Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 105c»

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Línea 172:
:oder schließlich nach Addition gleichbenannter Größen als Endergebnis
:<math>a^4 + b^4 + 6a^2b^2 + 4a^3b + 4ab^3</math> liefert.
:Eine solche Rechnungsoperation, in Worten ausgedrückt, würde unsre Vorstellungskraft schon unerträglich belasten, während in der symbolischen Schreibweise nur einige Aufmerksamkeit und Sauberkeit der Schreibung notwendig ist, um nicht in Fehler zu verfallen. Aber es geschieht dabei noch viel mehr. Die Symbole (das sind die Bezeichnungen für die allgemeinen Zahlen, wie a oder b oder das <math>\varsigma'</math> bei Diophant) und die Befehle oder Operatoren oder Operations- oder Verknüpfungssymbole (+, -, = usw.) gewinnen gleichsam ein Eigenleben. Sie verbinden sich zum „Algorithmus“, zur Denkmaschine, und es ist nur mehr nötig, sie nach gewissen höchst einfachen Regeln zu gebrauchen. Der Leerlauf der isolierten Begriffe besorgt dann, ohne daß ein Fehler möglich ist, alles weitere, und am Ende steht das Ergebnis. Doch auch so weit sind wir bei Diophantos noch durchaus nicht, obgleich er mit seinen von ihm selbst geschaffenen Mitteln so weit hatte vordringen können. Sein Hauptfortschritt ist der Beginn einer algebraischen Schreibweise, einer sogenannten „Notation“ und noch nicht eines wirklichen Algorithmus. Natürlich ist die Notation die unerläßliche Voraussetzung des Algorithmus. Zu diesem Übergang war jedoch ein langer Weg notwendig, der sich hauptsächlich aus dem Bereiche konkreter Zahlen entwickelte, wie wir im folgenden Kapitel sehen werden. Dieser Behauptung widerspricht es nicht, daß Diophant an einer Stelle eine unzweideutige allgemeine Regel zur Lösung von Gleichungen angibt. Er sagt namlich: „Wenn man nun bei einer Aufgabe auf eine Gleichung kommt, die zwar aus den nämlichen allgemeinen Ausdrücken besteht, jedoch so, daß die Koeffizienten auf beiden Seiten ungleich sind, so muß man Gleichartiges von Gleichartigem abziehen, bis ein Glied einem Gliede gleich wird. Wenn aber auf einer oder auf beiden Seiten Abzugsgrößen vorkommen, dann muß man diese substraktiven Größen auf beiden Seiten hinzufügen, bis auf beiden Seiten nur Hinzuzufügendes entsteht. Dann muß man wieder Gleichartiges von Gleichartigem abziehen, bis ein Glied einem Gliede gleich wird. Wenn aber auf einer oder auf beiden Seiten Abzugsgrößen vorkommen, dann muß man diese subtraktiven Größen auf beiden Seiten hinzufügen, bis auf beiden Seiten nur Hinzuzufügendes entsteht. Dann muß man Wieder Gleichartiges von Gleichartigem abziehen, bis auf jeder Seite nur ein Glied übrig bleibt.“ Cantor bemerkt zu dieser Stelle, daß sie die Zurückbringung einer Gleichung auf die Form :<math>a x^m = b x^n</math> betreffe, wobei <math>m</math> und <math>n</math> ganze, von einander verschiedene Zahlen bedeuten, deren eine auch Null sein kann. Diese Regel, sagt Cantor weiter, sei so unzweideutig, wie wir nur selten im Altertum Regeln ausgesprochen finden.
:<math>a x^m = b x^n</math>
:betreffe, wobei
<math>m</math> und <math>n</math> ganze, von einander verschiedene Zahlen bedeuten, deren eine auch Null sein kann. Diese Regel, sagt Cantor weiter, sei so unzweideutig, wie wir nur selten im Altertum Regeln ausgesprochen finden.
:Wir berufen uns hier auf Cantor, um unsre Behauptung, Diophantos habe noch keinen wirklichen Algorithmus, keine umfassende Denkmaschine ausgebildet, zu stützen. Denn im übrigen fällt uns zwar an jeder Aufgabe, die Diophantos löst, eine geradezu unwahrscheinliche persönliche Virtuosität auf, die Aufgabe anzupacken und zu meistern, er behandelt aber gleichwohl jedes dieser Probleme für sich gesondert und bringt durchaus nicht alles Zusammengehörige in den großen Zusammenhang umfassender Regeln. Er hat also, wie Descartes einmal über die griechischen Mathematiker sagte, nicht nach einer allgemeinen Methode Lehrsätze aufgestellt, sondern nur diejenigen aufgelesen, die ihm begegnet sind.
:Wir bemerken also noch einmal, daß für uns, rein entwicklungsgeschichtlich betrachtet, Diophantos, trotz all seiner nicht in Abrede gestellten persönlichen Genialität, bloß der Bahnbrecher der algebraischen Notation oder Schreibweise ist, wenn er auch die Gleichungen, insbesondere die unbestimmten, an zahlreichen Beispielen einer ganz neuartigen Behandlung zuführte. Diese neben seiner generellen Leistung als Notationserfinder einherlaufende Tätigkeit als Spezialforscher für Gleichungen wollen wir uns nun naher betrachten.
:Vorerst aber noch eine weitere Feststellung: es ging Diophantos durchaus nicht etwa darum, speziell für unbestimmte Gleichungen sämtliche Lösungen zu finden. Er begnügt sich vielmehr sehr oft damit, eine einzige Lösung anzugeben. Noch viel weniger hat er es angestrebt, etwa bloß ganzzahlige Lösungen zu suchen. Die Methode für diesen Zweck hat erst sein Übersetzer Bachet de Méziriac im 17. nachchristlichen Jahrhundert geschaffen. Das muß deshalb betont werden, Weil heute im Schulunterricht und in der Vfissenschaft die unbestimmten Gleichungen nur dann „diophantische Gleichungen“ heißen, wenn sie ganzzahlige Lösungen ermöglichen, bzw. es wird die Lösung in ganzen Zahlen als diophantisch bezeichnet. Diophantos selbst verlangt wie überall in seinem Werke, bloß positive und rationale Lösungen. Irrationale Größen erkennt er als Grieche nicht als Zahlen an und bezüglich der negativen Größen ist er sicherlich, wie das ganze übrige Altertum, gar nicht auf den Gedanken gekommen, sie als Zahlen oder Gleichungslösungen zu betrachten, da sie geometrisch, wenigstens innerhalb der griechischen Geometrie, keinerlei Sinn haben. Wir wollen uns aber nicht mit diesen Andeutungen über Diophantos begnügen. Dadurch Würden Wir seine Spezialleistungen nicht im gehörigen Lichte sehen. Sie sind nämlich alles eher denn gering, sind in manchen Augenblicken sogar erstaunlich. Er hat ins-insbesondere mit einer ungeheuren Schwierigkeit zu kämpfen, die sich sozusagen aus seinem „Rohmaterial“ oder aus der Beschaffenheit seines Werkzeuges ergibt. Dadurch nämlich, daß er zur Bezeichnung seiner „Unbekannten“ keine Buchstaben außer dem <math> \varsigma ' </math> vorfindet, die nicht konkrete Zahlen bedeuten, ist er gezwungen, stets nur mit einer einzigen Unbekannten zu arbeiten. Allerdings hätte er sich mit fremden Alphabeten behelfen können. Doch das Widerstrebte dem Griechen sicherlich, da ja die alten Hellenen auch Fremdwörter stets vermieden.
:Sein Hauptwerk heißt „Arithmetika“ (also etwa „Arithmetisches“ oder „arithmetische Untersuchungen“) und besteht, außer allgemeinen Erörterungen über Zahlen, aus Beispielen, die Lösungen von Gleichungen beinhalten. So verlangt etwa die 39. Aufgabe des ersten Buches, daß, wenn zwei Zahlen gegeben sind, eine dritte gesucht werde, so daß dann die Summe je zweier Zahlen, mit der dritten multipliziert, drei Zahlen ergibt, die gleiche Differenzen haben. Also eine sicherlich sehr verwickelte Bedingung. Diophantos schließt in folgender Art: die gegebenen Zahlen seien drei und fünf, die gesuchte ist x (bei Diophantos natürlich als <math> \varsigma ' </math> geschrieben).
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:Man erhält sonach die drei Produkte 3 (x + 5), 5 (x + 3)
:<math>a3 (x^m =+ b x^n5)</math>
:<math>5 (x + 3) </math> und
:<math>x (5 + 3) </math>
:Das Ergebnis der ersten Multiplikation <math>(3 x + 15)</math> kann nicht die größte der drei Zahlen sein, dagegen könnte <math>(5 x + 15)</math> die größte oder mittlere, <math>8 x</math> die größte, mittlere oder kleinste sein.
:Sei nun <math>(5 ax + 15)</math> die größte, <math>8x</math> die mittlere der drei Zahlen, dann muß, da die drei Zahlen gleiche Differenzen haben sollen, die Summe der größten und der kleinsten Zahlen gleich sein der doppelten mittleren, da in unsrer Sprache gesprochen, aus
:<math>a_1 - ci = a_2</math> und
:<math>a-2 - d = a_3 folgt, daß
:<math>a_l + a_3 = 2a_2.
:Daher ist also
:<math>(5x + 15) + (3x + 15) = 2 \cdot 8x</math> oder
:<math>8x + 30 = 16x</math>.
:Wäre aber <math>(5x + 15) </math> die größte,
:<math>(3x + 15)</math> die mittlere und
:<math>8x</math> die kleinste Zahl,
Zahl, :dann warewäre nach der angeführten Regel (5 x + 15) -(-
:<math>(5x + 15) + 8x == 2 (3x + 15)</math>,
+ 823 == 2 (3x + 15), :somit <math>13x + 15 = 6x + 30. Ist
:Ist
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???
 
 
 
 
besondere mit einer ungeheuren Schwierigkeit zu kämp-
fen, die sich sozusagen aus seinem „Rohmaterial“ oder
aus der Beschaffenheit seines Werkzeuges ergibt. Da-
durch nämlich, daß er zur Bezeichnung seiner „Unbe-
kannten“ keine Buchstaben außer dem ç' vorfindet, die
nicht konkrete Zahlen bedeuten, ist er gezwungen, stets
nur mit einer einzigen Unbekannten zu arbeiten. Aller-
dings hätte er sich mit fremden Alphabeten behelfen
können. Doch das Widerstrebte dem Griechen sicherlich,
da ja die alten Hellenen auch Fremdwörter stets ver-
mieden.
Sein Hauptwerk heißt „Arithmetika“ (also etwa
„Arithmetisches“ oder „arithmetische Untersuchungen“)
und besteht, außer allgemeinen Erörterungen über
Zahlen, aus Beispielen, die Lösungen von Gleichungen
beinhalten. So verlangt etwa die 39. Aufgabe des ersten
Buches, daß, wenn zwei Zahlen gegeben sind, eine dritte
gesucht werde, so daß dann die Summe je zweier Zahlen,
mit der dritten multipliziert, drei Zahlen ergibt, die
gleiche Differenzen haben. Also eine sicherlich sehr ver-
wickelte Bedingung. Diophantos schließt in folgender
Art: die gegebenen Zahlen seien drei und fünf, die ge-
suchte ist x (bei Diophantos natürlich als g' geschrieben).
Man erhält sonach die drei Produkte 3 (x + 5), 5 (x + 3)
und x (5 + 3). Das Ergebnis der ersten Multiplikation
(3 x + 15) kann nicht die größte der drei Zahlen sein,
dagegen könnte (5 x + 15) die größte oder mittlere, 8 x
die größte, mittlere oder kleinste sein. Sei nun (5 az + 15)
die größte, 8x die mittlere der drei Zahlen, dann muß,
da die drei Zahlen gleiche Differenzen haben sollen, die
Summe der größten und der kleinsten Zahlen gleich sein
der doppelten mittleren, da in unsrer Sprache ge-
sprochen, aus al - ci = a2 und az -_ d = a3 folgt, daß
al + a3 = 2a2. Daher ist also (5x + 15) -,L (3x + 15) =
= 2-8x oder 8x + 30 = 16x. Wäre aber (5x -I- 15)
die größte, (32: + 15) die mittlere und 8x die kleinste
Zahl, dann ware nach der angeführten Regel (5 x + 15) -(-
+ 823 == 2 (3x + 15), somit 13x +15 = 6x + 30. Ist
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schließlich 8x die größte, (5x + 15) die mittlere und
(3x + 15) die kleinste Zahl, dann ist wohl 8x -|- (3x -{-