Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 114c»
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:<math> \; \vdots \quad \vdots \quad \; \vdots \quad \vdots \quad ...... \quad \vdots </math>
:<math> n1, n2, n3, n4, \; ...... nn \; </math>
:Auf unsere Gleichungen übertragen, heißt etwa <math> a_{53} </math> (''a'' fünf drei), daß wir den Koeffizienten vor uns haben, der in der fünften Gleichung des Systems der dritten Unbekannten <math> x_3 </math> zugeordnet ist.
:Dies vorausgesetzt, wollen wir nun unsere beiden Gleichungen behandeln. Wenn wir jeweils eine der Unbekannten dadurch eliminieren, daß wir die erste Gleichung mit <math> a_{22} </math> und die zweite mit <math> -a_{12} </math> multiplizieren, bzw. die erste mit <math> a_{21} </math> und die zweite mit <math> -a_{11} </math> und hierauf entsprechend die beiden Gleichungen addieren, dann erhalten Wir als „Lösungssystem“ für die beiden Gleichungen die Werte:
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:Hierbei fällt uns bereits auf, daß im Nenner in beiden Fallen dieselbe Größe, nämlich al1a22 -al2a21 steht. Ware etwa dieser Ausdruck gleich Null, dann würden sich keine Lösungen für die Gleichungen ergeben. Daher ist dieser Ausdruck bestimmend für das Gleichungssystem, determiniert es, ist seine „Determinante“. Das ist aber bloß eine der Aufgaben der Determinantentheorie und vorläufig nur eine Spracherkärung. Erst eine eigene Schreibweise und die Erkenntnis, daß die Determinante einen rein kombinatorischen Charakter hat, wurde der Schlüssel für alles weitere. Man erfand also als Schreibung dieser höchst wichtigen Größe die Darstellung
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:die, wie jeder solche Operationsbefehl, ihre eigene Regel der Behandlung hat. Man multipliziert namlich in unserem Falle einfach die Diagonalen, wobei man von der ersten Diagonale <math> a_{11}a_{22} </math> die zweite <math> a_{12}a_{21} </math> subtrahiert.
:Auf nähere Einzelheiten können wir nicht eingehen. Wir teilen deshalb nur mit, daß eine ganze Algebra der Determinanten möglich wurde, bei der solche zwischen Strichen stehende Schemata wie neue „Überzahlen“ behandelt werden und addiert, subtrahiert, multipliziert, sogar differentiiert werden können. Außerdem gibt es
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wann eine Determinante Null wird, was weiter heißt, daß
das betreffende Gleichungssystem keine Lösungen hat.
:Damit der Leser aber doch Wenigstens oberflächlich
das praktische Funktionieren der Determinanten als
Mittel zur Gleichungslösung sieht, Wollen wir ein höchst
einfaches konkretes Zahlenbeispiel geben. Wir hätten die
beiden Gleichungen
:<math> 3x + 4y + 1 = 0 </math>
:und
:<math> 5x + 2y + 6 = 0 </math>
mittels Determinanten zu lösen. Wenn wir so weit geübt
sind, uns die richtige Reihenfolge des allgemeinen Index-
schemas vorzustellen, und wenn wir bedenken, daß die
Koeffizienten 3 und 4 der ersten Gleichung
und die Koeffizienten 5 und 2 der zweiten Gleichung
und
minante
lauten muß und als Ergebnis
<math> 3 \cdot 2 - 4 \cdot 5 = - 14 </math>
liefert.
:Das ist aber noch nicht mehr als die
Gewähr, daß das System lösbar ist. Die endgültigen
Lösungen sind
???3
:und
???4
da ja auch die Zähler als Determinanten gewonnen werden
können, und zwar wieder nach bestimmten Gesetzen, die
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???6
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