Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 114c»
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:<math> y = - \frac{13}{-14} = \frac{13}{14} </math>
:was sich bei Einsetzen in obige Gleichungen als richtig erweist.
:Wir wollen nur noch einige allgemeine Worte beifügen. Aus dem Begriff und der Anwendung der Determinanten ist es möglich, die Auflösung eines Gleichungssystems von beliebig vielen Unbekannten mit einem einzigen Griff einfach hinzuschreiben. Es muß sich dabei bloß um lineare Gleichungen, also Gleichungen handeln, bei denen sämtliche Unbekannten bloß in der ersten Potenz vorkommen. Weiters aber Wird durch die Operation mit Determinanten die tiefste Baustruktur der behandelten Gleichungssysteme enthüllt und es ergibt sich ein Übergang zu den von uns schon erwahnten Permutationsgruppen und Weiters zur allgemeinen Gruppentheorie und von da zur sogenannten Invariantentheorie. Die Determinante
:Auf jeden Fall hat mit diesen Errungenschaften der Algorithmus und die Notation eine Höhe der Verallgemeinerung erreicht, die kaum mehr zu überbieten ist. In der Schreibung Kroneckers wird eine Determinante ''n''-ter Ordnung einfach <math> | a_{ik} | </math> geschrieben, wobei <math> i </math> und <math> k </math> von 1, 2, 3 ... bis ''n'' laufen. Ein Gleichungssystem von ''n''-Gleichungen mit ''n''-Unbekannten aber schreibt man heute einfach
:<math> \sum_k a_{ik}x_k = c_i </math>
:(wobei <math> i, k, = 1, 2, 3 ... n </math> ).
:Das Unheimliche ist natürlich nicht, daß man so schreibt, obwohl das Studium von Werken, die sich einer derartigen Stenographie bedienen, schon ein unglaublich geschärftes mathematisches Auge und Ohr erfordert.
:Das eigentliche Wunder ist vielmehr die Tatsache, daß man mit derartigen Denkmaschinen, die in sich ganze mathematische Welten bergen, ruhig rechnet, als ob es sich um einfache Zahlen handelte. Wer den Kalkül kennt und beherrscht, der rechnet mit sämtlichen denkbaren Gleichungen und Gleichungsgruppen eines bestimmten Koordinatensystems so bequem und sicher wie mit irgendeinem anderen Algorithmus. Und er ist dadurch sogar befähigt, vorauszusagen, was irgendeine Gruppe von Gleichungssystemen in einem anderen Koordinatensystem treiben wird. Und er weiß, welche Eigenschaften bei dieser Transformation sich ändern und welche beharren Werden. Solche Voraussagen, fast möchte man sie Prophezeiungen nennen, sind unter Umständen für die Physik von grundlegender Bedeutung, darüber hinaus aber für die gesamte Mathematik, da sie ganze Weltsysteme von Gleichungen miteinander verbinden oder voneinander lösen können. Kurz, mit der Gruppen- und der Determinantentheorie, der sich plötzlich auch noch die projektive Geometrie anschloß (die aus einer ursprünglichen Opposition zur Algebraisierung heraus entstand, um schließlich selbst zur Algebra zu werden), hat sich eine allgemeinste Theorie der Formen entwickelt, in der die Abstraktion kaum eine Grenze findet. Irgendwie ist damit der Leibnizsche Königsgedanke einer obersten Kabbala, eines allgemeinsten Kalküls, seiner Verwirklichung nähergerückt.
:Zu all dem gesellte sich aber noch eine weitere Disziplin, die auch in irgendeiner Art als „Übermathematik“ angesprochen werden kann: die Mengenlehre. Sie ist vielleicht von allen Gegenständen dieses Kapitels am deutlichsten darstellbar, obgleich die Schwierigkeiten, die in ihrem Ausbau liegen, fast unüberwindlich sind.
:Um uns genau zu orientieren, müssen wir räumlich, zeitlich und begrifflich unseren Zauberteppich in weitestem Maß in Anspruch nehmen, da die Mengenlehre fast an alle Gegenstände der Mathematik rührt. „Menge“ ist eine Denkkategorie wie Zahl, Anzahl, Größe, Grad oder Gruppe.
:Wir setzen die klassische Definition Georg Cantors, des Hauptbegründers der Mengenlehre, an den Beginn: „Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (die die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen.“
:Eine Kompagnie Soldaten ist eine Menge von Soldaten, die, wenn sie richtig ausgerüstet sind, zusammen eine „äquivalente“ Menge von Gewehren, Stiefelpaaren, Stahlhelmen und eine höhere Menge von Patronen besitzen. Jede Patrone enthält eine Menge von Pulverkörnern, die neuerlich größer ist als die Anzahl der Patronen. Das alles sind„endliche“ und daher auch selbstverständlich „abzä,hlbare“ Mengen. Jeder Teil einer solchen Menge ist kleiner als die ganze Menge, und es gibt dabei überhaupt die Begriffe des Teils und des Ganzen, des Größer und des Kleiner.
:Nun stieß man aber, speziell in der Mathematik, was uns ja wohlbekannt ist, stets wieder auf Mannigfaltigkeiten oder Mengen, die alles andre, nur nicht endlich sind. Gleichwohl müssen sie deshalb nicht unabzahlbar sein. Denn „Abzä,hlbarkeit“ ist keine Tätigkeit, die begrifflich an ein Ende gebunden ist. Zu jedem ''n'' in der Folge der natürlichen Zahlen läßt sich stets sofort ein <math> (n + 1) </math> denken und zu jedem <math> (n + 1) = m </math> wieder ein <math> (m + 1) </math> usf.
:Diese Unendlichkeit oder Beliebigfortsetzbarkeit oder potentielle Unendlichkeit haben wir ebenfalls bereits in sehr zahlreichen Spielarten kennengelernt. Wir können sie rein logisch als die sich aus dem Bildungsgesetz des Zählens ergebende Folgerung ansehen. Wir dürfen aber auch sowohl psychologisch als transzendental im Sinne Kants den Ursprung dieser potentiellen Unendlichkeit in der reinen Anschauung des Raumes und speziell der Zeit erblioken. Und wir wissen, daß bereits Zenon an manche Paradoxie stieß, die sich aus dieser Unendlichkeit ergab. Jede in Form einer Reihe gebildete Zahl, etwa eine Irrationalzahl, eine konvergierende Zahl auf Grund eines Exhaustionsbeweises oder gar der Auf-
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