Diferencia entre revisiones de «Ecuación cuadrática/Completación de cuadrados»
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== Procedimiento ==
=== Trinomio mónico ''x<sup>2</sup> + bx + c'' ===
{| class="wikitable"
! Descripción !! Procedimiento<br />Simbólico !! Ejemplo
|-
| Dado un polinomio de la forma
|| <math>P(x)=x^2 + bx + c</math>
|| <math>x^2 + 10x + 28</math>
|-
| Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de ''x'' entre 2
|| <math>P(x)=x^2 + bx { \color{Red} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 } + c</math>
|| <math>x^2 + 10x {\color{Red} + \left(\frac{10}{2}\right)^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} + 28</math>
|-
| Agrupando términos, se obtendrá un [[trinomio cuadrado perfecto]]
|| <math>P(x)={\color{Red} \left(x^2 + bx + \frac{b^2}{2^2} \right) } - \frac{b^2}{2^2} + c</math>
|| <math>{\color{Red} \left(x^2 + 10x + 25 \right) } - 25 + 28</math>
|-
| Factorizando (reduciendo) este trinomio a un [[binomio]] al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio (<math>\surd x^2=x</math>), que será el término izquierdo del binomio; (2) extrayendo la raíz cuadrada del tercer término del trinomio (<math>\surd ( \frac {b^2}{2^2} )=\frac {\surd b^2}{\surd 2^2 }=\frac {b}{2}</math>), que será el término derecho del binomio; (3) usando el signo del segundo término del trinomio (<math>+bx</math>) como el signo que separa los términos del nuevo binomio.
|| <math>P(x)={\color{Red}\left(x + \frac{b}{2}\right)^2} - \frac{b^2}{4} + c</math>
|| <math>{\color{Red}\left(x + 5\right)^2} - 3</math>
|}
'''Observación''': con respecto a la expresión resultante <math>{\left(x + \frac{b}{2}\right)^2} - \frac{b^2}{4} + c</math> puede continuarse simplificado/reduciendo. Un método es elevando al cuadrado ambos miembros, lo cual generará dos resultados, debido a la presencia de una raíz de índice par (en este caso cuadrada).
Así, <math>x^2 + bx + c = \left( x + h \right) ^2 + k=\left( x + \frac{b}{2} \right) ^2 + c - \frac{b^2}{4}</math>, donde <math>h = \frac{b}{2}</math> y <math>k = c - \frac{b^2}{4}</math>.
=== Polinomio de la forma ''ax<sup>2</sup> + bx + c'' ===
{| class="wikitable"
! Descripción !! Procedimiento<br />Simbólico !! Ejemplo
|-
| Dado un polinomio de la forma
|| <math>ax^2 + bx + c</math>
|| <math>3x^2 + 24x + 40</math>
|-
| Sacando a ''a'' como factor común, de los términos con ''x''
|| <math>{\color{Red}a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right)} + c</math>
|| <math>{\color{Red}3\left(x^2 + 8x\right)} + 40</math>
|-
| Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de ''x'' entre 2
|| <math>a\left( x^2 + \frac{b}{a}x {\color{Red} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 - \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 } \right) + c</math>
|| <math>3\left(x^2 + 8x {\color{Red}+ 16 - 16 } \right) + 40</math>
|-
| Acomodando términos, se obtendrá un [[trinomio cuadrado perfecto]]
|| <math>a\left( {\color{Red} x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 } - \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 \right) + c</math>
|| <math>3\left( {\color{Red} x^2 + 8x + 16 } - 16 \right) + 40</math>
|-
| Multiplicamos por el factor común ''a'', al término que<br />acabamos de restar, <math>- \left( \frac{b}{2a} \right) ^2</math>, para sacarlo del paréntesis
|| <math>a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} \right) {\color{Red} - \frac{ab^2}{4a^2} } + c</math>
|| <math>3\left(x^2 + 8x + 16 \right) {\color{Red} - 48 } + 40</math>
|-
| Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto
|| <math>a {\color{Red} \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} \right) } - \frac{ab^2}{4a^2} + c</math>
|| <math>3 {\color{Red} \left( x^2 + 8x + 16 \right) } - 48 + 40</math>
|-
| Reduciendo este trinomio a un [[binomio]] al cuadrado (con los términos ''x'' y el coeficiente de x dividido entre 2).
|| <math>a {\color{Red} \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 } - \frac{ab^2}{4a^2} + c</math>
|| <math>3 {\color{Red} \left( x + 4\right) ^2 } - 48 + 40</math>
|-
| Simplificando
|| <math>a \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 + c - \frac{b^2}{4a}</math>
|| <math>3 \left( x + 4\right) ^2 - 8</math>
|}
Así, <math>ax^2 + bx + c = a \left( x + h \right) ^2 + k</math>
donde <math>h = \frac{b}{2a}</math> y <math>k = c - \frac{b^2}{4a}</math>
== Ejemplos ==
| |||