Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 102c»
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:Wenn aber ''ab'' = ''dg'', dann ist <math> \frac{ab}{d} = q </math>
:oder die zu dividierende Zahl n durch den Divisor d gleich dem Quotienten q.
:Das ist aber nur eine der vielen algebraischen Anwendungsmöglichkeiten der parabolischen Anlegung. Man könnte auch eine lineare Gleichung der Form ''ab'' = ''cx'' oder eine ihrer Umformungen in derselben Weise lösen. Oder aber es könnte das Problem so gestellt sein, daß Wir aus dem Rechteck ab ein Quadrat
erzeugen, somit ''ab'' = ''x<sup>2</sup>'' konstruieren sollten, was wieder die positive Lösung der reinquadratischen Gleichung liefert usf. Jedenfalls waren die schon bei Pythagoras und seinen nachsten Schülern behandelten Probleme durchaus nicht primitiv.
:Dieser Eindruck verstärkt sich noch bedeutend, wenn wir jetzt die pythagoreische Zahlenlehre, seine Arithmetik naher ins Auge fassen. Man Weiß, daß Pythagoras die Eins selbst nicht als Zahl, sondern als Ursprung aller Zahlen ansah. Man betrieb nach dem Grundsatze, daß das Wesen der Dinge die Zahl sei, eine sehr umfassende Zahlenmystik und entdeckte im Laufe der Forschungen über die Zahlen allerlei Zusammenhänge. Bevor wir jedoch Näheres darüber mitteilen, müssen wir noch einen Begriff nachtragen, der auch bei der Zahlenlehre eine Rolle spielen wird. Man nannte die bei allen Flachenanlegungen bedeutsame Figur ''ABDFEG'' (Fig. 1) ein „Gnomon“ (zu deutsch einen „Erkenner“). Nun versuchten die Pythagoreer sofort, an ein Quadrat der Einheit rechtwinklig-gleicharmige Gnomone anzulegen, und fanden damit, wie die Figur 2 zeigt, die auffallende Tatsache, daß die Summe der ungeraden Zahlen, wie weit man die Summierung auch treibt, stets Quadratzahlen liefert.
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:und die Hypotenuse selbst ist, in moderner Art geschrieben,
:gleich der Wurzel aus zwei = <math> \sqrt{2} </math>
:Man kann aber suchen - und das wußte schon Pythagoras -, solange man will, so findet man keine ganze und auch keine Bruchzahl, die mit sich selbst multipliziert genau 2 ergibt. ▼
:Heute schreiben wir <math> \sqrt{2} </math> = 1,4142135624 ... und fügen Punkte an, die bedeuten, daß der Dezimalbruch kein Ende hat und daß es auch kein System gibt und keine reine oder gemischte
Periodizität, die ein Zuendeführen dieses Systembruches auch nur in Gedanken gestattete. Die Zahl <math> \sqrt{2} </math>, d. h. deren Ergebnis ist alogos, ist unaussprechbar. Sie und andere derartige in keine Regel einzufangenden Zahlen sind, wie das Seholion zu Euklid sagt, bildlos. Sie sind
höchstens ein Bild des Lebendigen selbst, das auch irrational ist, also jeder ratio, jeder zergliedernden, regelnden Vernunft spottet. Und trotzdem liegt die Hypotenuse des gleichseitig-rechtwinkligen Dreiecks, die Quadratdiagonale, so glatt, so abgeschlossen, so selbstverständlich da, als ob sie sich durch nichts von andern Strecken unterschiede. Hat sie etwa keine wirkliche
Länge, keine Endpunkte? Ist sie an den Enden zerfasert oder zerfranst? Nein, sicher nicht! Man fand auch sofort noch mehr, noch Unheimlicheres: wenn man etwa die Quadratdiagonale als Einheit wählte, dann muß sie eine klare Strecke mit der ganzzahligen Länge 1 sein. Wie sehen aber dann die Quadratseiten (als Katheten eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks) aus?
:Sicherlich ist jetzt, um wieder in heutiger Sprache zu▼
???▼
reden,
:1<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + x<sup>2</sup>,
:also 1<sup>2</sup> = 2x<sup>2</sup> und
:x<sup>2</sup> =
:<math> x^2 = \frac{1^2}{2} = q = \frac{1}{2} </math>
▲:Man kann aber suchen - und das wußte schon Pythagoras -, solange man will, so findet man keine ganze und auch keine Bruchzahl, die mit sich selbst
:Unser x muß also <math> \sqrt\frac{1}{2} </math> ein, was
:<math> \frac{1}{\sqrt 2} </math> oder mit rationalem Nenner
:<math> \frac{\sqrt 2}{2} </math> ergibt.
:Da nun <math> \sqrt{2} </math> irrational ist, muß auch dessen Hälfte irrational sein.
:Was ist da geschehen? Jetzt sind plötzlich wieder die früher rationalen Katheten ir-▼
▲Sicherlich ist jetzt, um wieder in heutiger Sprache zu
▲sind plötzlich wieder die früher rationalen Katheten ir-
rational? Man wußte auch sofort, was das bedeutete. Die
zwei Längen sind jede für sich durchaus nicht irrational.
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relativ zueinander irrational, sie sind inkommensurabel.
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Und gleichwohl wieder ein neues Geheimnis: diese Eigen-▼
▲:Und gleichwohl wieder ein neues Geheimnis: diese Eigen-
schaft bezog sich offensichtlich nur auf die Darstellung
der Zahl als Quadrat. Stellte man etwa die Zahl 32 als
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wohl zu 4 als zu 8 inkommensurabel, somit das, was wir
heute irrational nennen.
Aber auch an anderen Stationen der nun nach allen▼
▲:Aber auch an anderen Stationen der nun nach allen
Richtungen einsetzenden geometrischen Forschung traten
Irrationalitäten auf. Merkwürdigerweise gerade beim
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gleichsam Wappen und Erkennungszeichen der Pytha-
goreer war.
Aus der Lehre von den Vielecken aber ergab sich ein▼
▲:Aus der Lehre von den Vielecken aber ergab sich ein
ebenso zwangsläufiger wie fruchtbarer Übergang zur
Lehre von den Körpern, zur Stereometrie. Die von uns
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modelle (Wie wir heute sagen würden), die aus Marmor
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oder Bronze bestehen. Zudem kann niemand leugnen,
daß etwa der Würfel, das Tetraeder und das Oktaeder
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