Diferencia entre revisiones de «Ecuación cuadrática/Propiedades de las raíces»
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= Partes de la Raíz =
En el caso de una ecuaciòn cuadràtica, al ser de segundo grado,entonces tendremos soluciones que pueden ser raices cuadradas
Una raìz es la busqueda de una expresión que al mulitiplicarse por sí mismo nos da una o la solución a la ecuación.
El indice del radical en caso de no tener automàticamente es indice 2 o al cuadrado
En [[matemática]], la '''radicación''' de orden ''n'' de un [[número]] ''a'' es cualquier número ''b'' tal que <math>\scriptstyle b^n = a</math>, donde ''n'' se llama índice u orden, ''a'' se denomina radicando, y ''b'' es una '''raíz enésima''', por lo que se suele conocer también con ese nombre.<ref>Taylor- Wade. ''Matemáticas básicas con vectores y matrices'' Editorial Limusa- Wiley, S.A. México</ref> La notación a seguir tiene varias formas:
{{ecuación|<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math>.|1}}
Para todo ''n'' natural, ''a'' y ''b'' reales positivos, se tiene la equivalencia:<ref name="Hasser">Haaser-La Salle-Sullivan, ''Análisis matemático 1. Curso de introducción'', Editorial Trillas ,México D. F. (1980),pg. 29 </ref>
{{ecuación|<math>a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}</math>.|2}}
La raíz de orden dos se llama [[raíz cuadrada]] y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: <math>\sqrt{x}</math> en vez de <math>\sqrt[2]{x}</math>.La raíz de orden tres se llama [[raíz cúbica]].
= Raíz cómo Potencia =
== Propiedades ==
Como se indica con la igualdad de la raíz <math>\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}</math>, la radicación es en realidad otra forma de expresar una [[potenciación]]: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las [[Potenciación#Propiedades de la potenciación|propiedades]] de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.
=== Raíz de un producto ===
{{teorema|1=La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.
:<math>\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}</math>
}}
;Ejemplo:
*<math>\sqrt{3^2 \cdot 2^4}</math> = <math>\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}</math> = <math>\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.</math>
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
:<math>\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.</math>
=== Raíz de un cociente ===
{{teorema|1=La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
:<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}</math> = <math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}</math>
}}
;Ejemplo
*<math>\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}</math> = <math>\frac{3}{2}.</math>
Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
;Ejemplos
*<math>\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}}</math> = <math>\frac{x}{y^3}.</math>
*<math>(\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8</math> = <math>\sqrt[4]{a^{16}}.</math>
=== Raíz de una raíz ===
{{teorema|1=Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.
:<math>\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}</math> = <math>\sqrt[n \cdot m]{a}.</math>
}}
;Ejemplo
: <math>
\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}} =
\sqrt[9 \cdot 3]{5} =
\sqrt[27]{5}
</math>
=== Potencia de una raíz ===
{{teorema|1=Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.
:<math>\left(\sqrt[n]{a} \right)^m =\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}</math>
}}
;Ejemplo: si ''m'' = 3 y ''n'' = 4:
: <math>
\left(\sqrt[4]{x} \right)^3 =
\sqrt[4]{x^3} =
x^{\frac{3}{4}}
</math>
=== Otras propiedades ===
Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.
:<math> \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} = a^{\frac{m+n}{mn}} = \sqrt[m \cdot n]{{a}^{m +n}}</math>.
= Suma y Resta de Raíces =
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