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= Definición =
Se define cómo el residuo de una división no exacta donde
<math> \frac{a}{b} = c + r </math>
Donde ''''r''' es un número natural y se vuelve el módulo del número,mientras que es el divisor '''b''' y '''a''' el número modulado siempre y cuando sean números enteros:
<math> a,b \in \mathbb{Z} </math> y <math> r \in \mathbb{N} </math>
Quedando expresado cómo:
<math> a \pmod b \equiv r </math>
= Historia =
En matemática, la '''aritmética modular''' es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas '''clases de congruencia'''. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro ''Disquisitiones Arithmeticae''.<ref>{{cita libro| autor = Gauss, Carl Friedrich| capítulo = Cap.1 Numbers congruences in general| título = Disquisitiones Arithmeticae| año = 1965| editorial = Yale University Press| id = ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf (Traducción al español)]</ref>
Algunas veces se le llama, sugerentemente, ''aritmética del reloj'', ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado '''''módulo'''''.<ref name="cripto">{{cita web |url= http://www.matematicaparatodos.com/varios/criptografia.pdf |título=Criptografía |fechaacceso=28 de febrero de 2011 |apellido= López |nombre=Jorge M. |fecha= 28 de febrero de 2011 |formato=PDF |idioma=castellano |cita=p.3}}</ref>
= Propiedades principales =
== Clases de equivalencia módulo ''n'' ==
La aritmética modular se basa en una [[relación de equivalencia]], y las [[clase de equivalencia|clases de equivalencia]] de un entero ''a'' se denota con [''a'']<sub>''n''</sub> (o simplemente [''a''] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones son por ejemplo ''a'' + ''n'''''Z''' o ''a'' mod ''n''. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con '''Z'''/''n'''''Z''' = { [0]<sub>''n''</sub>, [1]<sub>''n''</sub>, [2]<sub>''n''</sub>,..., [''n''-1]<sub>''n''</sub> }.<ref name="upm">{{cita web |url=http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/congruencias.html |título=Congruencias |fechaacceso=19 de abril de 2011 |apellido=Carmona Collado |nombre=Luis Miguel |formato=HTML |obra=[http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/ Introducción a la aritmética entera y modular] |ubicación=[[Universidad politécnica de Madrid]] |idioma=castellano}}</ref>
Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:<ref name="upm" />
Si
: <math>a_1 \equiv b_1 \pmod{n}</math>
y
: <math>a_2 \equiv b_2 \pmod{n}</math>
entonces
: <math>a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{n}</math>
y
: <math>a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod{n}</math>
Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones [[bien definido|bien definidas]] sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre '''Z'''/''n'''''Z''' mediante las fórmulas siguientes:<ref name="upm" />
: <math>[a]_n +[b]_n = [a+b]_n \,\!</math>
: <math>[a]_n \cdot [b]_n = [a \cdot b]_n</math>
De este modo, '''Z'''/''n'''''Z''' se convierte en un [[Anillo (matemática)|anillo]] con ''n'' elementos.
Por ejemplo, en el anillo '''Z'''/12'''Z''', se tiene :[8]<sub>12</sub>[3]<sub>12</sub> + [6]<sub>12</sub> = [30]<sub>12</sub> = [6]<sub>12</sub>.
El conjunto de enteros en '''Z'''/''p'''''Z''' forma un [[cuerpo finito]] si y sólo si ''p'' es primo.<ref>Kostrikin: Introducción al álgebra, Mir, Moscú (1974)</ref>
== Resolución de congruencias ==
Si ''a'' y ''b'' son enteros, la [[congruencia]]: ''ax'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') tiene solución ''x'' si y sólo si el [[máximo común divisor]] (''a'', ''n'') divide a ''b''. Los detalles están recogidos en el
[[teorema de congruencia lineal]]. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el [[teorema chino del resto]] o el [[teorema de congruencia lineal#Sistemas de congruencias lineales|método de sustitución sucesiva]].<ref>{{cita libro |apellido=Santiago Zaragoza |nombre=Antonio Cipriano |título=Teoría de números |url= |fechaacceso=19 de abril de 2011 |idioma=castellano |edición=1ª |año=2009 |editorial= Visión libros|ubicación=Madrid |isbn=978-84-9886-360-4 |capítulo=2.4. Congruencias lineales |páginas=22-25}}</ref>
En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ''ax'' ≡ 1
('''mod''' ''n''), vemos que ''a'' tiene un [[inverso multiplicativo (aritmética modular)|inverso multiplicativo]] si y sólo si ''a'' y ''n'' son [[coprimo]]s. Por tanto, '''Z'''/''n'''''Z''' es un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]] si y sólo si ''n'' es un [[Número primo|primo]].<ref>{{cita libro |apellido=Navarro |nombre=Gabriel |título= Un curso de álgebra|fechaacceso=19 de abril de 2011 |idioma=castellano |edición=1ª |año=2002 |editor=Universitat de València |ubicación=Valencia |isbn=84-370-5419-2 |páginas=77}}</ref> Se puede probar que cada [[cuerpo finito]] es una extensión de '''Z'''/''p'''''Z''' para algún primo ''p''.
== Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler ==
Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el [[pequeño teorema de Fermat]]: si ''p'' es un número primo, entonces:<ref name="Gauss PTF">{{cita libro |autor=Gauss, Carl Friedrich |capítulo=Sec III, art. 50 |título=Disquisitiones Arithmeticae |año=1965 |editorial=Yale University Press |id=ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdf (Traducción al español)]</ref>
Si ''a'' es cualquier entero:
:<math>a^p \equiv a \pmod{p}</math>
Si ''a'' es un entero no divisible entre p:
:<math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}</math>
Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo ''n'' y todo entero ''a'' relativamente primo a ''n'', :''a''<sup>φ(''n'')</sup> ≡ 1 ('''mod''' ''n''),
donde φ(''n'') denota [[función phi de Euler]] que cuenta el número de enteros entre 1 y ''n'' que sean [[coprimo]]s con respecto a ''n''.<ref name="TE">Euler, Leonhard « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », en ''Novi Comment. acad. sc. Petrop.'', vol. 7, 1761, p. 49-82. Texto orginal del latín [http://math.dartmouth.edu/~euler/ Dartmouth College (Euler archive)] con número E262. Traducción al inglés : {{arxiv|math/0608467}}</ref> El teorema de Euler es una consecuencia del [[teorema de Lagrange (teoría de grupos)|teorema de Lagrange]], aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo '''Z'''/''n'''''Z'''.
== Generalizaciones ==
Dos enteros ''a'', ''b'' son '''congruentes módulo ''n''''', escrito como:''a'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') si su diferencia ''a''
− ''b'' es [[divisible]] entre ''n'', esto es, si ''a'' − ''b'' = ''kn'' para algún entero ''k''.
Usando esta definición, podemos generalizar a módulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir ''a'' ≡ ''b'' ('''[[número π|mod 2π]]''') si ''a'' − ''b'' = ''k''2π para algún entero ''k''. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la [[Anillo (matemática)|teoría de los anillos]] y [[función trigonométrica|funciones trigonométricas]].
En [[Álgebra abstracta]] se ve que la aritmética modular es un caso especial del proceso de crear un [[anillo factorial]] de un anillo módulo un [[Ideal (matemática)|ideal]]. Si ''R'' es un anillo conmutativo, e ''I'' es un ideal de ''R'', entonces dos elementos ''a'' y ''b'' de ''R'' se dicen '''congruentes módulo ''I''''' si ''a'' − ''b'' es un elemento de ''I''. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relación de equivalencia, y la suma y la multiplicación se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial ''R''/''I''.
= Fuentes =
http://gaussianos.com/teoria-de-numeros-elemental-aritmetica-modular/
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular
https://es.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/what-is-modular-arithmetic
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