Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 105c»
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Línea 290:
:<math>x (x^2 + 1) = 4 (x^2 + 1)</math> und erhält durch Division <math>x = 4</math>. Von den beiden anderen Wurzeln, die jede kubische Gleichung haben muß und die in unsrem Fall imaginär wären, ist naturgemäß keine Rede.
:Es war jedoch nicht bloß die, fast möchte man sagen, abenteuerliche Geschicklichkeit Diophants, Gleichungen zu behandeln, die seine spätere Wirkung erklärt. Gelegentlich seiner Einkleidungen der Gleichungen stößt er darüber hinaus oft auf zahlentheoretische Beziehungen. So findet er, daß in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse auch dann noch ein Quadrat bleibt, wenn man das doppelte Produkt der Katheten dem Quadrat hinzufügt oder davon abzieht. Es ist also
:<math>a^2 + b^2 \pm 2ab</math> stets ein Quadrat, was uns algebraisch natürlich vollständig klar ist, da es nichts anderes bedeutet als die Ausrechnung der Quadrierung des Binoms <math>(a + b)</math> oder <math>(a - b)</math>. Allerdings erscheint es hier in anderem Zusammenhang als neue Beziehung zwischen den Seiten rechtwinkliger Dreiecke. Weiters entdeckt er, daß sich die Zahl 65 auf zwei Arten in die Summe von Quadraten zerlegen lasse, nämlich <math>(16 + 49)</math> und <math>(64 + 1)</math>, da 65 aus der Multiplikation von 5 und 13 entstanden sei, die wieder selbst die Summe je zweier Quadrate seien, nämlich
:<math>(4 + 1)</math> und <math>(9 + 4)</math>.
:Es ist also, so übersetzen wir diese Erkenntnis in unsre Algebra, stets
Línea 305 ⟶ 304:
:<math>\textstyle a (\frac{m^2 - 1}{m^2 + 1})</math>.
:Dadurch aber ist wieder, da ja <math>a^2 = x^2 + (mx - a)^2</math>,
:dieses ursprüngliche Quadrat <math>a^2</math> jetzt
:<math>a^2 = ( \frac{2m}{m^2 + 1} \cdot a)^2 </math>,
:wobei <math>m</math> willkürlich angenommen werden kann.
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