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Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 114c»

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Línea 56:
:Am Ende des Briefes stehen Worte, die in ihrer schlichten Größe so erschütternd sind, daß wir sie hier wiedergeben müssen. Sie lauten: „Aber ich habe keine Zeit mehr und meine Ideen über dieses unendlich große Gebiet sind noch nicht gut entwickelt. Du wirst diesen Brief in der ,Revue encyclopédique“ abdrucken lassen. Ich habe es oft in meinem Leben gewagt,Vorschläge vorprellen zu lassen, deren ich noch nicht sicher war; aber alles, was ich geschrieben habe, ist seit beinahe einem Jahr bloß in meinem Kopf, und es ist zu sehr in meinem Interesse, mich nicht geirrt zu haben, damit man mich nicht verdächtigen kann, Theoreme auszusagen, deren vollkommenen Beweis ich nicht haben Würde. Du wirst Jacobi oder Gauß bitten, ihre Meinung zu sagen, nicht über die Wahrheit, sondern über die Wichtigkeit meiner Theoreme. Nach all dem, so hoffe ich, wird es Leute geben, die darin ihren Vorteil finden werden, diesen Wirrwarr zu entziffern. Ich umarme dich in hinströmender Liebe ...“
:Das sind die letzten Worte, die der allzu früh Vernichtete in die Ewigkeit sprach. Sein Gesamtwerk ist in der Ausgabe von Picard ein schmales Bändchen von 61 Seiten. Seine Tat aber war ein so unermeßlicher Vorstoß zur Verallgemeinerung der Mathematik, daß Galois mit Recht neben Abel als Schöpfer der ersten Grundlagen moderner Algebra genannt werden muß.
:Wir haben schon erwälınterwähnt, daß die Gruppentheorie speziell von Jordan ausgebaut wurde. Inzwischen aber setzten sich mehrere Entwicklungsreihen früherer Entdeckungen fort, die der Verallgemeinerung der Algebra neue Waffen lieferten. Eine dieser Entdeckungen haben wir ebenfalls schon erwähnt. Nämlich die Determinanten. In einem Brief an den Marquis de l'Hospital hatte Leibniz das Prinzip dieses großartigen Algorithmus klar und eindeutig ausgesprochen, wobei er sich der vollen Tragweite seiner Tat genau bewußt gewesen sein muß. Denn am Ende des Briefes schrieb er: „Man sieht hier, auf was ich schon gelegentlich hingewiesen habe, daß die Vervollkommnung der Algebra von der Kombination abhängt.“ Gleichwohl hat Leibniz entweder aus Zeitmangel oder aber weil ihm die Unendlichkeitsanalysis dringlicher und wichtiger schien, die vielversprechenden Anfänge seiner algebraisch-kombinatorischen Entdeckung nicht ausgebaut, und seine Beteiligung an diesen Gegenständen geriet so gründlich in Vergessenheit, daß Gabriel Cramer im Jahre 1750 dieselbe Entdeckung noch einmal machte und insofern mit Recht als der eigentliche Entdecker der Determinanten gilt, da alle Späteren auf seinen Grundlagen Weiterbauten. Vor allem Laplace, Lagrange, Gauß und Cauchy, Welch letzterer auch den Ausdruck „Determinante“ zum ersten Male gebraucht, ihn jedoch merkwürdigerweise Wieder fallen läßt und mit dem Namen „fonction alternée“ vertauscht.
:Erst Carl Gustav Jacob Jacobi hat in seinem im Jahre 1841 erschienenen Werk „Über die Bildung und die Eigenschaften der Determinanten“ diese mathematische Kategorie endgültig zum Gemeingut der Mathematiker gemacht.
:Nun hat spater ein englischer Mathematiker, Sylvester, der die Theorie der Determinanten zur Theorie der Invarianten verallgemeinerte, einmal gesagt: „Was ist im Grunde genommen die Theorie der Determinanten? Sie ist eine über der Algebra stehende Algebra, ein Rechnungsverfahren, das uns in den Stand setzt, die Ergebnisse der algebraischen Operationen zu kombinieren und dieselben vorauszusagen, ähnlich wie wir uns mit Hilfe der Algebra der Ausführung der besonderen Operationen der Arithmetik entheben können.“
Línea 147:
:Eine Kompagnie Soldaten ist eine Menge von Soldaten, die, wenn sie richtig ausgerüstet sind, zusammen eine „äquivalente“ Menge von Gewehren, Stiefelpaaren, Stahlhelmen und eine höhere Menge von Patronen besitzen. Jede Patrone enthält eine Menge von Pulverkörnern, die neuerlich größer ist als die Anzahl der Patronen. Das alles sind„endliche“ und daher auch selbstverständlich „abzä,hlbare“ Mengen. Jeder Teil einer solchen Menge ist kleiner als die ganze Menge, und es gibt dabei überhaupt die Begriffe des Teils und des Ganzen, des Größer und des Kleiner.
:Nun stieß man aber, speziell in der Mathematik, was uns ja wohlbekannt ist, stets wieder auf Mannigfaltigkeiten oder Mengen, die alles andre, nur nicht endlich sind. Gleichwohl müssen sie deshalb nicht unabzahlbar sein. Denn „Abzä,hlbarkeit“ ist keine Tätigkeit, die begrifflich an ein Ende gebunden ist. Zu jedem ''n'' in der Folge der natürlichen Zahlen läßt sich stets sofort ein <math> (n + 1) </math> denken und zu jedem <math> (n + 1) = m </math> wieder ein <math> (m + 1) </math> usf.
:Diese Unendlichkeit oder Beliebigfortsetzbarkeit oder potentielle Unendlichkeit haben wir ebenfalls bereits in sehr zahlreichen Spielarten kennengelernt. Wir können sie rein logisch als die sich aus dem Bildungsgesetz des Zählens ergebende Folgerung ansehen. Wir dürfen aber auch sowohl psychologisch als transzendental im Sinne Kants den Ursprung dieser potentiellen Unendlichkeit in der reinen Anschauung des Raumes und speziell der Zeit erblioken. Und wir wissen, daß bereits Zenon an manche Paradoxie stieß, die sich aus dieser Unendlichkeit ergab. Jede in Form einer Reihe gebildete Zahl, etwa eine Irrationalzahl, eine konvergierende Zahl auf Grund eines Exhaustionsbeweises oder gar der Auf-Aufbau des Kontinuums, gibt uns dasselbe Rätsel auf. Nun erweitert sich dieses Rätsel aber ebenso bei der Konvergenz wie beim Kontinuum sofort durch neue Aspekte. Wir sehen nämlich in beiden Fällen gleichsam das Ergebnis des Aufbaues aus unendlich vielen Teilen vor uns und halten dadurch in der Reihensumme oder in der geometrischen Figur das aktual oder vollendet oder abgeschlossen Unendliche, kurz eine tatsächlich unendliche Menge in der Hand. Wir deuten nur an, daß die Angriffe auf diese Form der Darstellung, wie wir sie eben gaben, nie verstummen werden. Man wird uns sofort entgegenhalten, daß ein „Teil“ nur dann unendlich klein sein kann, wenn die Aufsummierung unendlich vieler solcher Teile stets unter der Einheit bleibt, d. h. als Ergebnis weniger als die denkbar kleinste wirkliche Einheit liefert. Wenn wir auch diesen Standpunkt als relativ berechtigt anerkennen, so halten wir den allzu strengen Logikern entgegen, daß man durch derartige Strenge notwendigerweise in ein Wirrsal von Unendlichkeiten gerät, in dem man schließlich erstickt oder zumindest erkenntnismäßig steril wird. Der menschliche Verstand nimmt in Unendlichkeitsfragen nämlich einen ganz anderen Standpunkt ein als die Intuition. Der Verstand müßte alle Infinitesimaliiberlegungen höherer Art überhaupt ablehnen und dürfte sich auch nicht durch das Postulat eines „Grenzbegriffes“ oder „Grenziiberganges“ aus der logischen Schlinge zu ziehen versuchen. Für den Verstand gibt es nichts Erschütternderes als die uns schon bekannte Feststellung Leibnizens, daß in einer konvergenten Reihe wie
:<math> \textstyle frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{16} + ... </math>
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:unmöglicherweise jemals ein Glied auftritt, das unendlich klein wäre. Jedes der Glieder muß endlich groß bleiben, wenn es auch noch so winzig ist. Also müßte die konvergente Reihe - wohl die krasseste „contradictio in adiecto“ - divergent sein, denn Endliches, unendlichmal zueinander addiert, ist selbstverständlich unendlich. Es ist aber ebenso „selbstverständlich“ das Gegenteil der Fall, wozu jedoch mehr die
 
 
 
 
 
bau des Kontinuums, gibt uns dasselbe Rätsel auf. Nun
erweitert sich dieses Rätsel aber ebenso bei der Kon-
vergenz wie beim Kontinuum sofort durch neue Aspekte.
Wir sehen nämlich in beiden Fällen gleichsam das Er-
gebnis des Aufbaues aus unendlich vielen Teilen vor uns
und halten dadurch in der Reihensumme oder in der
geometrischen Figur das aktual oder vollendet oder ab-
geschlossen Unendliche, kurz eine tatsächlich unendliche
Menge in der Hand. Wir deuten nur an, daß die Angriffe
auf diese Form der Darstellung, wie wir sie eben gaben,
nie verstummen werden. Man wird uns sofort entgegen-
halten, daß ein „Teil“ nur dann unendlich klein sein
kann, wenn die Aufsummierung unendlich vieler solcher
Teile stets unter der Einheit bleibt, d. h. als Ergebnis
weniger als die denkbar kleinste wirkliche Einheit liefert.
Wenn wir auch diesen Standpunkt als relativ berechtigt
anerkennen, so halten wir den allzu strengen Logikern
entgegen, daß man durch derartige Strenge notwendiger-
weise in ein Wirrsal von Unendlichkeiten gerät, in dem
man schließlich erstickt oder zumindest erkenntnismäßig
steril wird. Der menschliche Verstand nimmt in Unend-
lichkeitsfragen nämlich einen ganz anderen Standpunkt
ein als die Intuition. Der Verstand müßte alle Infinitesi-
maliiberlegungen höherer Art überhaupt ablehnen und
dürfte sich auch nicht durch das Postulat eines „Grenz-
begriffes“ oder „Grenziiberganges“ aus der logischen
Schlinge zu ziehen versuchen. Für den Verstand gibt
es nichts Erschütternderes als die uns schon bekannte
Feststellung Leibnizens, daß in einer konvergenten Reihe
wie 1 le- -|- 1 -le A 1 -l-~ unmöglicherweise jemals
2 4 8 16 ° ° °
ein Glied auftritt, das unendlich klein wäre. Jedes der
Glieder muß endlich groß bleiben, wenn es auch noch so
winzig ist. Also müßte die konvergente Reihe -- wohl
die krasseste „contradictio in adiecto“ -- divergent sein,
denn Endliches, unendlichmal zueinander addiert, ist
selbstverständlich unendlich. Es ist aber ebenso „selbst-
verständlich“ das Gegenteil der Fall, wozu jedoch mehr die
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???6▼
 
 
Intuition als die Logik verhilft, da die Logik trotz aller
apagogischen Beweise zumindest einwenig unsicher bleibt.
 
:Nun Wissen wir weiter, daß schon die Scholastik, vor
allem Bradwardinus, Thomas von Aquino und Cusanus
tief in diese Antinomien eingedrungen sind, die trotz
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gänzlich undogmatischen und unerbittlichen Betrachter
nach Wie vor das „Credo, quia absurdum“ der Mathe-
matik bilden und -- Wiewie Wirwir hinzufügen - bilden sollen,
da erst aus diesem metalogischen Gesichtswinkel heraus
sich völlig neue Erkenntnislandschaften blickmäßig er-
schließen.
 
:Gerade die stolzen und harten logischen Gefilde der
Mengenlehre und der Gruppentheorie gehören zu diesen
- man erschrecke nicht - metalogischen Gegenden.
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sehen die Logik entsprechend „streckt“ und hierauf
triumphierend verkündet, die neuen Lehren vertrügen
sich glänzend mit der Logik. Dadurch, und Wirwir Werdenwerden
darüber im Schlußkapitel noch eingehend sprechen, ist
das neunzehnte Jahrhundert das „Sä.kulum„Säkulum der dehn-
baren Maßstäbe“ geworden. Was für einen logischen
Sinn, um zur Mengenlehre zurückzukehren, kann die
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sein kann als das Ganze? Für all das, was man billiger-
Weise unter Logik verstehen kann, ist das ein kompletter
Unsinn, ja ein Wahnsinn und Widersinn*). Solche Mög-
*) :(<small>Man sagt bei unendlichen Mengen „Äquivalenz“ und
„Yerschıedene„Verschiedene Mächtigkeit“, um die Begriffe der Gleich-
heıtheit bzw. des Größer und Kleiner zu umgehen, das sind
aber, wenn man Will, bloße Alibiversuche der Logik-
Streckung.</small> )
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Solche Mög-
 
 
▲294
 
 
▲ ???6
 
 
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a„;ı;~+a„_1x"'_1 + .. -|-alx1+a„x° =0
abzählbar, was man sehr leicht beweisen kann.
Das eigentliche Kreuz der Mengenlehre bildet bis heute
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scharfe Logisierung der Mathematik und die Mathemati-
sierung der Logik zur Vertiefung unserer Wissenschaft
ınachtigmächtig beigetragen haben, sollen nicht die Auswüchse,
sondern eher die Früchte dieses Wachstumsprozesses be-
trachtet Werden. Wir müssen noch einige Provinzen des
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