Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 106c»

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:Noch vor diesem Untergang der klassischen Kultur erhoben sich zwei Mathematiker zu höherem geometrischen Flug. Aber auch sie waren nicht epochal, sondern vorwiegend sammelnd und rückschauend, obgleich beiden ein geniales Format nicht abgesprochen werden soll. Es waren Pappos und Proklos Diadochos. Eine Geschichte der Mathematik muß sich mit beiden befassen, da sie durchaus nicht eigener Gestaltung entbehrten. Die Geschichte würde auch den Arithmetiker Theon von Alexandrien und seine unglückliche Tochter Hypatia erwähnen, die als einzige Frau seit den Anfängen unsrer Wissenschaft in der Geschichte der Mathematik einen Platz verdient. Kaiser Julian der Abtrünnige hatte den Philosophenschulen Schutz gegen das von allen Seiten vordringende Christentum gewährt und die gebildeteren Stände waren noch durchaus nicht bekehrt. Auch Jahrzehnte nach dem Tode J ulians nicht. Hypatia war Heidin, stand aber wegen ihres hohen wissenschaftlichen Ranges gleichwohl in großem Ansehen beim Bischof Synesios von Ptolemais. Auch der kaiserliche Präfekt Orestes von Alexandria war ihr wohlgesinnt. Nun begab es sich, daß eben dieser Prafekt hierarchische Ansprüche des Bischofs Cyrillos zurückwies. Man verdächtigte Hypatia der Einflußnahme auf den Präfekten. Und eine Pöbelmenge riß sie in Stücke. Es war derselbe Großstadtmob Alexandriens, der etwa 20 Jahre früher, unter dem Deckmantel religiöser Gesinnung, nach dem Befehl des Theodosius, alle Tempel der Heiden zu zerstören, in blindem Plünderungstrieb den Serapistempel, die letzte Zufluchtsstätte der alexandrinischen Bibliothek, eingeäschert und bis zu den Grundmauern niedergerissen hatte.
:Wie ein Symbol wirkt der Tod der Hypatia und diese Selbstzertrümmerung der Reste einer Zeit ungeheuerster Geistesgröße. An eben dieser Stelle des geistigen Kosmos aber setzt das unvergangliche Verdienst der Araber ein. Unser Zauberteppich trägt uns zurück, wir sind wieder am Hof der Kalifen, an dem nicht bloß Scheherezaden in Gunst standen. Die arabische Kultur war eine durchaus männliche Kultur und daher der Mathematik besonders zugewandt. Mit wahrem Feuereifer, mit dem Fanatismus des eben erst arrivierten Volkes, wird das Erbe von Hellas in Form von Manuskripten gesammelt. Aber nicht nur hellenische Papyri haben hohen Wert in Bagdad. Auch die neupersischen Pehlewitexte und die Sanskrittexte beginnen die Bibliotheken zu füllen, und ein Heer von Übersetzern müht sich damit ab, Euklid, Archimedes, Menelaos, Pappos und insbesondere die „Syntaxis“ des Ptolemäus ins Arabische zu übertragen, die von da an durch Jahrhunderte nur mehr „das Almagest“ genannt wird. Der Lehrgang in den Schulen - denn Mathematik wird Allgemeingut - beginnt mit Euklid und endet mit dem Almagest. Dabei aber spiegelt sich die Wissenschaft als solche in der Seele eines anders gearteten Volkes, in einer mathematisch und logisch sehr begabten Psyche, deren Hauptmerkmal jedoch die von Oswald Spengler so genannte „magische“ Richtung war.
:Hatte man sich im Griechentum, Harmonie suchend, im äußeren Anschauungsraum getummelt, so erstrebt die magische Seele gleichsam die Strukturierung des Denkraumes. Etwas unglaublich Kühles, dabei jedoch Glitzerndes legt sich über diese Welt. Alle Bilder und Begriffe, alle Architektonik und Formulierung wird scharf, wie eine mit kleinster Blende aufgenommene und hart kopierte Photographie. Und es ist kein Gegensatz zu dieser Geisteshaltung, wenn das Gemüt nebenher in üppigen Märchen Zuflucht sucht. Denn auch durch Aladins Wunderlampe gelangen Wirwir schließlich in Gärten, in denen geschliffene Edelsteine an den Bäumen hängen. Plastik und Malerei aber fehlen in dieser Kultur. Das irrational Lebendige ist verbannt. Zumindest aus dem Anschauungsraum vertrieben und in seinen Resten ins Innerste, in die Bereiche der Phantasie und des Zaubers zurückgedrängt.
:Wir haben das Wort „Zauber“ ausgesprochen. Die Bedeutung des Magischen liegt nämlich nicht bloß in der rationalen Geschlossenheit des Weltbildes, besser des Weltdenkens, sondern hat dazu noch einen polaren dunklen Begleiter. Wo sich nämlich die Anschauung aufzulösen beginnt, dort steht hinter der Form das Chaos. Wo sich dagegen die ratio, die bewußte Tätigkeit, in den Schatten verliert, dort lauert der Wahnsinn, das Schauderhafte, der Zauber. Derselbe Zauber, der Wiederwieder nichts anderes ist als die halbvergebliche Mühe, das Reich des Verstandes, über seine Grenzen hinaus, ins Unerforschte vorzutreiben.
:Die Mathematik aber bot seit jeher diesem kabbalistisch-magischen Bemühen allerlei Vorschub. Jeder, der sich tiefer in sie versenkt, Wirdwird durch ihre eigentümliche Erkenntnishilfe überrascht und erschreckt zu gleicher Zeit. Denn nur Mathematik ist die „vera cabbala“, wie sie Leibniz ein Jahrtausend später genannt hat. Ihre Ergebnisse springen oft unvermutet aus dem Innersten des Menschen hervor, so daß schon der große Platon diesen Vorgang nicht anders deuten konnte denn als
„Anamnesis“, Rückerinnerung. Sodaß der Unterricht in Mathematik nichts anderes bedeutet als Wiedererweckung eines gleichsam angeborenen Gedankengutes. Aber nicht bloß dieses Emporschießen von Zusammenhängen bei längerer passiver Betrachtung, das jeder Geometer kennt, dieser Zustand, bei dem ganze Figurengruppen sich gleichsam zu bewegen, zu schichten, zu ordnen beginnen, um schließlich Ungeahntes zu offenbaren, ist ein Zauber. Ebenso kabbalistisch ist die Führung, die das Werkzeug der Arithmetik und Algebra plötzlich an sich reißt, wodurch es sich als richtigen Zauberlehrling erweist. Und diese Führung durch das Werkzeug selbst leitet uns oft über Abgründe, in die niemals ein Gedanke dringt und deren Boden auch ein Gedanke niemals erblicken kann. Die höchste aller kabbalistischen Künste aber ist der durch richtige Notation entstandene Algorithmus, ist die Denkmaschine der Arithmetik und Algebra mit all ihrem Symbolzauber.
:Woher das Wort Algorithmus stammt, wußte man bis ins neunzehnte Jahrhundert hinein nicht, obgleich er seit Leibniz in allgemeiner Verwendung stand. Man dachte an eine Verstümmelung des Ausdruckes Logarithmus, sicherlich aber an einen Zusammenhang mit „Arithmos“ (Zahl). Erst die Orientalisten klärten das Rätsel, beseitigten auch den Irrglauben, daß Algoritmi ein indischer, sagenhafter, zauberkundiger König gewesen sei. Er war vielmehr ein höchst lebendiger Mensch, ein großer Mathematiker der Kalifenzeit, lebte um 800 nach Christi Geburt und hieß Muhammed ibn Musa Alchwarizmi. Dieser Beiname Alchwarizmi bedeutet aber bloß, daß er aus der ostpersischen Provinz Khorassan (später Khanat Chiwa) stammte. Muhammed Alchwarizmi verfaßte nun zwischen 800 und 825 zwei mathematische Werke, deren eines ein Rechenbuch ist und in der lateinischen Übersetzung mit den Worten „Algoritmi dicit“ („also sagt Alchwarizmi“) beginnt. Das zweite Werk aber ist eine geniale Algebra mit dem Titel „Aldschebr Walmukabala“, was etwa „Einrichtung-Gegenüberstellung“ heißt und bedeutet, daß eine Gleichung „eingerichtet“ ist, wenn sie nur mehr positive Glieder enthält. „Gegenüberstellung“ aber ist das Weglassenweglassen oder Subtrahieren gleicher Größen auf beiden Seiten der Gleichung. Nun hat sich, nach Günther, das Wort Algebrista in Spanien unter maurischem Einfluß bis auf Cervantes erhalten, da der „Spiegelritter“, den Don Quixote vom Pferde geworfen hat, einem Algebrista (einem Einrichter) zum Einrenken der Glieder übergeben wird.
:Und es ist der wunderlichste Zufall der Wissenschaftsgeschichte, daß unser Alchwarizmi zu verschiedenen Zeitpunkten gleich zweimal kategorial verewigt wurde. Der Titel seines Werkes lieferte die Gattungsbezeichnung für die Buchstabenrechnung und für alle sich daran schließenden Formenlehren; wobei Alchwarizmi selbst, wie wir sehen werden, von einer Algebra dritter Stufe, also von der Buchstabenrechnung, keine Ahnung hatte. Er steht vielmehr durchwegs auf der ersten, Wortalgebraischen Stufe. Sein verballhornter Beiname aber wurde zur Gattungsbezeichnung für einen der tiefsten und umfassendsten Begriffe, die die Mathematik kennt, zum „Algorithmus“, was ungefähr dasselbe wäre, als ob spätere Jahrtausende irgendeine mathematische Kategorie nach Gauß „Braunschweiger“ nennen würden.
:Um diese Bezeichnung und den ganzen Inhalt des Begriffes Algorithmus (früher sagte man auch Algorismus) voll würdigen zu können, müssen wir zuerst einmal sehen, wo das Wort zum erstenmal auftritt, und müssen dann sofort als echte Besucher Bagdads den Zauberteppich besteigen, der uns diesmal nicht aus dem Märchenbereich von Tausend-und-einer-N acht hinausführen wird. Wir verrieten schon, wo das Wort zum erstenmal vorkommt. Nämlich als Anfang eines Rechenbuches. Was nun enthält dieses Rechenbuch? Etwas für uns vollkommen Entzaubertes, Selbstverständliches: die sogenannten Species, die Rechnungsoperationen, die jedes Kind in der Volksschule lernt. Dazu noch zwei inzwischen aus der Übung gekommene Operationen des Verdoppelns und des Halbierens, deren Ursprung sich vielleicht rein sprachlich aus den Formen des Duals (der Zweizahl) herleitet, den es als Ergänzung der Einzahl (Singularis) und Mehrzahl (Pluralis) sowohl im Sanskrit als etwa im Altgriechischen gab. Gut, uns sind diese Rechnungsarten selbstverständlich, aber dies nur aus einem Grund, der gerade ihren Zauber ausmacht. Sie beruhen nämlich, und dies der Kernpunkt, auf dem durchsichtigsten und vollkommensten System, das in der Geschichte des Geistes bisher geschaffen wurde: auf dem Stellenwertsystem oder Positionssystem der Ziffernschreibung. Die Tatsache, daß man mit zehn Begriffssymbolen, die von jeder Sprache unabhängig sind, alle Zahlen vom denkbar kleinsten Systembruch bis zu der sich im Nebel des Unendlichgroßen verlierenden astronomischen und überastronomischen Zahl mühelos und irrtumsfrei, eindeutig und allgemeinverständlich anschreiben kann, hat im geistigen Kosmos nicht ihresgleichen. Von allen Wissenschaften besitzt nur noch höchstens die Chemie ein annähernd so ehernes und scharfes Werkzeug in ihrer Symbolik der Elemente, dessen Gültigkeit und Vollständigkeit jedoch jederzeit von einer Erkenntnisrevolution zertrümmert werden kann, was bei der Ziffernschrift unmöglich ist. Damit ist aber die Zauberkraft des Stellenwertsystems, das natürlich nicht einmal gerade ein dekadisches sein müßte, noch durchaus nicht erschöpft. Es gebiert gleichsam fortzeugend Gutes. Und es ermöglicht etwa zum erstenmal eine im wahrsten Sinne kinderleichte Handhabung auch sehr verwickelter Rechnungsoperationen Iınd eine Fülle von im System selbst begründeten Proben und Kontrollen. Damit wird es zur ersten wirklichen Denkmaschine, deren Bedienung, wie gesagt, jeder Elementarschüler kennt, deren tiefere Struktur und deren Zahnräderwerk aber durchaus nicht so einfach ist, wie es sich der Laie vorzustellen versucht ist. Ein solcher „Durchschauer“ müßte zuerst einmal bei Gauß in die Lehre gehen und etwas von „Rest-Modul-Systemen“ oder Primzahlforschungen in Sich aufnehmen. Doch das nur nebenbei.
:Unserem Alchwarizmi also fiel die historische Aufgabe zu, das indische dekadische Stellenwertsystem in einem Rechenbuch zusammenzufassen, Woraufworauf er oder ein Übersetzer seinen Herkunftsnamen „Algoritmi“ an die Spitze stellte.
:Wir wollen aber jetzt dieses erste an uns herantretende Beispiel eines Algorithmus, und zwar den vollkommensten aller Algorithmen, ein Wenigwenig näher prüfen, um uns ein richtiges Bild über das Geleistete und über den Anteil der einzelnen Kulturen an dieser Epoche zu bilden.
:Seit den bahnbrechenden und verdienstvollen Forschungen des englischen Kolonialbeamten Colebrooke, der 1816 zum erstenmal die indische Mathematik ins richtige Licht stellte und auf dessen Arbeiten dann die Weitereweitere Forschung nicht nur des Abendlandes, sondern auch der autochthonen Forscher Indiens selbst weiterbaute, Weißweiß man, daß die alten Inder in mehr als einer Art zur Entwicklung der Mathematik beigetragen haben. Ihre mit ausschweifender, zügelloser Phantastik gemischte mathematische Begabung befähigte sie zu großen Entdeckungen, deren größte eben das Stellenwertsystem ist. Gewiß, sie hatten auch bedeutende Algebraiker wie Aryabhatta (476 nach Christi Geburt), Brahmagupta (7. Jahrhundert nach Christi Geburt) und Bhaskara (12. Jahrhundert nach Christi Geburt). Sie entdeckten selbständig die ganzzahlige Lösung unbestimmter Gleichungen und drangen bis zur Algebra dritter Stufe, also bis zur reinen Symbolschreibung, vor. Ihr Werk aber blieb mit Ausnahme der Zahlenschreibung abseits von der allgemeinen Entwicklung und hat daher in unsrem Sinne nicht den Charakter des Epochehaften, sondern eher des Episodischen. Daran änderte es auch nichts, daß Bhaskara den Grenzwert von <math> \textstyle \frac{a}{0}</math> richtig einschätzt und sagt: „Je mehr der Divisor verkleinert Wirdwird, um desto mehr wird der Quotient vergrößert. Wird der Divisor aufs äußerste verkleinert, so vergrößert sich der Quotient aufs äußerste. Aber solange noch angegeben werden kann, er sei so und so groß, ist er noch nicht aufs äußerste vergrößert; denn man kann alsdann eine noch größere Zahl angeben. Der Quotient ist also von unbestimmbarer Größe und wird mit Recht unendlich genannt.“ [<small>Wenn der Divisor allerkleinst, also 0 ist.</small>]
:Wenn solche reife Erkenntnisse des Infinitesimalen aus dem Zauberland des Meditierens, aus indischen Schulen, damals schon ins Abendland gelangt und in die geeigneten Hände gekommen Wärenwären, hätte sich Wahrscheinlichwahrscheinlich die Weltgeschichte anders entwickelt. Aber es begab sich eben anders. Und das Abendland erfuhr auch bis zum 19. Jahrhundert nichts davon, daß Brahmagupta mehrere Unbekannte durch Farbenbezeichnungen unterschied, Wiewie denn die indische Algebra überhaupt in ihrer Einkleidung sehr poetisch Warwar. So sagt Bhaskara in seinem „Lilavati“ überschriebenen Kapitel über die Rechenkunst: „Schönes Mädchen mit den glitzernden Augen, sage mir, so du die richtige Kunst der Umkehrung verstehst, welches ist die Zahl, die mit 3 vervielfacht, sodann um <math>\textstyle \frac{3}{4}</math> des Produktes vermehrt, durch 7 geteilt, um ein Drittel des Quotienten vermindert, mit sich selbst vervielfacht, um 52 vermindert, durch Ausziehung der Quadratwurzel, Addition von 8 und Division durch 10 die Zahl 2 hervorbringt.“ Falls diese Lilavati ein wirkliches schönes Mädchen und nicht bloß, Wiewie einige Historiker annehmen, die allegorische Darstellung der herrlichen Rechenkunst selbst Warwar, dann dürften sich, auch wenn sie die „Methode der Umkehrung“ verstand, ihre glitzernden Augen ein Wenigwenig getrübt haben, bevor sie wußte, daß der Gang der Rechnung
:<math> (2 \cdot 10 - 8)^2 + 52 = 196 </math>
:<math>\sqrt{196} = 14</math> und
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ist als eine fallende Potenzreihe der Form aogfl -§-
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¬'- aıgnrl -,L - ~ - ~ ¬'- a„__2 g2 + a„_1g1 -{~ a„g°, wobei ao bis
an die Koeffizienten und g° bis gn die Potenzen der Grund-
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g" = 10“. Nun werden bloß die Koeffizienten nach dem
Grundsatz der Größenfolge geschrieben und die „Stelle“
zeigt an, mit Welcherwelcher Potenz der Grundzahl der Koeffi-
zient zu multiplizieren ist. In der Zahl 3457 ist die 3
tausendmal so groß als in der Zahl 72.553. Daher kann
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meiner Brüche existierten. Es wird dadurch verständlich,
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daß später gesagt wurde, eine etwas größere Multipli-
kation (von der Division ganz zu schweigen), die heute
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die gestrichelten Diagonalen entstandene untere, die
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Zehner in das jeweils obere Dreieck zu stehen kommen.
Höhere Stellenwerte als Zehner können nicht entstehen,
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Begriff der nächst „höheren“ Kolonne wird mehr aus-
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gesprochen oder gedacht. Diese Kolonne steht um eine
Stelle weiter links und es ist von rechts nach links vor-
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großer Vorstellungskraft gelingt. Zweitens die schriftliche
Rechnung. Drittens die Rechenmaschine mit Handbetrieb,
wobei gewisse Teiloperationen mit Kurbel oder Weiterweiter-
rücken eines sogenannten Lineals ausgeführt werden.
Und viertens endlich die automatische Rechenmaschine,
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nung in der Leibnizschen Schreibweise am Werke sehen.
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Unser Zauberteppich beginnt aber alle Grenzen zu
überfliegen, wahrscheinlich, weil er in seinem Heimat-
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weniger als das konstante Glied, das mit ix? zu.. vereinigen
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War, beträgt, dann eine Lösung unmöglich ist. Wenn es
dem konstanten Glied gleich ist, dann ist cv gleich der
Halfte der cv ohne Vermehrung oder Verminderung.“
Wir haben diese Textstelle Wörtlichwörtlich angeführt, nicht
bloß, um eine Probe aus der „Aldschebr Walmukabala“
zu geben, sondern um aus ihr die ganze Art und Haltung
der arabischen Algebra abzuleiten. Zuerst sehen Wirwir, daß,
rein formal, die Tätigkeit der Araber gegen Diophantos
ein ausgesprochener Rückschritt ist. Die Ansätze der
Symbolschreibung in der synkopierten Algebra Dio-
phants sind Wiederwieder einer reinen, ausschließlichen Wort-
algebra gewichen. Allerdings ist inhaltlich trotzdem ein
Fortschritt in der Richtung eines Algorithmus aufzu~aufzuweisen. Denn die Lösungsmethode des Alchwarizmi, die
Weisen. Denn die Lösungsmethode des Alchwarizmi, die
unsrer Formel % ± -3 )2- c entspricht, ist Original
und Eigentum des Arabers*). Er hat ihr auch, nach griechi-
schem Vorbild, geometrische Beweise hinzugefügt. Doch
das hat seine rein algebraischen Vorstöße nur Wiederwieder
zurückgeschlagen. Denn dadurch Warwar er nicht imstande,
die zweite negative Lösung anzuerkennen, die in unserm
Falle dann eintreten müßte, Wennwenn g )2 -_ c größer Wareware
als %. Es gibt also auch bei Alchwarizmi zwei Lösungen
der gemischtquadratischen Gleichung nur dann, Wennwenn
beide Lösungen positiv ausfallen, Wiewie im obigen kon-
kreten Beispiel. Dabei zieht er außerdem die Lösung
a a2 a *a2*
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keinen Fall die bei denlndern entdeckten negativen Lö-
sungen als Lösungen betrachtet. Für unmöglich erklart er
die imaginäre Lösung, falls c größer Wärewäre als (är. Dieses
*) -gi ist hier positiv, dal0 cc in der vorgelegten Gleichung
rechts_vom Gleichheitszeichen steht, im Gleichungspolynom
also eıgentlich negativ wäre. . L
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Wort „impossibilis“ (unmöglich) begleitet die imaginären
Zahlen mehr als ein weiteres Jahrtausend bis zu Des-
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Materialen, rein Inhaltlichen unsrer Wissenschaft ver-
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gleichsweise wenig Neues hinzugefügt haben. Sie be-
reicherten etwa die Geometrie gegenüber den Griechen
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ilberallhin durch Feuer und Schwert Bahn und ver-
säumten es nicht, den blutigen Eroberungszügen die
Mathematik nachfolgen zu lassen. Aber auch sie Warenwaren
trotz aller praktischen und expansiven Veranlagung
keine Ingenieure, das heißt, sie berannten nicht mit dem
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zur 'Verallge_meinerung.. _. Und 'Verallgemeinerung setzt
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eine genaue Kenntnis von Zusammenhängen voraus.
Diese Stufenfolge aber führt zwangsläufig dazu, daß die