Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 105c»
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Línea 251:
:<math> u^2 + 2u \varsigma + {\varsigma}^2</math> und
:<math> v^2 + 2v\varsigma + {\varsigma}^2</math>.
:Das aber, so denkt er, könnte recht wohl an Stelle der obigen zweiten und dritten Gleichung gesetzt werden.▼
:Es wäre dann
:<math>(u^2 + 2u\varsigma) + \varsigma^2 = u^2</math> und
:<math>(v^2 + 2v\varsigma) + \varsigma^2 = v^2</math>
:Es steht also jetzt
:<math> (u^2 + 2u\varsigma)</math> für <math>y</math> und
:<math>(v^2 + 2v\varsigma)</math> für <math>z</math>.
:Da aber
:<math>y + z = 20</math>, so wäre
:<math>u^2 + 2u\varsigma + v^2 + 2v\varsigma = 20</math>
:Um nun aus dieser Gleichung für
:<math>u^2 + v^2</math> kleiner sein als zwanzig.
:und <math>\varsigma</math> schließlich <math> \frac{7}{10} </math>
:Daraus folgt
:<math> y = \frac{68}{10} </math> und
:<math> z = \frac{132}{10} </math>, wodurch alle Bedingungen des Gleichungssystems erfüllt sind.
:Denn <math> \frac{68}{10} + {\frac{7}{10}}^2 = \frac{729}{100}</math>,
:somit die rationale, gebrochene Quadratzahl <math>{\frac{27}{10}}^2</math> und
:<math> \frac{132}{10} + {\frac{7}{10}}^2 = \frac{1369}{100}</math>, somit <math>{\frac{27}{10}}^2</math>.
:Diese Lösungen sind, wie bei Diophantos an allen Stellen, natürlich nur spezielle und sind durch frühzeitiges Einsetzen konkreter Werte, unter Ausschluß negativer Möglichkeiten für den Wert von <math>\varsigma</math>, gewonnen. Wir Heutigen würden ruhig für u und v auch Zahlen substituieren, die der Bedingung
:<math>u^2 + v^2 < 20</math> (die, nebenbei bemerkt, etwas gewaltsam ist) nicht genügen.
:Bei <math>u = 3</math> und <math>v = 4</math> ergäbe sich etwa
:für <math>\varsigma</math> der Wert <math> - \frac{5}{14}<\math>,
:für <math>y</math> der Wert <math>\frac{96}{14}<\math> und
:für <math>z</math> der Wert <math>\frac{184}{14}<\math>.
:Daraus folgt, daß
:<math>u^2 = {\frac{27}{14}}^2 <\math> und
:<math>v^2 = {\frac{51}{14}}^2 <\math>
:Schließlich sei noch das einzige Beispiel einer kubischen Gleichung erwähnt, das sich bei Diophantos findet. In unsrer Schreibweise würde die Gleichung
:<math> (x - 1)^3 = (x + 1)^2 + 2</math> lauten.
:Berechnet ergäbe sich <math>x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = x^2 + 2x + 1 + 2</math> oder, nach der Gewohnheit Diophants umgeformt,
:<math>x^3 + x = 4x^2 + 4</math>
:Er setzt die Gleichungen schließlich stets so an, daß lauter positive Werte vorkommen. Dadurch aber kann er im vorliegenden Fall weiter umformen ▼
:<math>x (x^2 + 1) = 4 (x^2 + 1)<math> und
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▲Das aber, so denkt er, könnte recht wohl an Stelle der
▲für ç einen positiven Wert zu erhalten, muß uz + 112
▲kleiner sein als zwanzig. Also, wie er annimmt, 4 und 9.
▲Dadurch wird 4 g + 6 ç = 20 - 13 = 7 und ç schließlich
▲v2 = also ebenfalls eine Erfüllung des Gleichungs-
▲die Gleichungen schließlich stets so an, daß lauter positive
▲117
erhält durch Division x = 4. Von den beiden anderen
Wurzeln, die jede kubische Gleichung haben muß und die
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