Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 105c»

Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 136:
:Schließlich finden wir das „Gleichheitszeichen“ in diesem Falle nicht, sondern es steht „isoi eisin“, also in Worten „sind gleich“. Daraus ersehen wir ganz deutlich, daß Diophants Gedanken noch sehr stark in der alten Wortalgebra gefangen waren, während sich seine Symbolik für ihn vorerst als „Abkürzung“ manifestierte, was ja auch außerhalb der Mathematik als „Abbreviatur“ beim Schreiben von häufigen Wörtern oder bei Endungen vorkam. Eine zweite Originalstelle, ein Bruch zweier Mehrgliederausdrücke (Polynome), wird dadurch bewältigt, daß an Stelle unsres Bruchstriches das Wort „moriou“ steht, wobei alles, was rechts davon steht, den Nenner bedeutet.
:Der Ausdruck lautet
 
:<math>
\delta^{\tilde{\upsilon}} \bar{\xi}
Línea 162 ⟶ 161:
:Es ist also zuerst die Frage nach der Bedeutung der Algebra zu stellen, die die weitere Frage nach der Bedeutung der Arithmetik im mathematischen Denken voraussetzt, da sie aus ihr hervorgegangen ist. Philosophisch gesprochen, liegt dem Problem der Unterschied des Begrifflichen und des Anschauungsmäßigen zugrunde. Um die Ausdrucksweise Kants zu gebrauchen, ist der Verstand das Vermögen, Begriffe zu bilden, Während die Anschauung uns die Anschauungen vermittelt. Der Verstand ist eine sogenannte diskursive Fähigkeit, was nichts anderes heißt, als daß er für die Gewinnung seiner Ergebnisse das N acheinander braucht, Während die Anschauung gleichsam zeitlos ist und auf einen Blick gewonnen Wird. Darüber hinaus ist das eigentliche Gebiet des Verstandes das Zergliedernde, Teilende, während die Anschauung ein synthetisches, verbindendes Vermögen ist. Wir haben bei Gelegenheit der Paradoxien Zenons schon über ähnliche Dinge gesprochen. Eine wirkliche Kontinuität oder Stetigkeit ist nur durch die Anschauung zu verwirklichen. Eine Linie, eine Fläche, ein Körper sind anschauungsmäßig stetige oder kontinuierliche Wesenheiten. Will ich diese Wesenheiten jedoch verstandesmäßig aufbauen, dann muß ich Wohl zu Urelementen greifen, zu ersten Bausteinen, also zu Atomen. Atome sind aber irgendwie stets prinzipiell zählbare Mengen, wenn ich auch ihre unendliche Menge behaupte.
:Wir können uns jedoch an dieser Stelle noch nicht tiefer in solche philosophische Erörterungen verlieren, da wir dadurch sozusagen einen Anachronismus der Darstellung begingen. Wir halten nämlich bei Diophant und nicht bei moderner Erkenntniskritik oder gar bei der Mengenlehre. Wir wollten lediglich feststellen, daß die Zahl und die Anzahl Ergebnisse der Verstandestätigkeit sind, und daß es auch eine Tätigkeit des Verstandes ist, die diese Zahlen in allerlei Arten miteinander verbindet. Die Tätigkeit derAnschauung betrifft dagegen die Gestalt und die Figur, also all das, was wir im eigentlichen Sinne als geometrisch bezeichnen. Nun ist es selbstverständlich, daß Verstand und Anschauung nirgends rein und ungemischt auftreten, da nach Kant ja Begriffe ohne Anschauung leer und Anschauungen ohne Begriffe blind sind. In dem an sich undenkbaren Begriff des Unendlichen steckt irgendwie eine wenn auch nebelhafte Anschauung und in der Anschauung eines Dreiecks das begriffliche Element einer gewissen Anzahl von Ecken und einer gewissen Verbindungsart dieser Ecken durch Linien.
:Gleichwohl gibt es naturgemäß die verschiedensten Mischungsverhältnisse, in denen Begriffliches und Anschauliches in einem mathematischen Problem auftreten können. Und es ist gerade das sonderbare, daß die scheinbare Erblindung von Anschauungen und die Leere von Begriffen dazu besonders geeignet sind, mathematische Kräfte in Bewegung zu setzen. Wir haben nämlich die Möglichkeit, geometrische Tatsachen zu bloßen Schemen verblassen zu lassen, während wir Zahlen so sehr symbolisieren können, daß nichts mehr von ihnen übrigbleibt als der allgemeinste Begriff einer Zahl überhaupt. Das aber ist das Wesen der Algebra. Es soll nicht mehr mit Zahlen, d. h. mit konkreten Zahlen operiert werden, sondern mit Zahlen überhaupt oder, wie man auch sagen könnte, mit Zahlenstellvertretern. Irgendeine Zahl soundso oder eine Quadratzahl soundso wird gesucht. Wir kermen sie noch nicht, sonst brauchten wir sie nicht zu suchen. Bevor wir sie aber finden, benennen wir sie bereits und rechnen mit ihr nach Regeln, mit denen man sonst nur mit wirklichen, konkreten Zahlen umgeht. Man addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert mit diesen noch unbekarmten Zahlen, erhebt sie zum Quadrat, zur n-ten Potenz, zieht aus ihnen die Wurzel4. Kurz, man operiert mit allgemeinen Zahlen, als ob sie konkrete Zahlen wären.
:Gleichwohl gibt es naturgemäß die verschiedensten Mischungsverhältnisse, in denen Begriffliches und Anschauliches in einem mathematischen Problem auftreten
:Das, was wir bisher erwähnten, könnte sich allerdings auch nur im Denkraum abspielen. Es ist eine begriffliche, logische Tätigkeit, aber sie muß noch nicht von einer eigenen Schrift, die bloß ihr allein dient, begleitet sein. So stand es au ch mit den algebraischen Bemühungen der Griechen bis auf Diophant. Man „dachte“ Algebra, man „sprach“ Algebra, aber man „schrieb“ nicht Algebra, oder schrieb sie nur in gewöhnlicher Umgangssprache. Und auch Diophant selbst begann erst in einem Zwischenstadium zwischen Abkürzung und selbständiger Symbolisierung die Algebra zu „schreiben“, wie wir es schon gesehen haben. Wie also schreibt man Algebra und warum schreibt man Algebra? Wir antworten darauf, daß man Algebra durch Symbole und Befehle schreibt und daß man sie nicht nur aus gleichsam stenographischen, sondern aus viel tiefer liegenden Gründen in dieser Weise
109
110
 
 
 
 
???
 
 
 
können. Und es ist gerade das sonderbare, daß die
scheinbare Erblindung von Anschauungen und die Leere
von Begriffen dazu besonders geeignet sind, mathemati-
sche Kräfte in Bewegung zu setzen. Wir haben nämlich
die Möglichkeit, geometrische Tatsachen zu bloßen
Schemen verblassen zu lassen, während wir Zahlen so
sehr symbolisieren können, daß nichts mehr von ihnen
übrigbleibt als der allgemeinste Begriff einer Zahl über-
haupt. Das aber ist das Wesen der Algebra. Es soll nicht
mehr mit Zahlen, d. h. mit konkreten Zahlen operiert
werden, sondern mit Zahlen überhaupt oder, wie man auch
sagen könnte, mit Zahlenstellvertretern. Irgendeine Zahl
soundso oder eine Quadratzahl soundso wird gesucht.
Wir kermen sie noch nicht, sonst brauchten wir sie nicht
zu suchen. Bevor wir sie aber finden, benennen wir sie
bereits und rechnen mit ihr nach Regeln, mit denen man
sonst nur mit wirklichen, konkreten Zahlen umgeht. Man
addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert mit diesen
noch unbekarmten Zahlen, erhebt sie zum Quadrat, zur
n-ten Potenz, zieht aus ihnen die Wurzel4. Kurz, man
operiert mit allgemeinen Zahlen, als ob sie konkrete
Zahlen wären.
Das, was wir bisher erwähnten, könnte sich allerdings
auch nur im Denkraum abspielen. Es ist eine begriffliche,
logische Tätigkeit, aber sie muß noch nicht von einer
eigenen Schrift, die bloß ihr allein dient, begleitet sein.
So stand es au ch mit den algebraischen Bemühungen der
Griechen bis auf Diophant. Man „dachte“ Algebra, man
„sprach“ Algebra, aber man „schrieb“ nicht Algebra,
oder schrieb sie nur in gewöhnlicher Umgangssprache.
Und auch Diophant selbst begann erst in einem Zwischen-
stadium zwischen Abkürzung und selbständiger Sym-
bolisierung die Algebra zu „schreiben“, wie wir es
schon gesehen haben. Wie also schreibt man Algebra und
warum schreibt man Algebra? Wir antworten darauf,
daß man Algebra durch Symbole und Befehle schreibt
und daß man sie nicht nur aus gleichsam stenographischen,
sondern aus viel tiefer liegenden Gründen in dieser Weise
110
schreibt. Gewiß, es ist nicht zu verachten, wenn wir etwa
den Satz, daß das Quadrat eines Zweigliederausdrucks
aus dem Quadrat des ersten, dem Quadrat des zweiten
Gliedes und dem doppelten Produkt beider Glieder be-
stehe, einfach als (a + b)2 = az + bz + 2 cı b schreiben
 
<math> (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab </math>
 
 
 
schreiben
können. Wir gewinnen dadurch Zeit, Überblick und
Einblick in Strukturen. Wir können jetzt nach der
gleichen Regel diesen einmal gewonnenen Ausdruck noch
einmal zum Quadrat erheben, indem Wirwir ihn etwa als
 
[(a2 + Ö2) + 2 a b]2 anschreiben. Und dabei als Resultat
 
vorerst (az + b2)2 + (2 ab)2 -|- 2-2 ab (az + Ö2) erhalten,
 
was dann leicht a4 + 2a2b2 + b4 + 4a2b2 + 4a3b + 4ab3
<math>[a^2 + b^2 + 2ab]<math>
 
 
[(a2 + Ö2) + 2 a b]2 anschreiben. Und dabei als Resultat
vorerst
 
 
<math>(a^2 + b^2)^2 + (2ab)^2 + 2 \cdot 2ab (a^2 + b^2)<math>
 
 
erhalten,
was dann leicht
 
<math>a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2 + 4a^3b + 4ab^3</math>
 
 
oder schließlich nach Addition gleichbenannter Größen
als Endergebnis <math>a/1^4 + b4b^4 + 6a2b26a^2b^2 + 40,3124a^3b + 4ab34ab^3</math> liefert.
 
:Eine solche Rechnungsoperation, in Worten ausgedrückt,
würde unsre Vorstellungskraft schon unerträglich be-
lasten, während in der symbolischen Schreibweise nur
Línea 232 ⟶ 212:
geschieht dabei noch viel mehr. Die Symbole (das sind
die Bezeichnungen für die allgemeinen Zahlen, wie
a oder b oder das ç

<math>\varsigma' </math>

???



bei Diophant) und die Befehle oder
Operatoren oder Operations- oder Verknüpfungssymbole
(+, --, = usw.) gewinnen gleichsam ein Eigenleben. Sie
Línea 250 ⟶ 238:
der sich hauptsächlich aus dem Bereiche konkreter
111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zahlen entwickelte, wie wir im folgenden Kapitel sehen
werden. Dieser Behauptung widerspricht es nicht, daß