Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 105c»
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Línea 240:
:<math> \textstyle 16 \cdot ( {\frac{6}{13}}^2 ) + 3 \cdot</math> \frac{6}{13} + 10 </math> also
:<math> \frac{2500}{169} = \frac{576}{169} + \frac{234}{169} + \frac{1690}{169} </math>, was offensichtlich stimmt.
:In analoger Art wird die zweite angeführte Substitution gehandhabt, um aus derartigen Gleichungen rationale Wurzeln oder Lösungen für beide Unbekannte zu gewinnen. Zeuthen bemerkt hiezu, daß noch heute mit denselben Substitutionen irrationale Differentiale ra-
tional gemacht werden. Selbstverständlich sieht die tatsächliche Behandlung derartiger Aufgaben bei Diophantos viel verwickelter aus, da er nur mit einer Unbekannten operiert und daher fortwährend Zwischengleichungen einschalten muß. Dabei verwirrt es den Leser, daß die Unbekannte in mehreren verschiedenen Gleichungen, obwohl sie Verschiedenes bedeutet, mit demselben Buchstaben <math>\varsigma'</math> geschrieben wird (bzw. mit
:<math> {\delta}^{\tilde{\upsilon}} </math>, falls es sich um ein Quadrat handelt). Um so bewunderungswürdiger aber die Sicherheit der Handhabung. Wir haben ja auch an unserem ersten Beispiel gesehen, daß ein solches Vorgehen möglich ist. Denn dabei hat das <math>x</math> in jeder der drei Gleichungen etwas anderes bedeutet. Natürlich ist dasselbe Vorgehen in einer und derselben unbestimmten Gleichung noch komplizierter zu handhaben und zu begreifen.
:Um die Gewandtheit Diophants, seine „Wendungen“, wie sie oft genannt werden, zu demonstrieren, sei noch eine unbestimmte Gleichung erwähnt. Zwei Zahlen, die wir für uns <math> y </math> und <math> z </math> nennen, ergeben die Summe 20. Dabei soll jede dieser beiden Zahlen, um ein und dieselbe Quadratzahl vermehrt, wieder eine Quadratzahl liefern.
:Also, modern geschrieben:
:<math> y + z = 20 </math>
:<math> y + x^2 = u^2 </math>
:<math> z + x^2 = v^2 </math>.
:Das wären drei Gleichungen mit vier Unbekannten. Wie hilft sich nun unser Meister aus der Verlegenheit? Wieder durch kühne „Substitutionen“, wie wir gleich sehen werden.
:Er quadriert nämlich <math>(u + \varsigma)</math> und <math>(v + \varsigma)</math> und erhält▼
:<math> u^2 + 2u \varsigma + {\varsigma}^2</math> und ▼
▲Er quadriert nämlich <math>(u + \varsigma)</math> und
▲:<math> u^2 + 2u \varsigma + {\varsigma}^2</math>
:<math> v^2 + 2v\varsigma + {\varsigma}^2</math>.
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