand müßte alle Infinitesimaliiberlegungen höherer Art überhaupt ablehnen und dürfte sich auch nicht durch das Postulat eines „Grenzbegriffes“ oder „Grenziiberganges“ aus der logischen Schlinge zu ziehen versuchen. Für den Verstand gibt es nichts Erschütternderes als die uns schon bekannte Feststellung Leibnizens, daß in einer konvergenten Reihe wie
:<math> \textstyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... </math>
:unmöglicherweise jemals ein Glied auftritt, das unendlich klein wäre. Jedes der Glieder muß endlich groß bleiben, wenn es auch noch so winzig ist. Also müßte die konvergente Reihe - wohl die krasseste „contradictio in adiecto“ - divergent sein, denn Endliches, unendlichmal zueinander addiert, ist selbstverständlich unendlich. Es ist aber ebenso „selbstverständlich“ das Gegenteil der Fall, wozu jedoch mehr die Intuition als die Logik verhilft, da die Logik trotz aller apagogischen Beweise zumindest einwenig unsicher bleibt.
:Nun Wissen wir weiter, daß schon die Scholastik, vor allem Bradwardinus, Thomas von Aquino und Cusanus tief in diese Antinomien eingedrungen sind, die trotz aller Beteuerungen der modernsten Grundlagenforschung, Logik, Logistik und der „Als-ob-Philosophie“ für den gänzlich undogmatischen und unerbittlichen Betrachter nach Wie vor das „Credo, quia absurdum“ der Mathematik bilden und - wie wir hinzufügen - bilden sollen, da erst aus diesem metalogischen Gesichtswinkel heraus sich völlig neue Erkenntnislandschaften blickmäßig erschließen.
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:<math> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \;...... \;\infty </math>
:<math> 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, \;...... \;\infty </math>
:<math> 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, \;...... \;\infty </math>
:<math> 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \;...... \;\infty </math>
:<math> 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, \;...... \;\infty </math>
 
 
 
:Cantor führte für diese Tatsache, daß das „Größer“ und
„Kleiner“, der „Teil“ und das „Ganze“ keinen Sinn mehr
haben, den Ausdruck „Machtigkeit einer Menge“ ein und