Diferencia entre revisiones de «Trigonometría/Trigonometría»
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<math>\tan \theta = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}</math>
== Conceptos básicos ==
[[Archivo:Identidades trigonométricas fundamentales.gif|thumb|right|280px|Identidades trigonométricas fundamentales.]]
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un [[triángulo rectángulo]] asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una [[circunferencia unitaria]] (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el [[verseno]] (1 − cos θ) y la [[exsecante]] (sec θ − 1).
{| class="wikitable"
|-
!Función
!Abreviatura
!Equivalencias (en radianes)
|-
|'''[[Seno (trigonometría)|Seno]]'''
| sen, sin
| <math> \sen \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,</math>
|-
|'''[[Coseno]]'''
| cos
| <math>\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sen \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\tan \theta} \,</math>
|-
|'''[[Tangente (trigonometría)|Tangente]]'''
| tan, tg
| <math>\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\cos \theta} \,</math>
|-
| '''[[Cotangente]]'''
| ctg (cot)
| <math>\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sen \theta} \,</math>
|-
| '''[[Secante (trigonometría)|Secante]]'''
| sec
| <math>\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sen \theta} \,</math>
|-
| '''[[Cosecante]]'''
| csc (cosec)
| <math>\csc \theta \equiv \frac{1}{\sen \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,</math></td>
|}
=== Definiciones respecto de un triángulo rectángulo ===
[[Archivo:Trigono a10.svg|right|220px]]
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: <math> \alpha </math>, del vértice ''A'', se parte de un [[triángulo rectángulo]] arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
* La [[hipotenusa]] (''h'') es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
* El [[Cateto|cateto opuesto]] (''a'') es el lado opuesto al ángulo <math> \alpha </math>.
* El [[Cateto|cateto adyacente]] (''b'') es el lado adyacente al ángulo <math> \alpha </math>.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π [[radian]]es (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El '''seno''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
{{ecuación|
<math>\sen \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}</math>
||left}}
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo <math> \alpha </math> , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El '''coseno''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
{{ecuación|
<math>\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}</math>
||left}}
3) La '''tangente''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
{{ecuación|
<math>\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}</math>
||left}}
4) La '''cotangente''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
{{ecuación|
<math>\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}</math>
||left}}
5) La '''secante''' de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
{{ecuación|
<math>\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}</math>
||left}}
6) La '''cosecante''' de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
{{ecuación|
<math>\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}</math>
||left}}
=== Funciones trigonométricas de ángulos notables ===
[[Archivo:ANGULOS NOTABLES.png|centro|marco]]
=== Definición para un número real cualquiera ===
{{AP|Función real}}
No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de <math>\alpha</math> para valores de <math>\alpha</math> menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida <math>\alpha</math> radianes.
Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una [[circunferencia unitaria]], centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo <math>\alpha</math> el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.
[[Archivo:Seno y coseno.gif]]
Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica.
Si el valor de x está fuera del [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.
=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Función Trigonométrica R333.svg|thumb|center|300px|Representación gráfica en un sistema de [[coordenadas cartesianas]].]]
===Teorema fundamental de la trigonometría===
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